Rätsel zur Wahrscheinlichkeitsberechnung

Plotter

Unbestimmtes und bestimmtes Kind Menschenskind! Das ist doch von der Mathematik her völlig egal, ob auf ein ganz bestimmtes Kind gezeigt wird, oder ob gerade zufällig eines der beiden Kinder vorbei kommt. Wichtig ist, was es ist und nicht, unter welchen Umständen man darauf kommt. Denn der Fakt, dass es einen Jungen gibt, der ist so oder so derselbe.

Ich möchte nochmals auf die mögliche Verteilung bei einer Familie mit 2 Kindern hindeuten. Wie du richtig sagst, ist bei einer Geburt die Chance 50:50 für einen Jungen. Die möglichen Ereignisse sind also
- zweimal ein Junge
- zweimal ein Mädchen
- zuerst ein Junge, dann ein Mädchen
- zuerst ein Mädchen, dann ein Junge

Alle diese sind Ereignisse genau gleich wahrscheinlich. Sieht man nun einen Jungen (egal ob das nun, wie du sagst, bestimmt oder unbestimmt ist), die Kombination von 2 Mädchen kommen nicht mehr in Frage. Die übrigen Wahrscheinlichkeiten haben dann also noch je eine Chance von 1/3. In jedem dieser Fälle haben wir mindestens einen Jungen drin. Das andere ist in 2 Fällen ein Mädchen, in einem ein Junge. Also Chance 2/3 für ein Mädchen.

Schat man sich aber ein Ereignis isoliert an, dann stimmt es mit den 50%, in dieser Situation sind es aber 2/3, da wir etwas mehr wissen.

Ich weiss in meiner persönlichen Situation auch, dass mein 6 Wochen alter Sohn zu 2/3 mal ein Mädchen als Geschwister bekommen wird. Schaue ich aber das nächste Ereignis getrennt von der jetzigen Situation an, sind es aber nur 50%.

Plotter schrieb:

Ich weiss in meiner persönlichen Situation auch, dass mein 6 Wochen alter Sohn zu 2/3 mal ein Mädchen als Geschwister bekommen wird. Schaue ich aber das nächste Ereignis getrennt von der jetzigen Situation an, sind es aber nur 50%.

Nur weil du schon einen Sohn hast, ändert sich gar nichts an deinen Chancen, als nächstes einen weiteren Sohn zu bekommen.

PS: Ich habe jetzt nicht alles durchgelesen, aber mal mein Ansatz:

x - Kind am Fenster, y - Kind im Keller (oder sonstwo)
(wer jetzt der ältere ist, spielt keine Rolle für die Aufgabe)

ohne Vorkenntnisse gibt es vier verschiedene Möglichkeiten (jede hat die Wahrscheinlichkeit von 1/4):

x  m m w w
y  m w m w[cpp]mit dem Wissen "am Fenster erscheint ein Junge" bleiben noch zwei Möglichkeiten übrig:
[/cpp]x  m m
y  m w

da alle Möglichkeiten immer noch die selbe Wahrscheinlichkeit haben, kann jede mit der Chance 1/2 auftreten -> ergo ist das andere Kind zu 50% ein Mädchen

Plotter

Richtig, die Chance für einen weiteren Jungen ist 50%, aber wenn ich schaue, wie zwei Kinder zusammengesetzt sind, und ein Junge schon da ist, ist es zu 2/3 ein Mädchen.

Wo du nun falsch denkst, ist dass bei der Verteilung zu 50% ein Junge und ein Mädchen da sind (da Kombination m w oder w m). Zu 25% sind es zwei Jungs, zu 25% auch zwei Mädchen. Siehst du, egal wo ob auf dem Dach, am Fenstern, im Keller, einen Jungen, entfällt die "zwei Mädchen" Möglichkeit. In den verbleibenden 75% liegt nun die Wahrheit. Und in diesen haben wir einmal einen zweiten Jungen (waren mal die 25%), und die einer Schwester (waren die 50%, also doppelt so gross). Die eine Möglichkeit ist nun doppelt so gross wie die andere. Darum hat eine Chance zu 1/3, die andere zu 2/3.

Jester

Plotter schrieb:

Unbestimmtes und bestimmtes Kind Menschenskind! Das ist doch von der Mathematik her völlig egal, ob auf ein ganz bestimmtes Kind gezeigt wird, oder ob gerade zufällig eines der beiden Kinder vorbei kommt.

Nein. Der Unterschied ist wichtig: Wenn es keine Jungs in der Familie gibt, dann kommt auch nicht zufällig einer vorbei. Gibt es aber zwei, so ist die Wahrscheinlichkeit, daß man einen Jungen sieht 1, wenn man ein Kind sieht.

Wenn Du das damit ansetzt und rechnest kommst Du auf die 1/2-Lösung. Die Interpretation der Aufgabenstellung ist hier seit 65 Seiten das große Problem. Einige behaupten, die Information sei nur: es ex. ein Junge, andere lesen irgendwoher eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für am Fenster stehende Kinder.

Je nachdem wie man die Aufgabenstellung interpretiert kommt man zu unterschiedlichen Lösungen. Natürlich haben wir hier auch einige "Helden", die ganz sicher wissen, welche Interpretation die Richtige ist. Leider steht das in der Aufgabenstellung einfach nicht eindeutig drin.

CStoll

Plotter schrieb:

Wo du nun falsch denkst, ist dass bei der Verteilung zu 50% ein Junge und ein Mädchen da sind (da Kombination m w oder w m). Zu 25% sind es zwei Jungs, zu 25% auch zwei Mädchen. Siehst du, egal wo ob auf dem Dach, am Fenstern, im Keller, einen Jungen, entfällt die "zwei Mädchen" Möglichkeit. In den verbleibenden 75% liegt nun die Wahrheit.

Falsch - dadurch, daß am Fenster ein Junge steht, fallen gleich ZWEI Möglichkeiten weg (m/w und w/m sind verschieden voneinander).

Plotter

@Jester
Stimmt, anscheinden haben wir ein Interpretationsproblem. Aber, was die 50% Fraktion hier tut, ist noch mehr dazurechnen als nötig ist. Du sagst jetzt, dass bei 2 Mädchen kein Junge vorbei kommen kann. Dann steht eben ein Mädchen dort, dann kehrt sich das Spiel halt eben um. Hauptsache jemand wird gesehen. Denn die Anzahl Personen sind, ob Mädchen oder Junge, gleich. Darum auch die Wahrscheinlichkeit, jemand zu sehen. Oder sind Mädchen mehr vor dem Spiegel und lassen sich weniger am Fenster blicken? Sitzen Jungs mehr vor dem PC oder dem TV und siehst man sie darum weniger? Das war doch alles nicht gefragt und es wurde dazu auch nichts gesagt. Die einzige Tatsache ist, dass man einen Jungen gesehen hat. Wie das zustande kam, wird nicht erwähnt und deshalb braucht man es auch nicht zu berücksichtigen.

@CStoll
Falsch, warum fallen zwei Möglichkeiten weg? Du schreibst ja selber "wer jetzt der ältere ist, spielt keine Rolle für die Aufgabe". Also kommen weiterhin die Möglichkeit m/w, w/m und m/m in Frage (je eine Chance von 25% -> Neu 33.3%)! Einzig die Möglichkeit für 2 Mädchen fällt weg.

CStoll

Plotter schrieb:

Falsch, warum fallen zwei Möglichkeiten weg? Du schreibst ja selber "wer jetzt der ältere ist, spielt keine Rolle für die Aufgabe". Also kommen weiterhin die Möglichkeit m/w, w/m und m/m in Frage (je eine Chance von 25% -> Neu 33.3%)! Einzig die Möglichkeit für 2 Mädchen fällt weg.

Schau doch mal eine Zeile drüber: die Möglichkeit w/m (am Fenster steht ein Mädchen, anderes Kind ist Junge) fällt auch weg.

Plotter

Du rechnest auch wieder mit der Wahrscheinlichkeit, dass auch statt des Jungen auch ein Mädchen dort stehen kann. Natürlich könnte es das, tut es aber nicht. Denn die Aufgabe sagt, es erscheint ein Junge. Dieser Punkt ist damit gegeben und nicht zu diskutieren.

Dann haben wir noch die 3 Möglichkeiten

m / w
w / m
m / m

Aus jeder Möglichkeit streichen wir einen Jungen (bei der mit beiden kommt ja das gleiche raus, egal welchen man streicht). In zwei Fällen bleibt ein Mädchen, in einem ein Junge übrig.

Eine, wenn auch sehr simple Aufgabe gestern Abend war, ein Zug hat eine Länge von 1km und fährt 60km/h. Er fährt in einen Tunnel, der auch 1 km lang ist. Wie lange braucht er, um wieder draussen zu sein. Logisch, 2 Minuten. Wir haben nur mit den Werten gerechnet, die da sind. Och, dummerweise hat es drin noch ein Lichtsignal gehabt. Wie gross könnte denn die Wahrscheinlichkeit sein, dass dieses auf Rot war. Oder ein Fahrgast hat die Notbremse gezogen (stand zwar auch nicht in der Aufgabem könnte aber doch sein), was ist dann? Und genauso kommt es mir in dieser Aufgabe vor, es wird einfach etwas hineingerechnet, anstatt mit den Fakten zu arbeiten.

Also, ich klinke mich wieder raus. Vielleicht aktiviere ich den Thread in einem Jahr wieder oder so

CStoll

Plotter schrieb:

Du rechnest auch wieder mit der Wahrscheinlichkeit, dass auch statt des Jungen auch ein Mädchen dort stehen kann.

Klar, die Chancen, daß x (das Kind am Fenster) ein Mädchen ist, sind schließlich theoretisch genauso groß.

Natürlich könnte es das, tut es aber nicht. Denn die Aufgabe sagt, es erscheint ein Junge. Dieser Punkt ist damit gegeben und nicht zu diskutieren.

Ja, und deshalb streiche ich alle Möglichkeiten mit x=w - bleiben nur noch zwei übrig: m/m und m/w.

(nochmal langsam: Die Kombination x/y bedeutet, daß das Kind am Fenster das Geschlecht x und das "andere Kind" das Geschlecht y hat)

Und genauso kommt es mir in dieser Aufgabe vor, es wird einfach etwas hineingerechnet, anstatt mit den Fakten zu arbeiten.

Und die Fakten stehen in der Aufgabe:
* es gibt zwei Kinder
* Kind x (das am Fenster steht) ist ein Junge
* Kind y (das "andere" Kind) ist unbekannt

Plotter

Ok, ich komme nochmals zurück

Warum streichst du denn noch die Kombination w/m? Du hast einfach einen Jungen gesehen. Aus dem Satz weiss man nicht, welcher aus der Kombination m/w oder w/m es war. Darum muss w/m drin bleiben.

CStoll

Wenn du nur die Hälfte meiner Beiträge liest, hilft das gar nichts:

CStoll schrieb:

(nochmal langsam: Die Kombination x/y bedeutet, daß das Kind am Fenster das Geschlecht x und das "andere Kind" das Geschlecht y hat)

(also: w/m bedeutet "ein Mädchen steht am Fenster und das zweite Kind ist ein Junge")

(Ich hasse es, das selbe fünfmal zu erzählen )

Plotter

Schon gut, wollte nur nochmals sicher gehen. Aber wer sagt, dass das erste Kind am Fenster steht. Es könnte auch das zweite sein.

Nochmals die möglichen Kombinsationen einer Familie mit 2 Kindern

m / m
m / w
w / m
w / w

Wenn du nun irgend einen Jungen siehst, muss er aus einer der ersten drei Kombinationen stammen, oder? Darfst du dann einfach eine Kombination wegstreichen?

dooya

Jester schrieb:

[...]
Wenn Du das damit ansetzt und rechnest kommst Du auf die 1/2-Lösung. Die Interpretation der Aufgabenstellung ist hier seit 65 Seiten das große Problem. Einige behaupten, die Information sei nur: es ex. ein Junge, andere lesen irgendwoher eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für am Fenster stehende Kinder.

In meinen Augen ist hier gerade der wesentliche Unterschied zwischen den beiden Lösungsmöglichkeiten, weil es für die "1/2-Lösung" notwendig ist, eine Annahme über die geschlechtsspezifische Verteilung "am Fenster stehen / nicht am Fenster stehen" zu verwenden(denn es wird ja in dieser Lösung davon ausgegangen, dass Mädchen und Jungen gleich häufig am Fenster stehen - eine Information die weder erwähnt, noch allgemein bekannt ist). Die "1/3-Lösung" kommt m.E. ohne die Zuhilfenahme einer derartigen zusätzlichen Information aus.

Je nachdem wie man die Aufgabenstellung interpretiert kommt man zu unterschiedlichen Lösungen. Natürlich haben wir hier auch einige "Helden", die ganz sicher wissen, welche Interpretation die Richtige ist. Leider steht das in der Aufgabenstellung einfach nicht eindeutig drin.

Ja, der Spielraum in der Interpretation der Aufgabe scheint tatsächlich das Problem zu sein und du hast m.E. auch Recht, wenn du die Härte der Diskussion auf die Uneinsichtigkeit der Beteiligten zurückführst. *an meine eigene Nase fass*

Letztlich, schaut man sich einige Publikationen an, scheint an dieser Aufgabe weniger die Lösung, als der Spielraum innerhalb ihrer Interpretierbarkeit das interessantere Thema zu sein.

Artikel bzw. Auszüge aus Büchern in denen die beiden Lösungsmöglichkeiten angesprochen werden:

http://rsw.beck.de/rsw/shop/default.asp?docid=142258

https://www.wissenschaft-online.de/abo/spektrum/archiv/1600

Div. Internetsites die die Aufgabe erwähnen oder zu erklären/lösen versuchen:

http://user.cs.tu-berlin.de/~icoup/archiv/1.ausgabe/artikel/paradoxien.html

http://math-www.upb.de/agpb/mif05/blatt10-mit-Musterloesung.pdf

http://www.fbw.hs-bremen.de/pschmidt/Material/Loes_Kap6.pdf

http://www.reiter1.com/Glossar/Paradoxa.htm

Wir sind also in guter Gesellschaft.

Vielleicht sollte man den Thread am besten schließen und verstecken, weil mich sonst irgendwann mein Chef hier erwischt und das Forum wegen "Ablenkung von Werktätigen" verklagt. (Naja, oder mich einfach feuert... )

dooya

CStoll schrieb:

Plotter schrieb:

Du rechnest auch wieder mit der Wahrscheinlichkeit, dass auch statt des Jungen auch ein Mädchen dort stehen kann.

Klar, die Chancen, daß x (das Kind am Fenster) ein Mädchen ist, sind schließlich theoretisch genauso groß.[...]

Nur wenn Geschlecht und "am Fenster stehen" unabhängig sind. Gibt es hierfür Erfahrungswerte oder Theorien die diese Annahme stützen?

CStoll

Plotter schrieb:

Aber wer sagt, dass das erste Kind am Fenster steht. Es könnte auch das zweite sein.

Meine Definition von "welches ist das 'erste' Kind?"

Wir könnten es auch etwas komplizierter machen und sagen: x=älteres Kind, y=jüngeres Kind, F=welches Kind steht am Fenster?

y  x  F
m  m  1=m
m  m  2=m
m  w  1=m
m  w  2=w
w  m  1=w
w  m  2=m
w  w  1=w
w  w  2=w

Das sind insgesamt acht mögliche Fälle, von denen wir wieder alle streichen, bei denen ein Mädchen gesehen wird:

y  x  F
m  m  1=m
m  m  2=m
m  w  1=m
w  m  2=m

Es bleiben vier Möglichkeiten übrig, und in zwei der Fälle ist das "andere Kind" ein Mädchen -> wieder haben wir Wahrscheinlichkeit 1/2.

Plotter

Danke dooya, und auch den anderen Mitstreitern. Eigentlich muss man sich nicht wundern, dass sich die Menschen gegenseitig auf den Kopf hauen, wenn sie sich schon bei so was nicht einig sind. Sind wir uns jedenfalls in einem Punkt einig: Wir sind uns nicht einig

Jester

CStoll schrieb:

(Ich hasse es, das selbe fünfmal zu erzählen )

Das macht es ja auch nicht richtiger. Es gibt korrekte Lösungswege für beide Ergebnisse. Deiner ist aber fehlerhaft. Du weißt nicht, welches Kind Du siehst. Mit Deiner Argumentation müßte immer, auch wenn man nur die Information ein Kind ist ein Junge die Lösung 1/2 herauskommen. Dem ist aber nicht so.

Plotter

Jester, wenn du schon da bist, komm der Bitte von Dooya nach und schliess den Thread. Wir kommen hier nicht weiter. Danke!

dooya

Plotter schrieb:

Jester, wenn du schon da bist, komm der Bitte von Dooya nach und schliess den Thread. Wir kommen hier nicht weiter. Danke!

Die Bitte den Thread zu schließen war nicht ernst gemeint. Das Schließen würde doch nichts am Problem ändern...

Plotter

Hast ja recht. Aber so gibt es endlich einen Schlussstrich unter diese Debatte.