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Hallo alle zusammen,
sitze gerade vor ´ner Aufgabe und bin mir etwas unsicher. Könnt ihr mir helfen?
a) Bestimmen Sie alle Geraden und alle Ebenen des A3(Z/2Z), insbesondere
deren jeweilige Anzahl. A = affiner Raum
b) Es sei K der Körper mit p^n Elementen. Wie viele Geraden besitzt der
affine Raum A2(K)? Wie viele Geraden des A2(K) gehen durch einen fest
vorgegebenen Punkt?
zu a hab ich mir überlegt:
Z/2Z besteht nur aus zwei Elementen (0,1), also können wir im A3 genau 2^3 = 8 Elemente erstellen.
Da jeweils zwei Punkte eine Gerade festlegen,gibt es ( 8 über 2) = 28 Geraden der Form
x = P + s*PQ
Bei den Ebenen spannen drei Punkte ´ne Ebene auf. Also gibt es ( 8 über 3) = 56 Ebenen.
Soweit ist alles klar, aber nun fallen scheinbar von den 56 Mögl. je vier zusammen, da je drei der vier Punkte der Ebene die Ebene schon eindeutig festlegen. Somit gibt es 14 Ebenen. Das verstehe ich nicht so ganz. Kann mir das jemand erklären?
zu b dachte ich, kann man das analog machen.
Es gibt p^n Elemente, also besitzt der affine Raum wiederum (p^n über 2) Elemente.
Ist das richtig?
Aber wie viele gehen durch einen fest vorgegebenen Punkt?
Wäre für eure Hilfe wahnsinnig dankbar.
Liebe Grüße,
Dola