inverses Kurvenintegral

[titan99_]

Hallo,

ich habe eine Bezier-Kurve die ich mit konstanten Abständen interpolieren will, und suche dafür das inverse Kurvenintegral. Wie kann ich das herleiten?

[.filmor]

Inverses Kurvenintegral?! Hört sich irgendwie kaputt an (alleine schon, weil ein Kurvenintegral |R^n -> |R und damit im Allgemeinen nicht besonders invertierbar ist) …

Wenn man Punkte auf einer Bezierkurve haben will wirft man meines Wissens einfach den de-Casteljau-Algorithmus darauf.

[titan99_]

Wenn ich Punkte auf der Bezier-Kurve

${P}_{2}\,{t}^{2}+2\,{P}_{1}\,\left( 1-t\right) \,t+{P}_{0}\,{\left( 1-t\right) }^{2}$

mit dem Parameter t von [0,1] berechne, sind die Abstände zwischen den Punkten nicht gleich gross. Ich dachte wenn man das Kurveintegral invertiert und damit den Parameter t berechnet, sind die Abstände gleich gross.

Gibt es eine Möglichkeit, dass die Abstände zwischen den Punkten gleich gross sind?

[titan99_]

.filmor schrieb:

|R^n -> |R und damit im Allgemeinen nicht besonders invertierbar ist)

Was bedeutet eingentlich |R^n -> |R und warum ist das Kurvenintegral dadurch nicht besonders invertierbar??

Ich habe auch schon versucht das Kurvenintegral der Normalparabel

$\frac{\mathrm{asinh}\left( 2\,x\right) +2\,x\,\sqrt{4\,{x}^{2}+1}}{4}$

zu invertieren, schaffte es aber nicht.

Und über die Ableitung g' = 1/f' (Papula Band 1 Seite 329) zu invertieren klappt irgendwie auch nicht.

[Jester]

Ja, das geht. Stichwort dazu ist Parametrisierung nach Bogenlänge.

@filmor, eine Abbildung von R^n --> R muß nicht zwangsläufig nicht invertierbar sein.

[Mathematikker]

titan99 schrieb:

.filmor schrieb:

|R^n -> |R und damit im Allgemeinen nicht besonders invertierbar ist)

Was bedeutet eingentlich |R^n -> |R und warum ist das Kurvenintegral dadurch nicht besonders invertierbar??

Weil du in IR nur eine Dimension zur Verfügung hast und damit kannst du nicht die Informationen speichern, die zum Beispiel der IR² speichern kann.
Wenn eine Abbildung/Funktion f: IR² -> IR mehr als eine Dimension aus dem Definitionsbereich nutzt (was die Notation IR² eigentlich suggeriert), dann ist sie nicht invertierbar, beispiel:

f(x,y) := x*y

Die Funktion geht von IR² nach IR und sie bildet alle Tupel (x,y) aus IR² nach IR ab, also ist der Definitionsbereich tatsächlich ganz IR².

Zum Beispiel: f(3,2) = 3*2 = 6 = 2*3 = f(2,3)
Wie du sehen kannst ist die Funktion nicht injektiv, d.h. verschiedene Tupel (x,y) und (x',y') werden auf den gleichen Funktionswert abgebildet, hier im Beispiel ist das der Wert 6.
Somit ist die Funktion nicht invertierbar (naja nicht ganz, lokal gehts schon).

Außerdem werden sehr viele Elemente auf die 0 abgebildet, denn sowohl f(x,0) = 0 als auch f(0,y) = 0 für jede Zahl x bzw. y

[.filmor]

Jester schrieb:

Ja, das geht. Stichwort dazu ist Parametrisierung nach Bogenlänge.

@filmor, eine Abbildung von R^n --> R muß nicht zwangsläufig nicht invertierbar sein.

Naja, wenn man's so schreibt schon, aber die Abbildung ist ja nur |R -> |R (bei Parametrisierung).

Wofür brauchst du das eigentlich? Denn damit bekommst du nur auf der Kurve äquidistante Punkte, im Raum sind sie das ja nicht.
Dieses invertieren ist nämlich meistens ziemlich hässlich …

[titan99_]

Also die Bezierkurve berechne ich eigentlich 2 oder 3-Dimensional, und habe dazu noch 2 Parallele Kurven (http://en.wikipedia.org/wiki/Parallel_curve).
Die Parallelen Kurven sind aber ziemlich unregelmässig, vorallem bei grosser Krümmung. Und ich dachte es sei sowieso besser konstante Abstände zu haben, weil daraus nachher Flächen werden.

[Jester]

.filmor schrieb:

Wofür brauchst du das eigentlich? Denn damit bekommst du nur auf der Kurve äquidistante Punkte, im Raum sind sie das ja nicht.

Wenn man zum Beispiel eine Kamera entlang der Kurve fahren lassen möchte, ist das genau das richtige, weil die Kamera dann konstante Geschwindigkeit hat.

[Jester]

Mathematikker schrieb:

Wenn eine Abbildung/Funktion f: IR² -> IR mehr als eine Dimension aus dem Definitionsbereich nutzt (was die Notation IR² eigentlich suggeriert), dann ist sie nicht invertierbar

Nein. R^n und R sind gleichmächtig, also gibt es eine Bijektion, diese ist insbesondere invertierbar.

Allerdings gibt es keine stetige Abbildung, deren Umkehrung ebenfalls stetig ist.

[Mathematikker]

Jester schrieb:

Mathematikker schrieb:

Wenn eine Abbildung/Funktion f: IR² -> IR mehr als eine Dimension aus dem Definitionsbereich nutzt (was die Notation IR² eigentlich suggeriert), dann ist sie nicht invertierbar

Nein. R^n und R sind gleichmächtig, also gibt es eine Bijektion, diese ist insbesondere invertierbar.

Allerdings gibt es keine stetige Abbildung, deren Umkehrung ebenfalls stetig ist.

Diese Erkenntnis bringt uns nicht weiter, da sie praktisch keine Relevanz hat. Sonst müsste man sich ja nicht mit dem IR^n abquälen, wenn man sinnvoll auf IR arbeiten könnte und das Ergebnis wieder nach IR^n übertragen könnte.
Kurz: sie sind nicht isomorph

Aber du hast Recht, da ich die Gleichmächtigkeit nicht beachtet habe, ich habe schon ein paar Stufen praktischer gedacht

[.filmor]

Aber „isomorph“ ist auch etwas zu stark. Hier relevant ist ja, wie Jester schon sagte, dass sie nicht homöomorph sind. Jeder Isomorphismus ist auch ein Homöomorphismus (sogar ein Diffeomorphismus denke ich) aber nicht andersherum.

titan99 schrieb:

Also die Bezierkurve berechne ich eigentlich 2 oder 3-Dimensional, und habe dazu noch 2 Parallele Kurven (http://en.wikipedia.org/wiki/Parallel_curve).
Die Parallelen Kurven sind aber ziemlich unregelmässig, vorallem bei grosser Krümmung. Und ich dachte es sei sowieso besser Konstante Abstände zu haben, weil daraus nachher Flächen werden.

Warum? Mit dem normalen Verfahren hast du doch mehr Punkte im Bereich starker Krümmung wenn ich mich nicht täusche, das erscheint mir schon recht praktisch für weitere Berechnungen. Berechnest du die Fläche die von der Kurve und ihrer parallelen Kurve umrandet wird? Das ließe sich doch sicher irgendwie abkürzen …

[pasti]

.filmor schrieb:

Aber „isomorph“ ist auch etwas zu stark. Hier relevant ist ja, wie Jester schon sagte, dass sie nicht homöomorph sind. Jeder Isomorphismus ist auch ein Homöomorphismus (sogar ein Diffeomorphismus denke ich) aber nicht andersherum.

Wann eine Abbildung ein Isomophismus bzw. ein (Homo)Morphismus ist wird dadurch festgelegt, welche Struktur man den zugrundeliegenden Mengen zuordnet.

Ein Isomorphismus ist eine bijjektive Abbildung, welche in beide Richtugen strukturerhaltend ist.

Man kann IR als Menge von Punkten ohne jede Struktur auffassen, dann bezeichnet man jede bijektive Abbildung als Isomorphismus.

Man kann IR auch als Gruppe auffassen, dann sind die bijektiven Gruppenisomorphismen die Isomorphismen, denn in diesem Fall kann man zeigen, dass die Umkehrung eines bjiektiven Gruppenhomomorphismus wieder ein Gruppenhomorphismus ist.

Dasselbe gilt für Ringe und Ringisomorphismen.

Wenn man IR als topologischen Raum auffasst, sind die stetigen Abbildungen die Morphismen. Es gibt jedoch bijektive stetige Funktionen, wo die Umkehrabbildung nicht stetig ist. Also ist nich jede solche Funktion ein Isomophismus. Man muss also zusätlich noch fordern, dass die Umkehrfunktion auch stetig ist.

Link: http://de.wikipedia.org/wiki/Kategorientheorie

[.filmor]

Kann man sich nicht darauf einigen, dass wenn man nichts dazu sagt man einen Vektorraumisomorphismus meint? :p
Hast natürlich trotzdem recht…

[Mathematikker]

Wollen wir uns nicht darauf einigen, dass es hier ein praktisch zu lösendes Problem gibt und die Kategorientheorie hier fehl am Platz ist?

[pasti]

Mathematikker schrieb:

Wollen wir uns nicht darauf einigen, dass es hier ein praktisch zu lösendes Problem gibt und die Kategorientheorie hier fehl am Platz ist?

Pha... und du nennst dich Matimatiker.

Das ursprüngliche Problem wurde von Jester schon etwa im 3. Post gelöst.

[Walli]

Etwa im 3. Post klingt aber auch mehr nach Ingenieur als nach Mathematiker .

[Kenner des Problems]

In der derivierten Kategorie von perversen C^2(R)-Modulgarben wird das Problem mit der Fouriertransformation trivial.

[Mathematikker]

pasti schrieb:

Mathematikker schrieb:

Wollen wir uns nicht darauf einigen, dass es hier ein praktisch zu lösendes Problem gibt und die Kategorientheorie hier fehl am Platz ist?

Pha... und du nennst dich Matimatiker.

Das ursprüngliche Problem wurde von Jester schon etwa im 3. Post gelöst.

Du hast recht, wir sollten einfach die Existenz einer Lösung zeigen, mehr braucht man ja nicht

[pasti]

Mathematikker schrieb:

Du hast recht, wir sollten einfach die Existenz einer Lösung zeigen, mehr braucht man ja nicht

Woot? Man kann die Parametrisierung immer expizit als Integral darstellen. In diesem Fall wird es wohl sogar noch ausreichen dieses dann numerisch zu Lösen.

http://de.wikibooks.org/wiki/Diffgeo:_Kurventheorie:_Parameterisierung_nach_Bogenlänge