Rätsel zur Wahrscheinlichkeitsberechnung

[Antwort schreiben]

Muss natürlich 0.5 sein, wieso sollte das Geschlecht des einen von dem anderen ,dass am Fenster steht, abhängig sein.

[Gast]

finix schrieb:

...

Du bist nur unzufrieden mit der Argumentation, weil sie nicht für dich zum fünften mal ausführlich wiederholt wird. Der Thread ist 76 Seiten lang, sieh mal in der gesamten ersten Hälfte nach. Da hat TGGC noch genug Geduld gehabt, es ausführlich zu erklären.

Bedarf keiner Diskussion? Weil du es sagst?

Nein, weil es schon mehrmals widerlegt wurde, dass es nicht irrelevant ist. Kapier es, oder lass es. Ich gehe auf deine einzelnen Punkte nicht mehr weiter ein, weil die Wiederholungen in diesem Thread wirklich endlos sind. Nicht, dass zu solchen Äußerungen nicht schon eine Erklärung abgegeben wurde.
Vor allem, weil von dir nur "Unsinn", "kompletter Unsinn" und "purer Unsinn" ohne Begründung und ohne Anzeichen von Kompetenz kommt.

[Gast]

Wir haben übrigens schon den Quellcode von Programmen gehabt, die diese Situation simulieren. Dort hat sich auch schon gezeigt (und zwar gerade dort war es offensichtlich), dass es nicht irrelevant ist, wie die Auswahl, wer am Fenster steht, zustande kommt. Also lächerlich, dagegen anreden zu wollen. Jetzt ist Eigeninitiative gefragt, nämlich ein paar Mausklicks auf frühere Seiten dieses Threads.

[Antwort schreiben]

Ich hab mir die Frage nochmal durchgelesen und ziehe meine Antwort zurück. In der Aufgabenstellung setht nirgens die Verteilung Jungen/Mädchen allgemein. Die Lösung kann also jede Zahl sein. Es kann ja auch sein, dass 1000 mal so viele Jungen wie Mädchen geboren werden.

[Die Antwort ist 2/3 !!!]

Ich hab die Welt implementiert und wenn ich sie richtig gemacht habe, dann ist die Lösung tatsächlich 2/3.

import java.util.ArrayList;
import java.util.Iterator;
import java.util.List;
import java.util.Random;

public class World {

	final int FAMILIES = 10000;

	class Family {
		int[] children = new int[2];

		int other = -1;

		public boolean boyAtWindow(){
			int win = random.nextInt(2);
			other = (1+win)%2;
			return children[win]==1;
		}

		public int getOther() {
			return children[other];
		}

		public void setChild(int nr, int type) {
			children[nr]=type;
		}

		public int getFamType() {
			if(children[0]==0 && children[1]==0) {
				return 0;
			}
			if(children[0]==1 && children[1]==0) {
				return 1;
			}
			if(children[0]==0 && children[1]==1) {
				return 2;
			}
			return 3;
		}

		public String toString() {
			return "c1: "+children[0]+"  c2: "+children[1];
		}

	}

	Random random = new Random(System.currentTimeMillis());

	List people = new ArrayList(FAMILIES);
	int sum = 0;
	int anz = 0;

	int makeChild(){
		int r = random.nextInt(2);
		sum+=r;
		anz++;
		return r;
	}

	Family makeFamily() {
		Family family = new Family();
		family.setChild(0, makeChild());
		family.setChild(1, makeChild());
		return family;
	}

	public void makeWorld() {
		for (int i = 0; i < FAMILIES; i++) {
			people.add(makeFamily());
		}
	}

	public List getSome(int num) {
		if(num>FAMILIES) num = FAMILIES;
		List list = new ArrayList(num);
		for (int i = 0; i < num; i++) {
			list.add(people.get(random.nextInt(FAMILIES)));
		}
		return list;
	}

	public String toString() {
		return "families: "+FAMILIES+"  boys: "+sum+"  girls: "+(anz-sum);
	}

	public static void main(String args[]) {
		World world = new World();
		world.makeWorld();
		System.out.println(world);
		int some = 1000;
		List list = world.getSome(some);
		int boysInBack = 0;
		int[] famType = new int[4];
		for (Iterator iter = list.iterator(); iter.hasNext();) {
			Family family = (Family) iter.next();
			famType[family.getFamType()]++;
			//System.out.println(family);
			if(family.boyAtWindow()) {
				boysInBack+=family.getOther();
			}
		}
		System.out.println("girls in back: "+(some-boysInBack));
		System.out.println("00: "+famType[0]);
		System.out.println("01: "+famType[1]);
		System.out.println("10: "+famType[2]);
		System.out.println("11: "+famType[3]);
	}
}

Ausgabe

families: 10000  boys: 9993  girls: 10007
girls in back: 751
00: 245
01: 234
10: 272
11: 249

children wert == 1 -> boy

[b7f7]

seit nem Halben Jahr gibts hier 2 Fraktionen
einig ist man sich soweit

Es gibt 4 Belegungen
JJ,JM,MJ,MM
J wird Beobachtet.

2/3 sagt:(sherlock holmes)
J gesehn => p(M,M)=0 => mögliche Kombinationen JM ,MJ,JJ

1/2 sagt: (dirk gently)
J gesehn bedeutet

1. J,#
   oder
2. #,J
   aus 1. => JJ,JM als Möglichkeiten 1/2
   aus 2. => JJ,MJ als Möglichkeiten 1/2
   da 1 oder 2 => p=1/2

1/2 bedautet aber dann auch, dass es Gleich Wahrscheinlich ist das ein Junge einen Bruder hat, wie es Wahrscheinlich ist das er eine Schweset hat.
daraus folgt.
die Belegung am Anfang war falsch(JJ,JM,MJ,MM)
da der Junge ja nur einmal einen Bruder hat und 2 mal eine Schwester.

Fragt mich nicht zu welcher Fraktion ich gehöhre.

[TGGC]

@dooya:
Ja, bewiesen. Ich habe die Lösung 0.5 gezeigt. Du wie daraus die Unabhängigkeit folgt. q.e.d.

Aber manchmal frage ich mich, ob du überhaupt liest, was ich schreibe.Ich sagte doch allgemein (s.o.) und da ist auch alles beschrieben. Für dich zum Mitmeisseln nochmal:

TGGC|_work schrieb:

Aber ok, ich lasse mich nochmal darauf ein. Bitte berechne das Ergebnis für den allgemeinen Fall. Es gibt eine Familie mit zwei Kindern, mit dem Geschlecht g1,g2 aus {w,m}. Es sein nun bekannt, das eines der Geschlechter x aus {w,m} ist. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, das g1 == g2 gilt.

@Antwort schreiben: Nein, nach der "Regel des unzureichenden Grundes" und auch der alltäglichen Erfahrung nehmen wir 0.5 für Verteilung J/M an.

Bye, TGGC (Fakten)

[TGGC]

b7f7 schrieb:

1/2 bedautet aber dann auch, dass es Gleich Wahrscheinlich ist das ein Junge einen Bruder hat, wie es Wahrscheinlich ist das er eine Schweset hat.

Und da dies der Realität entspricht, ist 0.5 ja auch korrekt.

b7f7 schrieb:

daraus folgt.
die Belegung am Anfang war falsch(JJ,JM,MJ,MM)
da der Junge ja nur einmal einen Bruder hat und 2 mal eine Schwester.

Darüber musste ich wirklich herzhaft lachen. Unter diesen 8 Personen sind doch offensichtlich 2 Jungen, die einen Bruder haben und 2 die eine Schwester haben. Damit ist wiederrum das 0.5 bestätigt. Auch wenn du das in deiner Unfähigkeit zu zählen flasch auslegst.

Bye, TGGC (Fakten)

[hehehehe]

b7f7 schrieb:

Fragt mich nicht zu welcher Fraktion ich gehöhre.

Zu der der Legastheniker :p

[finix]

Optimizer schrieb:

finix schrieb:

...

Du bist nur unzufrieden mit der Argumentation, weil sie nicht für dich zum fünften mal ausführlich wiederholt wird.

Ah, sehr schön dass du besser als ich selbst über mich und meine Motivation Bescheid weißt - schon wieder.

Optimizer schrieb:

Der Thread ist 76 Seiten lang, sieh mal in der gesamten ersten Hälfte nach. Da hat TGGC noch genug Geduld gehabt, es ausführlich zu erklären.

Hättest du den Thread mitverfolgt wäre dir aufgefallen dass ich TGGCs Ausführungen schon mitbekommen habe, und wärst du nicht, so scheint es zumindest, ähnlich versessen darauf einfach nur Recht zu bekommen wie er, wäre dir eventuell aufgefallen dass seine Argumentation doch nicht ganz so fantastisch ist wie du sie dartellen möchtest.
Mag natürlich auch sein dass du seine Taktik der ignorierten Fragen, sein unterstützen jeglicher Müll-Argumente solange sie 0.5 besagen, seine roten Heringe, seine persönlichen Beleidigungen etc als elegant ansiehst.

Optimizer schrieb:

Bedarf keiner Diskussion? Weil du es sagst?

Nein, weil es schon mehrmals widerlegt wurde, dass es nicht irrelevant ist. Kapier es, oder lass es.

Heh. Ich habe gerade weder das eine noch das andere gesagt, ich fand nur deine Art deine Meinung auszudrücken so arrogant; und tatsächlich, schon wieder.
Dennoch hätte mich interessiert wie du auf die Idee kommst zu wissen wieso der Junge am Fenster stand...

Optimizer schrieb:

Ich gehe auf deine einzelnen Punkte nicht mehr weiter ein, weil...

Ach so. Ich dachte schon fast weil.. naja.

Optimizer schrieb:

Vor allem, weil von dir nur "Unsinn", "kompletter Unsinn" und "purer Unsinn" ohne Begründung und ohne Anzeichen von Kompetenz kommt.

LOFL. Kannst du nicht lesen?

[TGGC]

Das Programm ist echt witzig. Es simuliert den Vorgang zwar richtig, zählt aber nicht die richtigen Dinge und gibt die dann noch falsch aus. Erstmal wird nicht gezählt, wie oft Jungen überhaupt am Fenster stehen, das wäre aber sehr wichtig, das wir das Verhältnis dazu ja berechnen wollen. boysInBack zählt korrekt wenn ein Junge am Fenster steht und sein Bruder nicht (es zählt also alle Brüderpaare). Aber aus dieser Zahl kann man nicht berechenen, wie oft ein Mädchen hinten steht, wenn ein Junge am Fenster steht.

Darum kommt auch nirgends 2/3 raus...

Bye, TGGC (Fakten)

[b7f7]

TGGC schrieb:

Auch wenn du das in deiner Unfähigkeit zu zählen flasch auslegst.

Nun Wenn Du, in Deiner Unfähigkeit, nicht verstehst was ich gemeint habe.
ist das wirklich nicht mein Problem :p

[TGGC]

finix schrieb:

Hättest du den Thread mitverfolgt wäre dir aufgefallen dass ich TGGCs Ausführungen schon mitbekommen habe, und wärst du nicht, so scheint es zumindest, ähnlich versessen darauf einfach nur Recht zu bekommen wie er, wäre dir eventuell aufgefallen dass seine Argumentation doch nicht ganz so fantastisch ist wie du sie dartellen möchtest.
Mag natürlich auch sein dass du seine Taktik der ignorierten Fragen, sein unterstützen jeglicher Müll-Argumente solange sie 0.5 besagen, seine roten Heringe, seine persönlichen Beleidigungen etc als elegant ansiehst.

Hierbei handelt es sich um eine große Lüge! Hier nochmal die Lösung zu der ich alle Fragen beantwortet habe und in die auch berechtigte Kritik eingeflossen ist, daher auch schon die 5. Version. Es handelt sich also um eine unwiderlegt korrekte Lösung der Aufgabe.

TGGC schrieb:

Aufgabe: Eine Familie hat zwei Kinder. Eines der Kinder steht am Fenster. Dieses Kind ist ein Junge. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das andere Kind ein Mädchen ist?

Wir wollen den beobachteten Zustand "Kind, welches am Fenster steht, ist ein Junge" B nennen. Alle unsere Betrachtungen müssen also unter der Voraussetzung das B eintritt, gemacht werden, kurz "wenn B". Wir wollen das Kind, welches nicht am Fenster steht "anderes Kind" nennen.

Wir stellen fest:
P( "anderes Kind ist ein Mädchen" wenn B ) + P( "anderes Kind ist ein Junge" wenn B ) = 1
P( "anderes Kind ist ein Mädchen" wenn B ) = 1 - P( "anderes Kind ist ein Junge" wenn B )

Die gilt, weil sich die Junge/Mädchen ausschliest, aber auch keine dritte Möglichkeit existiert. Daher muss die Summe 1 beider Wahrscheinlichkeiten sein.

Wie gross ist nun die Wahrscheinlichkeit für "anderes Kind ist ein Junge" unter der Bedingung "Kind, welches am Fenster steht, ist ein Junge"? Also A= "anderes Kind ist ein Junge" und B= "Kind, welches am Fenster steht, ist ein Junge", kurz geschrieben: gesucht wird P(A|B).

P( "anderes Kind ist ein Junge" wenn B )= P(A|B)= P( A geschnitten B ) / P( B )

Zunächst zu P(B):
Wenn ein Kind am Fenster steht, so ist sein Geschlecht mit einer Chance von 50% männlich, da am Fenster stehen und das Geschlecht unabhängig sind und wir eine Geschlechterverteilung von 1:1 annehmen. Daher gilt P( B )= 0.5.

Kommen wir zu P( A geschnitten B ):
Die Wahrscheinlichkeit das "Kind, welches am Fenster steht, ist ein Junge" und "anderes Kind ist ein Junge" ist auch recht einfach zu erkennen! Dies kann nur gelten wenn die Familie zwei Jungen hat. Die Wahrscheinlichkeit, das als erstes Kind ein Junge geboren wird, ist 0.5. Für das zweite Kind ebenso. Da die Geburten unabhängig voneinander sind, ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, das beides eintritt, durch Multiplikation. Also P( A geschnitten = 0.5 * 0.5 = 0.25

Damit ergibt sich:

P( anderes Kind ist ein Junge wenn B )= P(A|B) = 0.25 / 0.5
P( anderes Kind ist ein Junge wenn B )= P(A|B) = 0.5

und

P( anderes Kind ist ein Mädchen wenn B ) = 1 - 0.5
P( anderes Kind ist ein Mädchen wenn B ) = 0.5

[rev. 5]

Bye, TGGC (Fakten)

[TGGC]

b7f7 schrieb:

Nun Wenn Du, in Deiner Unfähigkeit, nicht verstehst was ich gemeint habe.
ist das wirklich nicht mein Problem :p

Ich habe verstanden, was du gemeint hast. Aber leider hast du dich vermeint und einen neuen Beweis für 0.5 geliefert. Angenommen es sind 4 neue Familien eingezogen, und nicht nur eine, diese haben jeweils 2 Kinder, mit 4 möglichen Kombinationen: MM, JM, MJ und JJ. Nun steht einer der Jungen am Fenster, wie hoch ist die Chance, das er einen Bruder/ eine Schwester hat. Durch einfaches Abzählen ergibt sich 0.5. Respekt. Geniale Lösung.

Bye, TGGC (Fakten)

[TGGC]

Es gab übrigens schon einmal eine ähnliche Lösung. Diese ist so elegant, das bisher nie jemand gewagt hat, auch nur einen Kratzer darin zu machen. Sie war auch der Grund, warum damals irgendwann nicht mehr gepostet wurde,
da jeder eigentlich einsehen musste, was die korrekte Lösung ist.

FireFlow schrieb:

Es gibt wie schon gesagt folgende Kombinationen:

M1 J1
J2 M2
J3 J4
M3 M4

Wir wissen nun dass wir einen Jungen gesehen. Welchen... puh keine Ahnung. Wir könnten also J1, J2, J3 oder J4 gesehen haben. Bei J1 oder J2 wär das andere Kind ein Mädl, bei J3 oder J4 wär es ein Junge...

Bye, TGGC (Fakten)

[b7f7]

TGGC schrieb:

b7f7 schrieb:

Nun Wenn Du, in Deiner Unfähigkeit, nicht verstehst was ich gemeint habe.
ist das wirklich nicht mein Problem :p

Ich habe verstanden, was du gemeint hast. Aber leider hast du dich vermeint und einen neuen Beweis für 0.5 geliefert. Angenommen es sind 4 neue Familien eingezogen, und nicht nur eine, diese haben jeweils 2 Kinder, mit 4 möglichen Kombinationen: MM, JM, MJ und JJ. Nun steht einer der Jungen am Fenster, wie hoch ist die Chance, das er einen Bruder/ eine Schwester hat. Durch einfaches Abzählen ergibt sich 0.5. Respekt. Geniale Lösung.
Bye, TGGC (Fakten)

di Möglichkeit Mädchen, Madchen fällt weg.
Bleiben nur noch drei weitere übrig.
1*Junge, 2mal Mädchen
ist das so schwer?
:p

[TGGC]

Nein, eigentlich ist es nicht schwer. Man muss nur zählen. In den vier verbliebenen Möglichkeiten gibt es 4 Jungen. Wieviele von denen haben Brüder? Genau 0.5. q.e.d.

Damit haben wir nun schon 3 Lösungen, deine, Fireflows und meine, die unwidersprochen und nachvollziehbar zu 0.5 führen.

Nochmal, weil es so schön war:

1/2 bedautet aber dann auch, dass es gleich wahrscheinlich ist das ein Junge einen Bruder hat, wie es wahrscheinlich ist das er eine Schwester hat.
Dies kann man direkt aus der anfänglichen Belegung (JJ,JM,MJ,MM) ablesen. Durch eingfaches Abzählen findet man hier zwei Jungen mit Brüdern und 2 mit Schwestern.

Bye, TGGC (Fakten)

[dooya]

TGGC schrieb:

@dooya:
Ja, bewiesen. Ich habe die Lösung 0.5 gezeigt. Du wie daraus die Unabhängigkeit folgt. q.e.d.[...]

In deiner Lösung benutzt du die Unabhängigkeit bereits (steht sogar drin). Allerdings erwähnst du in keiner Weise, wie diese Annahme zu rechtfertigen oder beweisen ist. Ich habe auf diesen in meinen Augen fragwürdigen Punkt innerhalb deines Lösungsvorschlages mehrfach hingewiesen, wie auch auf einige andere. Nach meinem Empfinden gelang es dir in deinen Antworten -sofern sie tatsächlich sachliche Äusserungen enthielten- nicht, diese Punkte hinreichend zu erklären.

[...]
Aber manchmal frage ich mich, ob du überhaupt liest, was ich schreibe.Ich sagte doch allgemein (s.o.) und da ist auch alles beschrieben. Für dich zum Mitmeisseln nochmal:

TGGC|_work schrieb:

Aber ok, ich lasse mich nochmal darauf ein. Bitte berechne das Ergebnis für den allgemeinen Fall. Es gibt eine Familie mit zwei Kindern, mit dem Geschlecht g1,g2 aus {w,m}. Es sein nun bekannt, das eines der Geschlechter x aus {w,m} ist. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, das g1 == g2 gilt.

[...]
Bye, TGGC (Fakten)

Mangels Zeit greife ich auf meinen Beitrag vom 23.7.05 zurück ( http://www.c-plusplus.net/forum/viewtopic-var-p-is-836973.html#836973 ). Ich weiss, dass du selbigen nicht akzeptiert hast, konntest ihn nach meiner Einschätzung jedoch nicht widerlegen.

In selbigem wird die Lösung für den Fall g1 != g2 berechnet:

dooya schrieb:

Die Frage, wie oft und warum ein Junge am Fenster steht ist für die Aufgabe nicht relevant, denn in der Aufgabenstellung wird dies explizit gefordert, d.h. alle Fälle in denen ein Mädchen am Fenster steht werden a priori ausgeschlossen. Oder anders: die Frage nach dem Geschlecht des zweiten Kindes soll unter der Vorraussetzung, dass eines der beiden Kinder ein Junge ist, beantwortet werden.

Unstrittig dürfte sein, dass für Familien mit zwei Kindern immer gilt:
$\Omega = \{\{M,M\}, \{M,J\}, \{J,M\}, \{J,J\}\}$

mit

$P(\{M,M\}) = P(\{M,J\}) = P(\{J,M\}) = P(\{J,J\}) = .25$

Aus dem Ereignis "ein Junge steht am Fenster" folgt "mindestens ein Kind ist ein Junge" und sei mit A bezeichnet und kann formuliert werden als:
$A = \left\{\{x,y\} \in \Omega \,|\, x = \{J\} \vee y = \{J\} \right\}$

Offensichtlich ist
$A = \{\{M,J\}, \{J,M\}, \{J,J\}\}$ mit

$P(A | \Omega) = P(A) = .75$

Analog zu A kann Ereignis B "mindestens ein Kind ist ein Mädchen" definiert werden:

$B = \left\{\{x,y\} \in \Omega \,|\, x = \{M\} \vee y = \{M\} \right\}$

Und offensichtlich ist
$B = \{\{M,M\}, \{M,J\}, \{J,M\}\}$ mit

$P(B|\Omega) = P(B) = .75$

In der Aufgabenstellung wird nun gefragt, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Mädchen unter den Kindern ist (Ereignis B), wenn man einen Jungen am Fenster sieht (Ereignis A), also

$P(B | A)$.

Dies kann bekanntlich berechnet werden nach

$P(B | A) = \frac{A \cap B}{P(A)}$

Offensichtlich ist

$A \cap B = \{\{M,J\}, \{J,M\}, \{J,J\}\} \cap \{\{M,M\}, \{M,J\}, \{J,M\}\}$
$= \{\{M,J\}, \{J,M\}\}$

und natürlich ist P(A \cap = P (\{\{M,J\}, \{J,M}}\}) = .5

Also ist

$P(B | A) = \frac{.5}{.75} = .66$

_edit
Korrektur in der Herleitung von A:
Das Ereignis "ein Junge steht ein Fenster" ist gleichbedeutend mit "mindestens ein Kind ist ein Junge" ersetzt durch: aus "ein Junge steht am Fenster" folgt "mindestens ein Kind ist ein Junge"

Für den von dir gesuchten Fall g1 == g2 muss einfach nur die Gegenwahrscheinlichkeit
$1 - P(B | A) = .33$ berechnet werden.

Diese Lösung ist eine allgemeine Lösung, weil die Bezeichnungen J und M ja frei definierbar sind. Im ursprünglichen Beitrag war ich zwar von einem stillschweigenden Einvernehmen ausgegangen, dass gilt J = Junge und M = Mädchen, diese Setzung ist aber in keiner Weise fest.

Wenn gilt J = Junge und M = Mädchen, gibt die Lösung die Wahrscheinlichkeit an, dass ein Junge am Fenster steht und das andere Kind ein Junge ist (P(g1 == g2) = 0.33).

Wenn jedoch gilt J = Mädchen und M = Junge, gibt die Lösung die Wahrscheinlichkeit an, dass ein Mädchen am Fenster steht und das andere Kind ein Mädchen ist (auch P(g1 == g2) = 0.33).

Off Topic:
Bin jetzt höchstwahrscheinlich bis mindestens Freitag abend offline, kann also erstmal nicht antworten.

[Jester]

TGGC schrieb:

Es gab übrigens schon einmal eine ähnliche Lösung. Diese ist so elegant, das bisher nie jemand gewagt hat, auch nur einen Kratzer darin zu machen.

Stimmt, sie verschleiert sehr elegant die doppelte Gewichtung des Falles JJ, den ihr sonst durch Wahrscheinlichkeiten wer am Fenster steht gemacht habt.

[finix]

<a href= schrieb:

TGGC">
(...)
Zunächst zu P(B):
Wenn ein Kind am Fenster steht, so ist sein Geschlecht mit einer Chance von 50% männlich, da am Fenster stehen und das Geschlecht unabhängig sind und wir eine Geschlechterverteilung von 1:1 annehmen. Daher gilt P( B )= 0.5.
(...)

Du hast keine Ahnung wie groß die Wahrscheinlichkeit dass ein Junge am Fenster stehen würde war; lediglich dass dieses Ereignis eingetreten ist.