4. Rätsel zur Wahrscheinlichkeitsberechnung

Rätsel zur Wahrscheinlichkeitsberechnung

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    @dooya: Hier stehts nochmal: http://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitstheorie#Bedingte_Wahrscheinlichkeit

    Bedingte Wahrscheinlichkeit durch abzählen, genau so, wie ich es gemacht habe.

    Bye, TGGC

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    TGGC|_work schrieb:

    dooya schrieb:

    Es wäre mir neu, wenn generell gelten würde dass P(B|A) != P(A geschnitten B). Gegenbeispiele wären A = B und B⊂AB \subset A. Ausserdem ist die Herleitung von P(B|A) korrekt. 😉

    Nicht allgemein aber in diesem Fall. Das die Herleitung für deine Formel von P(B|A) korrekt ist, habe ich nicht bestritten

    TCCG schrieb:

    Seit wann darf man sich den innerhalb der selben Herleitung mal diese und mal jene Grundgesamtheit (!) aussuchen? Die Menge die du hier als Grundgesamtheit verkaufen willst, hast du uns in deiner "korrekten Lösung bereits so definiert:

    P(B)= P( {J,M, Kind 1 am Fenster }, {M,J, Kind 2 am Fenster }, {J,J, Kind 1 am Fenster }, {J,J, Kind 2 am Fenster } ) = 0.5

    Seit wann ist P(B) die Grundgesamtheit?

    Ich sage nicht, das P(B) die Grundgesamtheit wäre. Überhaupt verwendest du Grundgesamtheit hier ständig falsch. Die Grundgesamtheit wären alle Familien mit zwei Kindern. Diese zerlegen wir lediglich in die Elementarereignisse JJ, JM, MJ und JJ.

    Aber wenn du eine bedingte Wahrscheinlichkeit für X unter Bedingung Y abzählen willst, dann musst du die Elementarereignisse, das X und Y gilt, zählen und die Elementarereignisse, das Y gilt, und dies durcheinander dividieren. So ist die Formel für bedingte Wahrscheinlichkeit.

    Genau das tue ich und komme so zum korrekten Ergebnis.

    Bye, TGGC

    Seltsamerweise begegnet uns innerhalb deiner Argumentation die Menge {{J,J, Kind 1 am Fenster }, {J,J, Kind 2 am Fenster }} genau zweimal:

    (1) In deiner "korrekten Lösung"

    P(A geschnitten 😎 = P( {J,J, Kind 1 am Fenster }, {J,J, Kind 2 am Fenster } ) = 0.25

    (2) in späteren Erläuterungen:

    Das Eintreten des Ereignises "Kind, welches am Fenster steht, ist ein Junge" unter der Bedingung dass gleichzeitig gilt "Kind, das nicht am Fenster ist, ist ein Junge" ist genau P( B|A )= 0.5

    Wenn du dir nochmal genau anschaust, dann ist die Grundmenge, aus der du wählen musst, nun:
    Wenn du dir nochmal genau anschaust, dann ist die Grundmenge, aus der du wählen musst, nun:

    {J,M, Kind 1 am Fenster }
    {M,J, Kind 2 am Fenster }
    {J,J, Kind 1 am Fenster }
    {J,J, Kind 2 am Fenster }

    Nur diese Fälle erfüllen die Bedingung "Junge steht am Fenster". Unter dieser Bedingung ist die Wahrhscheinlichkseit also 2/4 = 0.5

    Beim ersten mal erhält das Ereignis {{J,J, Kind 1 am Fenster }, {J,J, Kind 2 am Fenster }} von dir die Wahrscheinlichkeit .25 zugeordnet, beim zweitem mal sind es auf einmal .5. Hierbei ist unerheblich, ob du das Ereignis einmal als B gegeben A (i.e., B|A) und das andere mal als A∩BA \cap B herleitest - identische Ereignisse treten mit identischen Wahrscheinlichkeiten auf, weil sich die Menge der Elementarereignisse nicht ändert.

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    dooya schrieb:

    Beim ersten mal erhält das Ereignis {{J,J, Kind 1 am Fenster }, {J,J, Kind 2 am Fenster }} von dir die Wahrscheinlichkeit .25 zugeordnet, beim zweitem mal sind es auf einmal .5.

    Klar, das erste ist P(B) gewesen, das zweite P(B|A). Logisch, das also beides unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten sind.

    Bye, TGGC

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    TGGC|_work schrieb:

    @dooya: Hier stehts nochmal: http://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitstheorie#Bedingte_Wahrscheinlichkeit

    Bedingte Wahrscheinlichkeit durch abzählen, genau so, wie ich es gemacht habe.

    Bye, TGGC

    Du hast in deiner "korrekten Lösung" dem hier identischen Ereignis A∩BA \cap B eine andere Wahrscheinlichkeit bescheinigt. Da beide Ereignisse genau {{J,J, Kind 1 am Fenster }, {J,J, Kind 2 am Fenster }} sind, müssen sie auch die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.

    TGGC|_work schrieb:

    dooya schrieb:

    Beim ersten mal erhält das Ereignis {{J,J, Kind 1 am Fenster }, {J,J, Kind 2 am Fenster }} von dir die Wahrscheinlichkeit .25 zugeordnet, beim zweitem mal sind es auf einmal .5.

    Klar, das erste ist P(B) gewesen, das zweite P(B|A). Logisch, das also beides unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten sind.

    Bye, TGGC

    😮 Das kann doch wohl nicht dein Ernst sein, oder? Wo rechnet man denn so?

    Das erste mal taucht diese Menge bei dir übrigens nicht als B, sondern als A∩BA \cap B auf.

    edit
    Die Herleitung der bedingten Wahrscheinlichkeit war natürlich nicht korrekt.

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    TGGC|_work schrieb:

    finix schrieb:

    Du rechnest schon wieder die falsche Aufgabe. Hatten wir nicht schon vor 20 Seiten genau dieses Experiment? Und diese Aufteilung, diesen Rechenansatz im Allgemeinen? Sieh nach.

    Deine "Grundmenge" bedeutet nichts anderes als:
    {J,M, Kind 1 am Fenster } => Du fragst den Jungen ob er eine Schwester hat
    {M,J, Kind 2 am Fenster } => Du fragst den Jungen ob er eine Schwester hat
    {J,J, Kind 1 am Fenster } => Du fragst den Jungen ob er eine Schwester hat
    {J,J, Kind 2 am Fenster } => Du fragst den Jungen ob er eine Schwester hat

    Nein, du redest wirres Zeug. Warum sollte aus dem Ereignis {J,M, Kind 1 am Fenster } folgen "Du fragst den Jungen ob er eine Schwester hat". Ob ich ihn etwas frage oder nicht ist doch irrelevant.

    Du legst dich in deiner Argumentation auf ein Kind fest.

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    TGGC|_work schrieb:

    @dooya: Hier stehts nochmal: http://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitstheorie#Bedingte_Wahrscheinlichkeit

    Bedingte Wahrscheinlichkeit durch abzählen, genau so, wie ich es gemacht habe.

    Bedingte Wahrscheinlichkeit durch abzählen, genau so, wie du es nicht gemacht hast:

    Ω={(M,M),(M,J),(J,M),(J,J)}\Omega = \{(M,M), (M,J), (J,M), (J,J)\}

    Jetzt ist besagtes Ereignis eingetreten und die Menge der noch möglichen Elementarereignisse sieht wie folgt aus

    {(M,J),(J,M),(J,J)}\{(M,J), (J,M), (J,J)\}

    nicht

    {(M,J),(J,M),(J,J),(J,J)}\{(M,J), (J,M), (J,J), (J,J)\}

    In dem angeführten Beispiel heißt es ja auch nicht "da nur die hälfte der Karten überhaupt Rot sind" (X) gilt nun

    P(A∣B)=1/2=P(A∣B)⋅P(X)=1/2⋅1/2=1/4P(A|B) = 1/2 = P(A|B) \cdot P(X) = 1/2 \cdot 1/2 = 1/4

    edit: latex repariert...

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    dooya schrieb:

    Du hast in deiner "korrekten Lösung" dem hier identischen Ereignis A∩BA \cap B eine andere Wahrscheinlichkeit bescheinigt. Da beide Ereignisse genau {{J,J, Kind 1 am Fenster }, {J,J, Kind 2 am Fenster }} sind, müssen sie auch die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.

    Nein, müssen sie nicht, das ist der Charakter einer bedingten Wahrscheinlichkeit. Siehe das Beispiel in wikipedia: Die Chance das man eine Herzkarte hat = 1 / 4, Die Chance das man eine Herzkarte hat, wenn die Karte rot ist = 1 / 2. Gleiche Ereignisse, unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten.

    dooya schrieb:

    Das erste mal taucht diese Menge bei dir übrigens nicht als B, sondern als A∩BA \cap B auf.

    Mein Fehler, ich meinte auch P( A geschnitten B ).

    Bye, TGGC

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    finix schrieb:

    Du legst dich in deiner Argumentation auf ein Kind fest.

    Nein. Meine Elementarereignisse beachten das beide Kinder am Fenster stehen können.

    Bye, TGGC

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    finix schrieb:

    Ω={(M,M),(M,J),(J,M),(J,J)}\Omega = \{(M,M), (M,J), (J,M), (J,J)\}

    Jetzt ist besagtes Ereignis eingetreten und die Menge der noch möglichen Elementarereignisse sieht wie folgt aus

    {(M,J),(J,M),(J,J)}\{(M,J), (J,M), (J,J)\}

    M,J ist kein Elementarereignis. Es setzt sich aus den Elementarereignissen {M,J,Kind 1 am Fenster} und {M,J,Kind 2 am Fenster} zusammen. Daher kann deine Rechnung nicht stimmen.

    Es sei denn du willst wieder mal behaupten das J,M == {M,J,Kind 2 am Fenster} ist und sich der Junge immer ans Fenster drängelt.

    Bye, TGGC

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  • D

    TGGC|_work schrieb:

    dooya schrieb:

    Du hast in deiner "korrekten Lösung" dem hier identischen Ereignis A∩BA \cap B eine andere Wahrscheinlichkeit bescheinigt. Da beide Ereignisse genau {{J,J, Kind 1 am Fenster }, {J,J, Kind 2 am Fenster }} sind, müssen sie auch die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.

    Nein, müssen sie nicht, das ist der Charakter einer bedingten Wahrscheinlichkeit. Siehe das Beispiel in wikipedia: Die Chance das man eine Herzkarte hat = 1 / 4, Die Chance das man eine Herzkarte hat, wenn die Karte rot ist = 1 / 2. Gleiche Ereignisse, unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten.

    [..]

    Nein, es handelt sich nicht um das gleiche Ereignis: das erste Ereignis ist P("Herz") und das zweite Ereignis ist P("Herz" | "Karte ist rot"). 🙄

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    dooya schrieb:

    Nein, das erste Ereignis ist P("Herz") und das zweite Ereignis ist P("Herz" | "Karte ist rot").

    Aber beides ist { "Herz 7", "Herz 8", "Herz 9", "Herz 10", "Herz Junge", "Herz Dame", "Herz König", "Herz As" }. Wie du siehst ist diese Schreibweise für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit nicht ausreichend.

    Wenn ich frage, wie hoch ist die Chance für Junge am Fenster unter der Bedingung es gibt 2 Jungen, so sind die Ereignisse auch {{J,J, Kind 1 am Fenster }, {J,J, Kind 2 am Fenster }}, die Wahrscheinlichkeit aber 1.

    Bye, TGGC

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    TGGC|_work schrieb:

    finix schrieb:

    Ω={(M,M),(M,J),(J,M),(J,J)}\Omega = \{(M,M), (M,J), (J,M), (J,J)\}

    Jetzt ist besagtes Ereignis eingetreten und die Menge der noch möglichen Elementarereignisse sieht wie folgt aus

    {(M,J),(J,M),(J,J)}\{(M,J), (J,M), (J,J)\}

    M,J ist kein Elementarereignis. Es setzt sich aus den Elementarereignissen {M,J,Kind 1 am Fenster} und {M,J,Kind 2 am Fenster} zusammen. Daher kann deine Rechnung nicht stimmen.

    (M,J) ist das Elementarereignis das die Frau des Nachbarn zuerst ein Mädchen und dann einen Jungen geboren hat. Was bitte ist daran uneinsichtig?

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    finix schrieb:

    (M,J) ist das Elementarereignis das die Frau des Nachbarn zuerst ein Mädchen und dann einen Jungen geboren hat. Was bitte ist daran uneinsichtig?

    Diese Ereignis zerfällt in die beiden Ereignisse (M,J, Kind 1 am Fenster ) und (M,J, Kind 2 am Fenster ) und kann daher kein Elementarereignis sein. Was bitte ist daran uneinsichtig?

    Bye, TGGC

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    Wurde dieses Problem etwa, das nun wirklcih kein sehr spezielles ist, nicht shcon 1000e mal von irgendwelchen schlauen professoren und mathematikern gelöst?
    Es kann doch nicht sein, dass sich die Menschheit in ihrer Geschichte bei solch einem Problem noch nicht auf eine Lösung geeinigt hat.

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    TGGC|_work schrieb:

    dooya schrieb:

    Nein, das erste Ereignis ist P("Herz") und das zweite Ereignis ist P("Herz" | "Karte ist rot").

    Aber beides ist { "Herz 7", "Herz 8", "Herz 9", "Herz 10", "Herz Junge", "Herz Dame", "Herz König", "Herz As" }. Wie du siehst ist diese Schreibweise für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit nicht ausreichend.

    Wenn ich frage, wie hoch ist die Chance für Junge am Fenster unter der Bedingung es gibt 2 Jungen, so sind die Ereignisse auch {{J,J, Kind 1 am Fenster }, {J,J, Kind 2 am Fenster }}, die Wahrscheinlichkeit aber 1.

    Bye, TGGC

    Ja, du hast Recht, ich habe in diesem Punkt falsch gelegen. Insofern ist meine Argumentation von heute früh (http://www.c-plusplus.net/forum/viewtopic-var-p-is-837844.html#837844) auch nicht mehr haltbar.

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    Black Shadow__ schrieb:

    Wurde dieses Problem etwa, das nun wirklcih kein sehr spezielles ist, nicht shcon 1000e mal von irgendwelchen schlauen professoren und mathematikern gelöst?
    Es kann doch nicht sein, dass sich die Menschheit in ihrer Geschichte bei solch einem Problem noch nicht auf eine Lösung geeinigt hat.

    Spätestens nach folgender Rechnung ist das Ergebnis bekannt:

    Wir wollen den beobachteten Zustand "Kind, welches am Fenster steht, ist ein Junge" B nennen. Alle unsere Betrachtungen müssen also unter der Voraussetzung das B eintritt, gemacht werden, kurz "wenn B".

    Wir stellen fest:
    P( "Kind, das nicht am Fenster ist, ist ein Mädchen" wenn B ) + P( "Kind, das nicht am Fenster ist, ist ein Junge" wenn B ) = 1
    P( "Kind, das nicht am Fenster ist, ist ein Mädchen" wenn B ) = 1 - P( "Kind, das nicht am Fenster ist, ist ein Junge" wenn B )

    Die gilt, weil sich die Junge/Mädchen ausschliest, aber auch keine 3 Möglichkeit existiert. Daher muss die Summe 1 sein.

    Wie gross ist nun die Wahrscheinlichkeit für "Kind, das nicht am Fenster ist, ist ein Junge" unter der Bedingung "Kind, welches am Fenster steht, ist ein Junge"? Also A= "Kind, das nicht am Fenster ist, ist ein Junge" und B= "Kind, welches am Fenster steht, ist ein Junge", kurz geschrieben: gesucht wird P(A|B).

    P( "Kind, das nicht am Fenster ist, ist ein Junge" wenn B )= P(A|B)= P( A geschnitten B ) / P( B )

    Zunächst zu P(B):
    Wenn ein Kind am Fenster steht, so ist sein Geschlecht mit einer Chance von 50% männlich, da am Fenster stehen und das Geschlecht unabhängig sind und wir eine Geschlechterverteilung von 1:1 annehmen. Daher gilt P( B )= 0.5.

    Kommen wir zu P( A geschnitten B ):
    Die Wahrscheinlichkeit das "Kind, welches am Fenster steht, ist ein Junge" und "Kind, das nicht am Fenster ist, ist ein Junge" ist auch recht einfach zu erkennen! Dies kann nur gelten wenn die Familie zwei Jungen hat. Die Wahrscheinlichkeit, das als erstes Kind ein Junge geboren wird, ist 0.5. Für das zweite Kind ebenso. Da die Geburten unabhängig voneinander sind, ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, das beides eintritt, durch Multiplikation. Also P( A geschnitten 😎 = 0.5 * 0.5 = 0.25

    Damit ergibt sich:

    P( Kind, das nicht am Fenster ist, ist ein Junge wenn B )= P(A|B) = 0.25 / 0.5
    P( Kind, das nicht am Fenster ist, ist ein Junge wenn B )= P(A|B) = 0.5

    und

    P( Kind, das nicht am Fenster ist, ist ein Mädchen wenn B ) = 1 - 0.5
    P( Kind, das nicht am Fenster ist, ist ein Mädchen wenn B ) = 0.5

    [rev. 4]

    Bye, TGGC

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    TGGC|_work schrieb:

    finix schrieb:

    (M,J) ist das Elementarereignis das die Frau des Nachbarn zuerst ein Mädchen und dann einen Jungen geboren hat. Was bitte ist daran uneinsichtig?

    Diese Ereignis zerfällt in die beiden Ereignisse (M,J, Kind 1 am Fenster ) und (M,J, Kind 2 am Fenster ) und kann daher kein Elementarereignis sein. Was bitte ist daran uneinsichtig?

    Hast du meinen Kommentar zu deinem Herz-Beispiel gelesen?
    Und wenn du unbedingt die Wahrscheinlichkeit dass ein Junge am Fenster steht berechnen willst: wo taucht in deiner Rechnung die Wahrscheinlichkeit auf dass es überhaupt einen Jungen gibt auf? Wenn du so darauf beharrst dass es auch ein Mädchen sein könnte obwohl wir wissen dass es ein Junge ist?

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    Bei wikipedia gibt es eine Gegenüberstellung der beiden Lösungsansätze:

    http://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit#Beispiele

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    finix schrieb:

    Hast du meinen Kommentar zu deinem Herz-Beispiel gelesen?

    Ja, welche Relevanz hat das, was soll uns das sagen.

    finix schrieb:

    Und wenn du unbedingt die Wahrscheinlichkeit dass ein Junge am Fenster steht berechnen willst: wo taucht in deiner Rechnung die Wahrscheinlichkeit auf dass es überhaupt einen Jungen gibt auf?

    Wieso sollte die Wahrscheinlichkeit "Es gibt einen Jungen" nötig sein um die Wahrscheinlichkeit "Kind am Fenster ist ein Junge" zu berechnen?

    finix schrieb:

    Wenn du so darauf beharrst dass es auch ein Mädchen sein könnte obwohl wir wissen dass es ein Junge ist?

    [quote="finix"]Das ist keine Frage.

    Bye, TGGC

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    TGGC|_work schrieb:

    finix schrieb:

    Hast du meinen Kommentar zu deinem Herz-Beispiel gelesen?

    Ja, welche Relevanz hat das, was soll uns das sagen.

    Dass es auch eine schwarze Karte hätte sein können.

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