4. Rätsel zur Wahrscheinlichkeitsberechnung

Rätsel zur Wahrscheinlichkeitsberechnung


  • finix schrieb:

    Hättest du den Thread mitverfolgt wäre dir aufgefallen dass ich TGGCs Ausführungen schon mitbekommen habe, und wärst du nicht, so scheint es zumindest, ähnlich versessen darauf einfach nur Recht zu bekommen wie er, wäre dir eventuell aufgefallen dass seine Argumentation doch nicht ganz so fantastisch ist wie du sie dartellen möchtest.
    Mag natürlich auch sein dass du seine Taktik der ignorierten Fragen, sein unterstützen jeglicher Müll-Argumente solange sie 0.5 besagen, seine roten Heringe, seine persönlichen Beleidigungen etc als elegant ansiehst.

    Hierbei handelt es sich um eine große Lüge! Hier nochmal die Lösung zu der ich alle Fragen beantwortet habe und in die auch berechtigte Kritik eingeflossen ist, daher auch schon die 5. Version. Es handelt sich also um eine unwiderlegt korrekte Lösung der Aufgabe.

    TGGC schrieb:

    Aufgabe: Eine Familie hat zwei Kinder. Eines der Kinder steht am Fenster. Dieses Kind ist ein Junge. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das andere Kind ein Mädchen ist?

    Wir wollen den beobachteten Zustand "Kind, welches am Fenster steht, ist ein Junge" B nennen. Alle unsere Betrachtungen müssen also unter der Voraussetzung das B eintritt, gemacht werden, kurz "wenn B". Wir wollen das Kind, welches nicht am Fenster steht "anderes Kind" nennen.

    Wir stellen fest:
    P( "anderes Kind ist ein Mädchen" wenn B ) + P( "anderes Kind ist ein Junge" wenn B ) = 1
    P( "anderes Kind ist ein Mädchen" wenn B ) = 1 - P( "anderes Kind ist ein Junge" wenn B )

    Die gilt, weil sich die Junge/Mädchen ausschliest, aber auch keine dritte Möglichkeit existiert. Daher muss die Summe 1 beider Wahrscheinlichkeiten sein.

    Wie gross ist nun die Wahrscheinlichkeit für "anderes Kind ist ein Junge" unter der Bedingung "Kind, welches am Fenster steht, ist ein Junge"? Also A= "anderes Kind ist ein Junge" und B= "Kind, welches am Fenster steht, ist ein Junge", kurz geschrieben: gesucht wird P(A|B).

    P( "anderes Kind ist ein Junge" wenn B )= P(A|B)= P( A geschnitten B ) / P( B )

    Zunächst zu P(B):
    Wenn ein Kind am Fenster steht, so ist sein Geschlecht mit einer Chance von 50% männlich, da am Fenster stehen und das Geschlecht unabhängig sind und wir eine Geschlechterverteilung von 1:1 annehmen. Daher gilt P( B )= 0.5.

    Kommen wir zu P( A geschnitten B ):
    Die Wahrscheinlichkeit das "Kind, welches am Fenster steht, ist ein Junge" und "anderes Kind ist ein Junge" ist auch recht einfach zu erkennen! Dies kann nur gelten wenn die Familie zwei Jungen hat. Die Wahrscheinlichkeit, das als erstes Kind ein Junge geboren wird, ist 0.5. Für das zweite Kind ebenso. Da die Geburten unabhängig voneinander sind, ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, das beides eintritt, durch Multiplikation. Also P( A geschnitten 😎 = 0.5 * 0.5 = 0.25

    Damit ergibt sich:

    P( anderes Kind ist ein Junge wenn B )= P(A|B) = 0.25 / 0.5
    P( anderes Kind ist ein Junge wenn B )= P(A|B) = 0.5

    und

    P( anderes Kind ist ein Mädchen wenn B ) = 1 - 0.5
    P( anderes Kind ist ein Mädchen wenn B ) = 0.5

    [rev. 5]

    Bye, TGGC (Fakten)

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  • b7f7 schrieb:

    Nun Wenn Du, in Deiner Unfähigkeit, nicht verstehst was ich gemeint habe.
    ist das wirklich nicht mein Problem :p

    Ich habe verstanden, was du gemeint hast. Aber leider hast du dich vermeint und einen neuen Beweis für 0.5 geliefert. Angenommen es sind 4 neue Familien eingezogen, und nicht nur eine, diese haben jeweils 2 Kinder, mit 4 möglichen Kombinationen: MM, JM, MJ und JJ. Nun steht einer der Jungen am Fenster, wie hoch ist die Chance, das er einen Bruder/ eine Schwester hat. Durch einfaches Abzählen ergibt sich 0.5. Respekt. Geniale Lösung.

    Bye, TGGC (Fakten)

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  • Es gab übrigens schon einmal eine ähnliche Lösung. Diese ist so elegant, das bisher nie jemand gewagt hat, auch nur einen Kratzer darin zu machen. Sie war auch der Grund, warum damals irgendwann nicht mehr gepostet wurde,
    da jeder eigentlich einsehen musste, was die korrekte Lösung ist.

    FireFlow schrieb:

    Es gibt wie schon gesagt folgende Kombinationen:

    M1 J1
    J2 M2
    J3 J4
    M3 M4

    Wir wissen nun dass wir einen Jungen gesehen. Welchen... puh keine Ahnung. Wir könnten also J1, J2, J3 oder J4 gesehen haben. Bei J1 oder J2 wär das andere Kind ein Mädl, bei J3 oder J4 wär es ein Junge...

    Bye, TGGC (Fakten)

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  • B

    TGGC schrieb:

    b7f7 schrieb:

    Nun Wenn Du, in Deiner Unfähigkeit, nicht verstehst was ich gemeint habe.
    ist das wirklich nicht mein Problem :p

    Ich habe verstanden, was du gemeint hast. Aber leider hast du dich vermeint und einen neuen Beweis für 0.5 geliefert. Angenommen es sind 4 neue Familien eingezogen, und nicht nur eine, diese haben jeweils 2 Kinder, mit 4 möglichen Kombinationen: MM, JM, MJ und JJ. Nun steht einer der Jungen am Fenster, wie hoch ist die Chance, das er einen Bruder/ eine Schwester hat. Durch einfaches Abzählen ergibt sich 0.5. Respekt. Geniale Lösung.
    Bye, TGGC (Fakten)

    di Möglichkeit Mädchen, Madchen fällt weg.
    Bleiben nur noch drei weitere übrig.
    1*Junge, 2mal Mädchen
    ist das so schwer?
    :p

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  • Nein, eigentlich ist es nicht schwer. Man muss nur zählen. In den vier verbliebenen Möglichkeiten gibt es 4 Jungen. Wieviele von denen haben Brüder? Genau 0.5. q.e.d.

    Damit haben wir nun schon 3 Lösungen, deine, Fireflows und meine, die unwidersprochen und nachvollziehbar zu 0.5 führen.

    Nochmal, weil es so schön war:

    1/2 bedautet aber dann auch, dass es gleich wahrscheinlich ist das ein Junge einen Bruder hat, wie es wahrscheinlich ist das er eine Schwester hat.
    Dies kann man direkt aus der anfänglichen Belegung (JJ,JM,MJ,MM) ablesen. Durch eingfaches Abzählen findet man hier zwei Jungen mit Brüdern und 2 mit Schwestern.

    Bye, TGGC (Fakten)

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  • D

    TGGC schrieb:

    @dooya:
    Ja, bewiesen. Ich habe die Lösung 0.5 gezeigt. Du wie daraus die Unabhängigkeit folgt. q.e.d.[...]

    In deiner Lösung benutzt du die Unabhängigkeit bereits (steht sogar drin). Allerdings erwähnst du in keiner Weise, wie diese Annahme zu rechtfertigen oder beweisen ist. Ich habe auf diesen in meinen Augen fragwürdigen Punkt innerhalb deines Lösungsvorschlages mehrfach hingewiesen, wie auch auf einige andere. Nach meinem Empfinden gelang es dir in deinen Antworten -sofern sie tatsächlich sachliche Äusserungen enthielten- nicht, diese Punkte hinreichend zu erklären.

    [...]
    Aber manchmal frage ich mich, ob du überhaupt liest, was ich schreibe.Ich sagte doch allgemein (s.o.) und da ist auch alles beschrieben. Für dich zum Mitmeisseln nochmal:

    TGGC|_work schrieb:

    Aber ok, ich lasse mich nochmal darauf ein. Bitte berechne das Ergebnis für den allgemeinen Fall. Es gibt eine Familie mit zwei Kindern, mit dem Geschlecht g1,g2 aus {w,m}. Es sein nun bekannt, das eines der Geschlechter x aus {w,m} ist. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, das g1 == g2 gilt.

    [...]
    Bye, TGGC (Fakten)

    Mangels Zeit greife ich auf meinen Beitrag vom 23.7.05 zurück ( http://www.c-plusplus.net/forum/viewtopic-var-p-is-836973.html#836973 ). Ich weiss, dass du selbigen nicht akzeptiert hast, konntest ihn nach meiner Einschätzung jedoch nicht widerlegen.

    In selbigem wird die Lösung für den Fall g1 != g2 berechnet:

    dooya schrieb:

    Die Frage, wie oft und warum ein Junge am Fenster steht ist für die Aufgabe nicht relevant, denn in der Aufgabenstellung wird dies explizit gefordert, d.h. alle Fälle in denen ein Mädchen am Fenster steht werden a priori ausgeschlossen. Oder anders: die Frage nach dem Geschlecht des zweiten Kindes soll unter der Vorraussetzung, dass eines der beiden Kinder ein Junge ist, beantwortet werden.

    Unstrittig dürfte sein, dass für Familien mit zwei Kindern immer gilt:
    Ω={{M,M},{M,J},{J,M},{J,J}}\Omega = \{\{M,M\}, \{M,J\}, \{J,M\}, \{J,J\}\}

    mit

    P({M,M})=P({M,J})=P({J,M})=P({J,J})=.25P(\{M,M\}) = P(\{M,J\}) = P(\{J,M\}) = P(\{J,J\}) = .25

    Aus dem Ereignis "ein Junge steht am Fenster" folgt "mindestens ein Kind ist ein Junge" und sei mit A bezeichnet und kann formuliert werden als:
    A={{x,y}∈Ω∣x={J}∨y={J}}A = \left\{\{x,y\} \in \Omega \,|\, x = \{J\} \vee y = \{J\} \right\}

    Offensichtlich ist
    A={{M,J},{J,M},{J,J}}A = \{\{M,J\}, \{J,M\}, \{J,J\}\} mit

    P(A∣Ω)=P(A)=.75P(A | \Omega) = P(A) = .75

    Analog zu A kann Ereignis B "mindestens ein Kind ist ein Mädchen" definiert werden:

    B={{x,y}∈Ω∣x={M}∨y={M}}B = \left\{\{x,y\} \in \Omega \,|\, x = \{M\} \vee y = \{M\} \right\}

    Und offensichtlich ist
    B={{M,M},{M,J},{J,M}}B = \{\{M,M\}, \{M,J\}, \{J,M\}\} mit

    P(B∣Ω)=P(B)=.75P(B|\Omega) = P(B) = .75

    In der Aufgabenstellung wird nun gefragt, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Mädchen unter den Kindern ist (Ereignis B), wenn man einen Jungen am Fenster sieht (Ereignis A), also

    P(B∣A)P(B | A).

    Dies kann bekanntlich berechnet werden nach

    P(B∣A)=A∩BP(A)P(B | A) = \frac{A \cap B}{P(A)}

    Offensichtlich ist

    A∩B={{M,J},{J,M},{J,J}}∩{{M,M},{M,J},{J,M}}A \cap B = \{\{M,J\}, \{J,M\}, \{J,J\}\} \cap \{\{M,M\}, \{M,J\}, \{J,M\}\}
    ={{M,J},{J,M}}= \{\{M,J\}, \{J,M\}\}

    und natürlich ist P(A \cap 😎 = P (\{\{M,J\}, \{J,M}}\}) = .5

    Also ist

    P(B∣A)=.5.75=.66P(B | A) = \frac{.5}{.75} = .66

    edit
    Korrektur in der Herleitung von A:
    Das Ereignis "ein Junge steht ein Fenster" ist gleichbedeutend mit "mindestens ein Kind ist ein Junge" ersetzt durch: aus "ein Junge steht am Fenster" folgt "mindestens ein Kind ist ein Junge"

    Für den von dir gesuchten Fall g1 == g2 muss einfach nur die Gegenwahrscheinlichkeit
    1−P(B∣A)=.331 - P(B | A) = .33 berechnet werden.

    Diese Lösung ist eine allgemeine Lösung, weil die Bezeichnungen J und M ja frei definierbar sind. Im ursprünglichen Beitrag war ich zwar von einem stillschweigenden Einvernehmen ausgegangen, dass gilt J = Junge und M = Mädchen, diese Setzung ist aber in keiner Weise fest.

    Wenn gilt J = Junge und M = Mädchen, gibt die Lösung die Wahrscheinlichkeit an, dass ein Junge am Fenster steht und das andere Kind ein Junge ist (P(g1 == g2) = 0.33).

    Wenn jedoch gilt J = Mädchen und M = Junge, gibt die Lösung die Wahrscheinlichkeit an, dass ein Mädchen am Fenster steht und das andere Kind ein Mädchen ist (auch P(g1 == g2) = 0.33).

    Off Topic:
    Bin jetzt höchstwahrscheinlich bis mindestens Freitag abend offline, kann also erstmal nicht antworten.

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  • J

    TGGC schrieb:

    Es gab übrigens schon einmal eine ähnliche Lösung. Diese ist so elegant, das bisher nie jemand gewagt hat, auch nur einen Kratzer darin zu machen.

    Stimmt, sie verschleiert sehr elegant die doppelte Gewichtung des Falles JJ, den ihr sonst durch Wahrscheinlichkeiten wer am Fenster steht gemacht habt. 😉

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  • F

    <a href= schrieb:

    TGGC">
    (...)
    Zunächst zu P(B):
    Wenn ein Kind am Fenster steht, so ist sein Geschlecht mit einer Chance von 50% männlich, da am Fenster stehen und das Geschlecht unabhängig sind und wir eine Geschlechterverteilung von 1:1 annehmen. Daher gilt P( B )= 0.5.
    (...)

    Du hast keine Ahnung wie groß die Wahrscheinlichkeit dass ein Junge am Fenster stehen würde war; lediglich dass dieses Ereignis eingetreten ist.

    0
  • F

    TGGC schrieb:

    Es gab übrigens schon einmal eine ähnliche Lösung. Diese ist so elegant, das bisher nie jemand gewagt hat, auch nur einen Kratzer darin zu machen. Sie war auch der Grund, warum damals irgendwann nicht mehr gepostet wurde,
    da jeder eigentlich einsehen musste, was die korrekte Lösung ist.

    FireFlow schrieb:

    Es gibt wie schon gesagt folgende Kombinationen:

    M1 J1
    J2 M2
    J3 J4
    M3 M4

    Wir wissen nun dass wir einen Jungen gesehen. Welchen... puh keine Ahnung. Wir könnten also J1, J2, J3 oder J4 gesehen haben. Bei J1 oder J2 wär das andere Kind ein Mädl, bei J3 oder J4 wär es ein Junge...

    Hast du einen Link zu dem Post?

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  • ?

    dooya schrieb:

    Diese Lösung ist eine allgemeine Lösung, weil die Bezeichnungen J und M ja frei definierbar sind. Im ursprünglichen Beitrag war ich zwar von einem stillschweigenden Einvernehmen ausgegangen, dass gilt J = Junge und M = Mädchen, diese Setzung ist aber in keiner Weise fest.

    Wenn gilt J = Junge und M = Mädchen, gibt die Lösung die Wahrscheinlichkeit an, dass ein Junge am Fenster steht und das andere Kind ein Junge ist (P(g1 == g2) = 0.33).

    Wenn jedoch gilt J = Mädchen und M = Junge, gibt die Lösung die Wahrscheinlichkeit an, dass ein Mädchen am Fenster steht und das andere Kind ein Mädchen ist (auch P(g1 == g2) = 0.33).

    Ich fasse nochmal zusammen. Es gibt eine Familie mit 2 Kindern. Wenn ich das Geschlecht eines der Kinder kenne, so hat das andere Kind mit einer Wahrscheinlichkeit von 33% ein anderes Geschlecht. Korrekt.

    Bye, TGGC (Fakten)

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  • B

    Du hast eine Gleichverteilte 2Bit Zufallszahl

    Du behauptest, dass wenn irgendein Bit gesetzt ist gilt:
    - p(11)=0.5;
    - p(01)=0.25
    - p(10)=0.25;
    also auch
    - p(3)=0.5
    - p(2)=0.25
    - p(1)=0.25

    daraus folgt
    - Im Interval von 0 bis 3 ist die Zahl per Definition Gleichverteil
    Aus deinem Schluss
    - Im Interval 1 bis 3 ist die Zahl nicht Gleichverteilt

    das bedeutet das die Zahl nie Gleichverteil gewesen sein kann,
    dies ist aber per Definition Gleichverteilt.

    daher muss die Annahme über die Wahrscheinlichkeiten falsch sein.

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  • J

    TGGC|_work schrieb:

    Es gibt eine Familie mit 2 Kindern. Wenn ich das Geschlecht eines der Kinder kenne, so hat das andere Kind mit einer Wahrscheinlichkeit von 33% ein anderes Geschlecht. Korrekt.

    66% oder?

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  • ?

    Jester schrieb:

    TGGC schrieb:

    Es gab übrigens schon einmal eine ähnliche Lösung. Diese ist so elegant, das bisher nie jemand gewagt hat, auch nur einen Kratzer darin zu machen.

    Stimmt, sie verschleiert sehr elegant die doppelte Gewichtung des Falles JJ, den ihr sonst durch Wahrscheinlichkeiten wer am Fenster steht gemacht habt. 😉

    Was heisst verschleiern? Es werden einfach alle Fälle mit Jungen am Fenster derart gezählt, das diese Wahrscheinlichkeit überhaupt nicht nötig ist. Denn wie gesagt, jeder der 4 Jungen könnte es mit gleicher Wahrscheinlichkeit sein. Das macht es einfach verständlich warum hier 0.5 herauskommen muss.

    Bye, TGGC (Fakten)

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  • ?

    finix schrieb:

    <a href= schrieb:

    TGGC">
    (...)
    Zunächst zu P(B):
    Wenn ein Kind am Fenster steht, so ist sein Geschlecht mit einer Chance von 50% männlich, da am Fenster stehen und das Geschlecht unabhängig sind und wir eine Geschlechterverteilung von 1:1 annehmen. Daher gilt P( B )= 0.5.
    (...)

    Du hast keine Ahnung wie groß die Wahrscheinlichkeit dass ein Junge am Fenster stehen würde war; lediglich dass dieses Ereignis eingetreten ist.

    Diese Wahrscheinlichkeit ist auch unwichtig. Wichtig ist, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein am Fenster stehendes Kind männlich ist. Und diese ist, übereinstimmend nach Alltagserfahrung und nach der "Regel des unzureichenden Grundes" 0.5.

    Bye, TGGC (Fakten)

    0
  • ?

    finix schrieb:

    TGGC schrieb:

    Es gab übrigens schon einmal eine ähnliche Lösung. Diese ist so elegant, das bisher nie jemand gewagt hat, auch nur einen Kratzer darin zu machen. Sie war auch der Grund, warum damals irgendwann nicht mehr gepostet wurde,
    da jeder eigentlich einsehen musste, was die korrekte Lösung ist.

    FireFlow schrieb:

    Es gibt wie schon gesagt folgende Kombinationen:

    M1 J1
    J2 M2
    J3 J4
    M3 M4

    Wir wissen nun dass wir einen Jungen gesehen. Welchen... puh keine Ahnung. Wir könnten also J1, J2, J3 oder J4 gesehen haben. Bei J1 oder J2 wär das andere Kind ein Mädl, bei J3 oder J4 wär es ein Junge...

    Hast du einen Link zu dem Post?

    Natürlich, kurz vorm ersten Einschlafen des Threads: http://www.c-plusplus.net/forum/viewtopic-var-t-is-115631-and-postdays-is-0-and-postorder-is-asc-and-start-is-600.html

    Bye, TGGC (Fakten)

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  • ?

    b7f7 schrieb:

    Du hast eine Gleichverteilte 2Bit Zufallszahl

    Du behauptest, dass wenn irgendein Bit gesetzt ist gilt:
    - p(11)=0.5;
    - p(01)=0.25
    - p(10)=0.25;

    Nein, das habe ich nicht behauptet. Nicht wenn irgendein Bit gesetzt ist, sondern wenn ein zufällig gewähltes Bit ("das Bit am Fenster") gesetzt ist. Den Unterschied habe ich jetzt wir oft erklärt? Öfter als dieses Wort Bits hat.

    Bye, TGGC (Fakten)

    0
  • ?

    Jester schrieb:

    TGGC|_work schrieb:

    Es gibt eine Familie mit 2 Kindern. Wenn ich das Geschlecht eines der Kinder kenne, so hat das andere Kind mit einer Wahrscheinlichkeit von 33% ein anderes Geschlecht. Korrekt.

    66% oder?

    Entschuldigung. Es hätte heissen sollen Mit 33% das gleiche Geschlecht und mit 66% ein anderes Geschlecht. Jetzt aber!

    Bye, TGGC (Fakten)

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  • B

    TGGC|_work schrieb:

    b7f7 schrieb:

    Du hast eine Gleichverteilte 2Bit Zufallszahl

    Du behauptest, dass wenn irgendein Bit gesetzt ist gilt:
    - p(11)=0.5;
    - p(01)=0.25
    - p(10)=0.25;

    Nein, das habe ich nicht behauptet. Nicht wenn irgendein Bit gesetzt ist, sondern wenn ein zufällig gewähltes Bit ("das Bit am Fenster") gesetzt ist. Den Unterschied habe ich jetzt wir oft erklärt? Öfter als dieses Wort Bits hat.

    Bye, TGGC

    und woher kommt dein Wissen über den Zufall?
    da steht nicht Durch Zufall beobachtet man einen Jungen.
    da steht nicht das eine Münze geworfen Wurde und bei Kopf Kind 1, bei Zahl Kind 2 am Fenster steht.

    Was da steht ist.
    Man sieht, das eines der Kinder ein Junge ist.
    dies is entspricht:
    "Haben sie einen Sohn?" oder "ist ein Junge im Haus?"
    "Ja"
    daher auch "ist irgendein Bit gesetzt?"

    0
  • ?

    b7f7 schrieb:

    da steht nicht Durch Zufall beobachtet man einen Jungen.
    da steht nicht das eine Münze geworfen Wurde und bei Kopf Kind 1, bei Zahl Kind 2 am Fenster steht.

    Da steht aber auch nichts anderes. Daher ist es nach der "Regel des unzureichenden Grundes" Zufall ob man Erst- oder Zweitgeborenes siehr.

    b7f7 schrieb:

    Was da steht ist.
    Man sieht, das eines der Kinder ein Junge ist.

    Nein. Das steht da nicht, wie ich eben schon sagte. Man sieht das Kind am Fenster ein Junge ist. Lest doch bitte wenigstens die Aufgabe. Das ein Junge am Fenster steht entspricht ganz offensichtlich nicht, das ein Junge im Hause ist.

    Bye, TGGC (Fakten)

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  • ?

    wollt ihr nicht ma lieber bissel an die frische luft gehen? bissel sport machen? 🙄 🙄
    über 70 seiten über so ne nichtigkeit streiten

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