M
28. Nov. 2003, 17:35
Das ist ein bißchen eine Frage nach "Wer war zuerst, Henne oder Ei".
Zunächst noch mal eine Anmerkung zu zwei überlagerte akkustische Schwingungen habe, warum sind diese im Ergebnis dann gefaltet und nicht einfach addiert.
Das ist so nicht richtig. Wenn Du zwei Schwingungen überlagerst (also addierst), so sind die Frequenzen auch nur eine Addition.
Bsp:
a(t) = A sin fa t
b(t) = B sin fb t
s(t) = a(t) + b(t) = A sin fa t + B sin fb t
Wenn man sich nun das Spektrum von s ansieht - also alle Frequenzen in s - so ergibt sich hier:
S(f) = A(f) + B(f)
Also einfach eine Addition der Spektren von A und B, sprich man wird zwei Frequenzlinien bei fa und fb erhalten.
Stichwort: Linearitätssatz der Fouriertransformation
Was Du aber meinst ist eine Modulation - die Amplitude einer Schwingung wird über eine andere Schwingung verändert:
m(t) = a(t) b(t)
Will man nun wissen, wie das Spektrum aussieht, so können die Frequenzen dort
nicht einfach fa und fb sein - denn dann wäre m(t) = s(t), also a(t)b(t) = a(t)+b(t), was offensichtlich falsch ist.
Hat man also
m(t) = a(t) b(t) = A B sin fa t sin fb t
so muss das Spektrum M(f) anders berechnet werden - und es ergibt sich, dass die Definition der Faltung
M(f) = A(f) * B(f) // Achtung, * steht für Faltung, nicht Multiplikation
eben genau die Frequenzanteile berechnet, die im Mischsignal vorhanden sind. Die Faltung ist ja definitionsgemäß eine Art "foreach" für jede Frequenz, also wird praktisch jede Frequenz mit jeder Frequenz gewichtet und das alles addiert. Das ist das, was unter dem Integral bzw. der Summe bei diskreten Transformationen steht.
Das korrespondiert eben mit dem Satz der Fouriertrafo: "Multiplikation im Zeitbereich ist Faltung im Frequenzbereich".
Die Frage warum das so ist, kann man aber eigentlich nur philosophisch beantworten! Eigentlich ist die Frage so gar nicht sinnhaltig, denn "das ist eben so - die Physik will das so haben, sie funktioniert auf diese Weise".
Man muss es sich anders herleiten über die Historie von Mathematik und Physik, wie sie Herren wie Newton, Leibniz, Fourier und Laplace betrieben haben - sie machten zum Teil physikalische Experimente, bzw. beobachteten die Experimente ihrer Zeitgenossen. Und um diese Ergebnisse zu beschreiben bwz. zu erklären, benötigten sie mathematische Formeln. Die Menge und Sammlung solcher Formeln ergaben dann z.B. Gebilde wie die Fouriertransformation. Diese wurde von Mathematikern dann natürlich auf Korrektheit geprüft und in die Mathematik nahtlos eingepasst, auch vom theoretischen Untergrund her.
Das ist also eine Kopplung: die Physik hatte Bedarf nach neuen Beschreibungen, die in der Mathematik geliefert wurden. Natürlich wird der Mathematiker sagen, daß die Fouriertrafo (FT) auch ganz ohne die Physik existieren würde, was stimmt. Man kann sich zahllose Transformationen in der Mathematik ausdenken, die alle keinerlei Entsprechung in der Physik haben - aber sie sind weitgehend bedeutungslos. Die FT hat eben eine besondere Bedeutung, da sie einen "realen" Bezug hat, und wurde dadurch gepuscht und so bekannt.
Und irgendwo in dieser Entwicklung viel eben auf, daß eine Multiplikation von Schwingungen im Zeitbereich im Frequenzbereich dazu führte, daß man ein bestimmtes Integral auswerten mußte. Diese Integral tauchte immer wieder in dieser speziellen Form auf, so daß man dafür eine Abkürzung "das Faltungsintegral" bzw. "die Faltung" einführte.
End of Story.