Wurzel aus komplexer Zahl ziehen

Jester

Bitfresser_ST schrieb:

Ich hab keine Ahnung, warum Du so sarkastisch reagierst.

Sorry, das liegt daran, daß ich es nicht mehr gewohnt bin, daß mir jemand erklärt, daß es sogar mehrere kompexe Wurzeln gibt.

Andreas XXL

Mist,

hätte mal Seite 1 ansehen sollen (Die ganze Arbeit für nix)

Jester

@AndreasXXL:

Wenn Du verstehen willst warum es funktioniert solltest Du einfach mal ne Zeichnung machen:

Zeichne Dir ein Koordinatensystem und zeichne Dir den Punkt z ein. Dann kannst Du ein rechtwinkliges Dreieck einzeichnen, dessen Hypothenuse die Verbindung vom Ursprung zum Punkt z ist.

z = x+i*y

Wenn Du Dir das eingezeichnet hast mußte eigentlich nur noch diese alten sinus / Gegenkathete/Hypothenus etc. hinschreiben. Da komment genau Deine Formeln raus.

Marc++us

Jester schrieb:

Sorry, das liegt daran, daß ich es nicht mehr gewohnt bin, daß mir jemand erklärt, daß es sogar mehrere kompexe Wurzeln gibt.

Deswegen ist die Wurzel ja so komplex.

Andreas XXL

Ja,

jetzt ist mir das auch klar (Ich hatte nur den Beitrag von Bitfresser_ST
nicht gesehen!

Immaginärteil
|
|              Z
|            /
|   |z|  /   |
|     /      | (3,5)
|  /         |
|/ PHi       |
|---------------------------------Realteil
   (7.5)

@ Mister X: Jetzt müsste doch wirklich alles klar sein, oder?

Ich entschuldige mich hiermit in aller Form bei einem grossartigen Mathematiker, der in diesem Forum schon mehr als einmal sein Wissen unter Beweis gestellt hat. Ich bin nicht davon ausgegangen, Jester wuesste nicht, dass man beim Wurzeln ziehen mehr als eine Loesung bekommt, sondern ich ging einfach davon aus, dass er es schlichtweg uebergangen hat. Ich wollte es der Vollstaendigkeit halber erwaehnen. Wenn ich dadurch altklug gewirkt habe tut mir das leid. Ich hoffe, dass man in Zukunft solche Probleme auf zivilisiertere Wege loesen kann, als sich sarkastisch anzugiften.

Jester

Schon okay.
Bitte entschuldige meine etwas pattzige Antwort.
Ich bin btw. kein Mathematiker (=> also auch kein großartiger ;)).

Ich hoffe, Du läßt Dich nicht so leicht vertreiben.

Nein, dafuer ist die Anaufstelle fuer C-Probleme doch zu interessant.

Ich hab mir nochmal Gedanken gemacht: Wir suchen eine Zahl a+jb, fuer die gilt:

(a+jb)(a+jb)=7,5+3,5j -> a*a - b*b + 2jab = 7,5 + 3,5j

2 Gleichungen, 2 Unbekannte:

a*a - b*b = 7,5
2ab = 3,5 -> b = 1,75/a
-> a*a - 1,75*1,75/(aa) = 7,5
-> na ja und dass endet in einer Sustitutionsgleichung: aa = z

Ganz ohne Polarkoordinaten ausgekommen

$\sqrt{a+bi} = x+yi$\\ $x_{1,2}=\pm\sqrt{\frac{a}{2}+\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2+\left(\frac{b}{2}\right)^2}}$\\ $y_{1,2}=\pm\frac{1}{2x_{1,2}}$

oder so ähnlich

radikalinsky hat mit der ersten Gleichung einen richtigen Ansatz geliefert.

$a + bi = x^2+2ixy-y^2$
$bi-2ixy = x^2-y^2-a$
$i(b-2xy) = x^2-y^2-a$

da die rechte Seite reell ist, stimmt die Gleichung nur, wenn sie gleich Null ist, da auf der linken Seite die imaginäre Einheit steht!

$(I) b-2xy = 0$
$(II) x^2-y^2-a = 0$

und das löst man einfach!

$(I') x = \frac{b}{2y}$ in (II) eingesetzt:

$(II') \frac{b^2}{4y^2} - y^2 - a = 0$

$\frac{b^2}{4} - y^4 - ay^2 = 0$ biquadratische Gleichung: $z:=y^2$

$z^2+az+\frac{b^2}{4} = 0$

$z_{1,2} = -\frac{a}{2}\pm \sqrt{(\frac{a}{2})^2 - (\frac{b}{2})^2}$

und nun y bestimmen:

$y = \pm \sqrt{-\frac{a}{2}\pm \sqrt{(\frac{a}{2})^2 - (\frac{b}{2})^2}}$

und x erhält man mit:

$x = \frac{b}{2y}$