Wurzel aus komplexer Zahl ziehen

@Jester
Wurzeln geben i.d.R. immer so viele Loesungen ab, wie die Ordnung der Wurzel ist. Das heist, du wuerdest bei einer Quadratwurzel 2 Loesungen bekommen. Fuer die erste Loesung halbierst Du den Winkel, fuer die zweite Loesung bleibt der Winkel unveraendert.

@MisterX
Komplexe Zahlen sind, wenn Du es vom Betrag her normierst auf dem Einheitskreis verteilt. Dann ist dein Realteil der cos(Winkel) und der Imaginaerteil der sin(Winkel). Fuer Dein Beispiel gilt:

(7,5+3,5i)=sqrt(68.5)(7,5/sqrt(68.5)+i3,5/sqrt(68.5))
Winkel nach Realteil: arccos(7.5/sqrt(68.5))=25Grad
Winkel nach Imaginaerteil: arcsin(3.5/sqrt(68.5))=25Grad

Jester

@Bitfresser: ist nicht wahr... und wie kriegst Du diesen Winkel ohne den arctan zu benutzen? Das ist doch die einzige Frage. Alles andere ist ohnehin geklärt. Ich ging davon aus, daß dann auch arccos und arcsin verboten sind, weil man damit ja genau dan arctan berechnet. Gesucht ist also ein Weg Wurzel rein algebraisch zu suchen... Und das ist nicht so einfach.

Ich hab keine Ahnung, warum Du so sarkastisch reagierst. Er schreib, dass er nur sin und cos benutzen darf. Nun, da er den Winkel braucht, muessen es wohl die Umkehrfunktionen dazu sein. Ansonsten verstehe ich die Frage des Fragestellers nicht.
Allgemein weiss ich auch nicht wie man Wurzel berechnet, aber fuer n=2 kann man ja zusehen, dass man ueber den Karthesischen Koordinaten den Vektor in die andere Richtung schauen laesst. Waere zumindest ein Ansatz.

Andreas XXL

Hallo,

ich habe in meinem alten Matheskript folgendes gefunden!

z = ( (1/2) + (1/2) Wurzel(3) * i )

Als erstes wird |z| bestimmt:

Wurzel ((1/2)^2 + ((1/2)*Wurze(3))^2)
= Wurzel ((1/4) + (1/2)*3)
= Wurzel ((1/4) + (3/4))
= Wurzel (1)
= 1

Soweit ist mir das auch klar!

nun geben die aber für den Winkel folgende Formel an:

cos Phi = x / |z|
oder
sin Phi = y / |z|

Nun rechnen die:

cos Phi = ((1/2) / 1)
= Phi = cos^-1 (1/2)
= 1.0471975... = (Π / 3)

Nun setzen die das ganze in die Formel ein, die auch Jester genannt hat.

z = 1 * e^(i* (Π/3))

Jetzt kommt das eigentliche Wurzelziehen:

Wurzel z = Wurzel(1) * e ^ (i * ((Π /3)/2)

<=> Wurzel z = 1 * e ^( i * (Π/6))

Also:

Wurzel Z = 1 * ( cos (Π/6) + i * sin (Π/6))

@ Jester: Kanst Du da BITTE was zu sagen! (Und es erklären)

Andreas XXL

Hallo nochmal,

auf das Beispiel von MisterX bezogen funktioniert das sogar:

Wurzel (7,5^2+3,52) = 8,276472679...

So nun die Formel x / |z| anwenden:

7,5 / 8,276472679 = 0.90618341

So nun cos^-1 (0.90618341) = 25.0168...

Und kein arctan benutzt

Jester

Bitfresser_ST schrieb:

Ich hab keine Ahnung, warum Du so sarkastisch reagierst.

Sorry, das liegt daran, daß ich es nicht mehr gewohnt bin, daß mir jemand erklärt, daß es sogar mehrere kompexe Wurzeln gibt.

Andreas XXL

Mist,

hätte mal Seite 1 ansehen sollen (Die ganze Arbeit für nix)

Jester

@AndreasXXL:

Wenn Du verstehen willst warum es funktioniert solltest Du einfach mal ne Zeichnung machen:

Zeichne Dir ein Koordinatensystem und zeichne Dir den Punkt z ein. Dann kannst Du ein rechtwinkliges Dreieck einzeichnen, dessen Hypothenuse die Verbindung vom Ursprung zum Punkt z ist.

z = x+i*y

Wenn Du Dir das eingezeichnet hast mußte eigentlich nur noch diese alten sinus / Gegenkathete/Hypothenus etc. hinschreiben. Da komment genau Deine Formeln raus.

Marc++us

Jester schrieb:

Sorry, das liegt daran, daß ich es nicht mehr gewohnt bin, daß mir jemand erklärt, daß es sogar mehrere kompexe Wurzeln gibt.

Deswegen ist die Wurzel ja so komplex.

Andreas XXL

Ja,

jetzt ist mir das auch klar (Ich hatte nur den Beitrag von Bitfresser_ST
nicht gesehen!

Immaginärteil
|
|              Z
|            /
|   |z|  /   |
|     /      | (3,5)
|  /         |
|/ PHi       |
|---------------------------------Realteil
   (7.5)

@ Mister X: Jetzt müsste doch wirklich alles klar sein, oder?

Ich entschuldige mich hiermit in aller Form bei einem grossartigen Mathematiker, der in diesem Forum schon mehr als einmal sein Wissen unter Beweis gestellt hat. Ich bin nicht davon ausgegangen, Jester wuesste nicht, dass man beim Wurzeln ziehen mehr als eine Loesung bekommt, sondern ich ging einfach davon aus, dass er es schlichtweg uebergangen hat. Ich wollte es der Vollstaendigkeit halber erwaehnen. Wenn ich dadurch altklug gewirkt habe tut mir das leid. Ich hoffe, dass man in Zukunft solche Probleme auf zivilisiertere Wege loesen kann, als sich sarkastisch anzugiften.

Jester

Schon okay.
Bitte entschuldige meine etwas pattzige Antwort.
Ich bin btw. kein Mathematiker (=> also auch kein großartiger ;)).

Ich hoffe, Du läßt Dich nicht so leicht vertreiben.

Nein, dafuer ist die Anaufstelle fuer C-Probleme doch zu interessant.

Ich hab mir nochmal Gedanken gemacht: Wir suchen eine Zahl a+jb, fuer die gilt:

(a+jb)(a+jb)=7,5+3,5j -> a*a - b*b + 2jab = 7,5 + 3,5j

2 Gleichungen, 2 Unbekannte:

a*a - b*b = 7,5
2ab = 3,5 -> b = 1,75/a
-> a*a - 1,75*1,75/(aa) = 7,5
-> na ja und dass endet in einer Sustitutionsgleichung: aa = z

Ganz ohne Polarkoordinaten ausgekommen

$\sqrt{a+bi} = x+yi$\\ $x_{1,2}=\pm\sqrt{\frac{a}{2}+\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2+\left(\frac{b}{2}\right)^2}}$\\ $y_{1,2}=\pm\frac{1}{2x_{1,2}}$

oder so ähnlich

radikalinsky hat mit der ersten Gleichung einen richtigen Ansatz geliefert.

$a + bi = x^2+2ixy-y^2$
$bi-2ixy = x^2-y^2-a$
$i(b-2xy) = x^2-y^2-a$

da die rechte Seite reell ist, stimmt die Gleichung nur, wenn sie gleich Null ist, da auf der linken Seite die imaginäre Einheit steht!

$(I) b-2xy = 0$
$(II) x^2-y^2-a = 0$

und das löst man einfach!

$(I') x = \frac{b}{2y}$ in (II) eingesetzt:

$(II') \frac{b^2}{4y^2} - y^2 - a = 0$

$\frac{b^2}{4} - y^4 - ay^2 = 0$ biquadratische Gleichung: $z:=y^2$

$z^2+az+\frac{b^2}{4} = 0$

$z_{1,2} = -\frac{a}{2}\pm \sqrt{(\frac{a}{2})^2 - (\frac{b}{2})^2}$

und nun y bestimmen:

$y = \pm \sqrt{-\frac{a}{2}\pm \sqrt{(\frac{a}{2})^2 - (\frac{b}{2})^2}}$

und x erhält man mit:

$x = \frac{b}{2y}$