B
Für Invarianz genügt bereits Inklusion, also Φt(M)⊆M\Phi_t(M)\subseteq MΦt(M)⊆M für alle t∈Rt\in\mathbb{R}t∈R. Gleichheit wäre eine ziemlich unnatürliche Forderung, das würde ja implizieren, dass M nur invariant sein kann, wenn jede Trajektorie, die den Rand von M schneidet, komplett im Rand enthalten ist.
stegiteit schrieb:
Für die andere Richtung sei x∈M‾x\in\overline Mx∈M. Es gibt dann* eine Folge x\_1,x\_2,\dots in MMM, mit limn→∞xi=x\lim\limits_{n\to\infty}x_i=xn→∞limxi=x. Aus der Stetigkeit folgt limn→∞Φ(xi)=Φ(x)\lim\limits_{n\to\infty}\Phi(x_i)=\Phi(x)n→∞limΦ(xi)=Φ(x), also x∈Φ(M‾)x\in\Phi(\overline M)x∈Φ(M).
Ich verstehe das Argument nicht wirklich. Wieso folgt daraus x∈Φ(M‾)x\in\Phi(\overline M)x∈Φ(M)? Du hast eigentlich nur Φ(x)∈Φ(M‾)‾\Phi(x)\in\overline{\Phi(\overline M)}Φ(x)∈Φ(M) gezeigt, daraus kann man Φ(x)∈M‾\Phi(x)\in \overline MΦ(x)∈M ableiten, aber das wussten wir ja schon. Eine Aussage über x fällt da soweit ich sehe nicht ab.
Ich glaube du meinst so: Sei y∈M‾y\in\overline My∈M, (yn)(y_n)(yn) eine Folge in MMM gegen yyy. Wenn wir Φ(M)=M\Phi(M) = MΦ(M)=M voraussetzen, gibt es eine Folge (xn)(x_n)(xn) in MMM mit Φ(x_n)=y_n\Phi(x\_n) = y\_nΦ(x_n)=y_n, so dass wegen der Stetigkeit y=Φ(x)∈Φ(M‾)y = \Phi(x) \in \Phi(\overline M)y=Φ(x)∈Φ(M) folgt.
* Disclaimer: Ich nahm an, dass die Menge ein https://en.wikipedia.org/wiki/First-countable_space ist, ansonsten musst du mit ε-Bällen argumentieren
Metrische Räume sind doch erstabzählbar
