4. Rätsel zur Wahrscheinlichkeitsberechnung

Rätsel zur Wahrscheinlichkeitsberechnung

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    *thread fix*

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  • D

    TGGC|_work schrieb:

    dooya schrieb:

    TGGC|_work schrieb:

    Weil es mindestens einen Fall gibt, in dem der Lösungsweg zu einem falschen Ergebnis führt.

    Bye, TGGC

    Aber doch nur, weil du einen Schluss benutzt hast, der zwar logisch wahr ist, aber im Kontext der Aufgabe nicht sinnvoll.

    - definiere: ein Schluss, der "im Kontext der Aufgabe nicht sinnvoll ist"
    - zeige, dass dies für meinen Schluss gilt
    - zeige, dass dies für deinen Schluss nicht gilt
    - zeige, dass für alle Schlüsse, für die das nicht gilt, die Wahrscheinlichkeitsverteilungen gleich bleiben

    _So_ funktioniert Mathematik.

    Bye, TGGC

    Ein Gedankenspiel: Der Schluss "2 * 2 = 5" -> "2 ist ungerade" ist eine wahre Aussage, weil die Implikation von einer falschen Aussage auf eine falsche Aussage den Wahrheitswert "Wahr" ergibt. (Gleichzeitig ist sie ein Beispiel für das was ich mit "wenig sinnvoll" bezeichnen würde.)

    Die identische Form der Implikation wird bspw. für "a < b" -> "2a < 2b" benutzt, die in der Arithmetik der natürlichen Zahlen ebenfalls wahr ist.

    Darf ich nun Implikationen dieser Form in einem Beweis nicht mehr nutzen? Kann es sein, dass die erste Implikation in vielen mathematischen Beweisen von begrenzten Wert ist, auch wenn sich dieser mathematisch nicht spezifizeren lässt. Trotzdem ist das zweite Beispiel einer Implikation sinnvoll und richtig (auch wieder keine mathematische Teminologie, ich weiss *schäm*).

    Analog vermute ich, dass du zu meinem Beweis beliebig viele logisch wahre, aber im Kontext wenig hilfreiche, bzw. sinnvolle Beispiele finden kannst, ohne das dies die Gültigkeit meiner Herleitung berühren muss.

    Ich habe meine Herleitung eben nochmal durchgelesen und empfinde sie immer noch als angemessen.

    Ich bin ohnehin der Meinung, dass unsere Differenzen nicht in der Form der Herleitung, sondern nur in der Interpretation der Aussage "Ein Junge steht am Fenster"(=B) liegt. Du bist der Meinung, dass diese Information unabhängig vom Ereignis "das zweite Kind ist ein Mädchen" (=A)ist und benutzt die Information "Ein Junge steht am Fenster" de facto nicht, denn weil bei Unabhängigkeit der Ereignisse P(A|B) = P(A) gilt, ist es tatsächlich egal, welches Ereignis durch das B bezeichnet wird. Bspw. ergibt deine Rechnung -wenn A unabhängig B gilt- das gleiche Ergebnis, wenn B = "Ein Kind steht am Fenster sein/ihr Geschlecht ist nicht bekannt" wäre.

    Ich bin dieser Meinung nicht und werte daher die Information "am Fenster steht ein Junge" anders. Allein daher kommen wir zu unterschiedlichen Ergebnissen.

    Ich denke dass dies ein typisches Problem ist, weil die Übersetzung der Alltagssprache in mathematische Notation wohl nicht eindeutig ist. 😕

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  • S

    ist das eigentlich so schwer zu begreifen: TGGC ist einfach der meinung, daß die aussagen "junge steht am fenster" und "eins der kinder ist ein junge" nicht äquivalent sind.

    daraus zieht er den schluß, daß man die aussagen also nicht so austauschen könnt, wie ihr es macht. einige sagen hier einfach "ein junge steht am fenster, daß heißt einfach, es gibt einen jungen", aber das geht seiner meinung nach nicht. ich bin da seiner meinung.

    ihr vergeßt einfach, daß der junge auch noch am fenster steht. wenn ihr euch dann mal überlegt, daß es ja auf jeden fall sein könnte, daß ein zweiter junge existiert, der nicht am fenster steht, dann heißt das doch nix anderes als, daß man J und J auch unterscheiden muß, wenn es zwei sind.

    also ergäbe sich dann als ereignismenge JJ, JJ, MJ und JM. auch dieser umweg führt zum ergebnis 1/2.

    wenn man aber, wie es hier geschieht, einfach aus der aussage "junge steht am fenster" ein "es gibt einen jungen" macht, dann kann man natürlich daraus auf 2/3 kommen, das ist ja zweifelsohne nachvollziehbar.

    an dieser stelle entbrannte eine diskussion darüber, welche annahme wohl sinnvoller sei; ergebnis ist, daß es ein fehler in der aufgabenstellung ist, daß man überhaupt den obigen punkt diskutieren kann- weil das in der aufgabenstelleung eben, je nach sichtweise, nicht klar forumliert wurde.

    selbst ein feldversuch, mit münzen beispielsweise, hapert an dieser verschiedenen interpretation. wenn man sich aber auf eine basis einigen würde, müßte man nicht mehr experimentieren, weil das ergebnis dann auch unmittelbar nachvollzogen werden kann.

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  • Langsam langweilt ihr mich, wenn wenigstens mal neue Argumente von Euch kommen würden und nicht immer wieder das gleiche widergekaut würde.

    dooya schrieb:

    Ein Gedankenspiel: Der Schluss "2 * 2 = 5" -> "2 ist ungerade" ist eine wahre Aussage, weil die Implikation von einer falschen Aussage auf eine falsche Aussage den Wahrheitswert "Wahr" ergibt. (Gleichzeitig ist sie ein Beispiel für das was ich mit "wenig sinnvoll" bezeichnen würde.)

    Die identische Form der Implikation wird bspw. für "a < b" -> "2a < 2b" benutzt, die in der Arithmetik der natürlichen Zahlen ebenfalls wahr ist.

    Darf ich nun Implikationen dieser Form in einem Beweis nicht mehr nutzen? Kann es sein, dass die erste Implikation in vielen mathematischen Beweisen von begrenzten Wert ist, auch wenn sich dieser mathematisch nicht spezifizeren lässt. Trotzdem ist das zweite Beispiel einer Implikation sinnvoll und richtig (auch wieder keine mathematische Teminologie, ich weiss *schäm*).

    Aus etwas Falschem kannst du alles Falsche und alles Wahre folgern. Das wird dir also nichts nützen, wenn du zeigen willst, das etwas wahr ist.

    dooya schrieb:

    Analog vermute ich, dass du zu meinem Beweis beliebig viele logisch wahre, aber im Kontext wenig hilfreiche, bzw. sinnvolle Beispiele finden kannst, ohne das dies die Gültigkeit meiner Herleitung berühren muss.

    Nochmal zum Mitmeisseln deine Fehler:
    - P("Kind am Fenster ist Junge") durch P( "Anzahl Jungen >= 0") ersetzt
    - P("A geschnitten B") nicht bzw. falsch berechnet

    Die Fehler reichen im Grunde schon, da wären Beispiele nicht nötig, würdest du sie einsehen.

    dooya schrieb:

    Ich habe meine Herleitung eben nochmal durchgelesen und empfinde sie immer noch als angemessen.

    Was nichts daran ändert, dass sie falsch ist.

    dooya schrieb:

    Ich bin ohnehin der Meinung, dass unsere Differenzen nicht in der Form der Herleitung, sondern nur in der Interpretation der Aussage "Ein Junge steht am Fenster"(=B) liegt. Du bist der Meinung, dass diese Information unabhängig vom Ereignis "das zweite Kind ist ein Mädchen" (=A)ist und benutzt die Information "Ein Junge steht am Fenster" de facto nicht, denn weil bei Unabhängigkeit der Ereignisse P(A|B) = P(A) gilt, ist es tatsächlich egal, welches Ereignis durch das B bezeichnet wird. Bspw. ergibt deine Rechnung -wenn A unabhängig B gilt- das gleiche Ergebnis, wenn B = "Ein Kind steht am Fenster sein/ihr Geschlecht ist nicht bekannt" wäre.

    Natürlich benutze ich die Aussage, ich werde dir die Stellen nochmal fett markieren. Meiner Rechnung setzt nicht voraus, dass die Ereignisse unabhängig sind. Aus dem Ergebnis folgt dies aber und das Ergebnis würde auch aus dieser folgen. Du kannst ja aber dein Bauchgefühl, was dir ja schon bei den Schlüssen so zuverlässig hilft, fragen: Wenn wir das Geschlecht des Kindes, das nicht am Fenster steht, raten wollen, wie soll uns Wissen um das Geschlecht des anderen Kindes helfen?

    Aufgabe: Eine Familie hat zwei Kinder. Eines der Kinder steht am Fenster. Dieses Kind ist ein Junge. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das andere Kind ein Mädchen ist?

    Wir wollen den beobachteten Zustand "Kind, welches am Fenster steht, ist ein Junge" B nennen. Alle unsere Betrachtungen müssen also unter der Voraussetzung das B eintritt, gemacht werden, kurz "wenn B". Wir wollen das Kind, welches nicht am Fenster steht "anderes Kind" nennen.

    Wir stellen fest:
    P( "anderes Kind ist ein Mädchen" wenn B ) + P( "anderes Kind ist ein Junge" wenn B ) = 1
    P( "anderes Kind ist ein Mädchen" wenn B ) = 1 - P( "anderes Kind ist ein Junge" wenn B )

    Die gilt, weil sich die Junge/Mädchen ausschliest, aber auch keine dritte Möglichkeit existiert. Daher muss die Summe 1 beider Wahrscheinlichkeiten sein.

    Wie gross ist nun die Wahrscheinlichkeit für "anderes Kind ist ein Junge" unter der Bedingung "Kind, welches am Fenster steht, ist ein Junge"? Also A= "anderes Kind ist ein Junge" und B= "Kind, welches am Fenster steht, ist ein Junge", kurz geschrieben: gesucht wird P(A|B).

    P( "anderes Kind ist ein Junge" wenn B )= P(A|B)= P( A geschnitten B ) / P( B )

    Zunächst zu P(B):
    Wenn ein Kind am Fenster steht, so ist sein Geschlecht mit einer Chance von 50% männlich, da am Fenster stehen und das Geschlecht unabhängig sind und wir eine Geschlechterverteilung von 1:1 annehmen. Daher gilt P( B )= 0.5.

    Kommen wir zu P( A geschnitten B ):
    Die Wahrscheinlichkeit das "Kind, welches am Fenster steht, ist ein Junge" und "anderes Kind ist ein Junge" ist auch recht einfach zu erkennen! Dies kann nur gelten wenn die Familie zwei Jungen hat. Die Wahrscheinlichkeit, das als erstes Kind ein Junge geboren wird, ist 0.5. Für das zweite Kind ebenso. Da die Geburten unabhängig voneinander sind, ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, das beides eintritt, durch Multiplikation. Also P( A geschnitten 😎 = 0.5 * 0.5 = 0.25

    Damit ergibt sich:

    P( anderes Kind ist ein Junge wenn B )= P(A|B) = 0.25 / 0.5
    P( anderes Kind ist ein Junge wenn B )= P(A|B) = 0.5

    und

    P( anderes Kind ist ein Mädchen wenn B ) = 1 - 0.5
    P( anderes Kind ist ein Mädchen wenn B ) = 0.5

    [rev. 5]

    Bye, TGGC

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  • ?

    @TGGC: Deine Ausdauer ist bewundernswert. Glaubst du, dass du sie noch retten kannst? Ich nicht. 🙂

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  • scrub schrieb:

    wenn man aber, wie es hier geschieht, einfach aus der aussage "junge steht am fenster" ein "es gibt einen jungen" macht, dann kann man natürlich daraus auf 2/3 kommen, das ist ja zweifelsohne nachvollziehbar.

    Es ist aber offensichtlich das "junge steht am fenster" und "es gibt einen jungen" nicht äquivalent ist. Das würde nämlich bedeuten das nicht nur aus "junge steht am fenster" folgt "es gibt einen jungen", sondern auch umgekehrt aus "es gibt einen jungen" stets "junge steht am fenster" folgt. Das würde aber bedeuten, in jeder Familie die aus Junge/Mädchen besteht ("es gibt einen jungen"), ist _grundsätzlich_ der Junge am Fenster (daraus folgt "junge steht am fenster"), oder wie hier desöfteren etwas flapsig formuliert: der Junge drängelt sich immer ans Fenster. Aus der Tatsachenbeschreibung in der Aufgabe, der Junge einer einzigen Familie (bei der wir noch nichtmal sicher wissen, dass es ein Mädchen gibt), stehe am Fenster, wird man dies aber nicht ableiten können. Daher ist diese Annahme im Sinne der Aufgabe falsch wie auch das Ergebnis 2/3.

    Bye, TGGC

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  • Ausserdem gings in letzter Zeit nur noch darum, das man nicht einfach mit dem Schluss weiterrechnen kann, sondern Äquivalenz nötig ist.

    Bye, TGGC

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  • D

    TGGC schrieb:

    Langsam langweilt ihr mich, wenn wenigstens mal neue Argumente von Euch kommen würden und nicht immer wieder das gleiche widergekaut würde.[...]

    Ich kann verstehen, dass das frustierend für dich ist, aber aus meiner Perspektive fühlt es sich nicht viel anders an. Ebenso wie du von deinen Argumenten überzeugt bist, bin ich von meinen überzeugt. 😞

    TGGC schrieb:

    [...]

    dooya schrieb:

    Ein Gedankenspiel: Der Schluss "2 * 2 = 5" -> "2 ist ungerade" ist eine wahre Aussage, weil die Implikation von einer falschen Aussage auf eine falsche Aussage den Wahrheitswert "Wahr" ergibt. (Gleichzeitig ist sie ein Beispiel für das was ich mit "wenig sinnvoll" bezeichnen würde.)

    Die identische Form der Implikation wird bspw. für "a < b" -> "2a < 2b" benutzt, die in der Arithmetik der natürlichen Zahlen ebenfalls wahr ist.

    Darf ich nun Implikationen dieser Form in einem Beweis nicht mehr nutzen? Kann es sein, dass die erste Implikation in vielen mathematischen Beweisen von begrenzten Wert ist, auch wenn sich dieser mathematisch nicht spezifizeren lässt. Trotzdem ist das zweite Beispiel einer Implikation sinnvoll und richtig (auch wieder keine mathematische Teminologie, ich weiss *schäm*).

    Aus etwas Falschem kannst du alles Falsche und alles Wahre folgern. Das wird dir also nichts nützen, wenn du zeigen willst, das etwas wahr ist.

    Du wolltest anhand von Beispielen zeigen, dass mein Lösungsweg nicht zulässig ist. Ich habe versucht zu demonstrieren, dass mit ein und demselben Lösungsweg sowohl sinnvolle als auch weniger sinnvolle Aussagen möglich sind ohne dass die Gültigkeit des Lösungsweges berührt ist, um damit zu zeigen, dass deine Widerlegung meines Lösungsweges nicht zutrifft.

    TGGC schrieb:

    [...]

    dooya schrieb:

    Analog vermute ich, dass du zu meinem Beweis beliebig viele logisch wahre, aber im Kontext wenig hilfreiche, bzw. sinnvolle Beispiele finden kannst, ohne das dies die Gültigkeit meiner Herleitung berühren muss.

    Nochmal zum Mitmeisseln deine Fehler:
    - P("Kind am Fenster ist Junge") durch P( "Anzahl Jungen >= 0") ersetzt
    [...]

    Nein, ich habe geschrieben (http://www.c-plusplus.net/forum/viewtopic-var-p-is-836973.html#836973):

    dooya schrieb:

    Aus dem Ereignis "ein Junge steht am Fenster" folgt "mindestens ein Kind ist ein Junge"

    , also "Anzahl Jungen >= 1". Bislang habe ich noch keinen Beweis gesehen, in dem dieser Schluss widerlegt wurde (siehe auch weiter unten).

    TGGC schrieb:

    [...]
    - P("A geschnitten B") nicht bzw. falsch berechnet
    [...]

    Ich habe geschrieben (http://www.c-plusplus.net/forum/viewtopic-var-p-is-836973.html#836973):

    dooya schrieb:

    A∩B={{M,J},{J,M},{J,J}}∩{{M,M},{M,J},{J,M}}A \cap B = \{\{M,J\}, \{J,M\}, \{J,J\}\} \cap \{\{M,M\}, \{M,J\}, \{J,M\}\}
    ={{M,J},{J,M}}= \{\{M,J\}, \{J,M\}\}

    und natürlich ist P(A \cap 😎 = P (\{\{M,J\}, \{J,M}}\}) = .5

    Was ist an dieser Rechnung nicht oder falsch berechnet? Die Tatsache, dass A∩BA \cap B in meiner Lösung eine andere Menge bezeichnet liegt daran, dass wir in unseren Lösungswegen andere Ereignisse benutzen (wir haben die Ereignisse auch genau andersrum benannt). Ich habe die unterschiedlichen Ereignisse mal mit Fettdruck markiert:

    dooya schrieb:

    Ereignis "ein Junge steht am Fenster" [...] sei mit A
    welcher Wahrscheinlichkeit ein Mädchen unter den Kindern ist (Ereignis 😎

    bzw.

    TGGC schrieb:

    A= "anderes Kind ist ein Junge"
    B= "Kind, welches am Fenster steht, ist ein Junge"

    Es ist daher nicht verwunderlich, dass die Menge A∩BA \cap B in unseren Lösungswegen unterschiedlich besetzt ist.

    TGGC schrieb:

    [...]
    Die Fehler reichen im Grunde schon, da wären Beispiele nicht nötig, würdest du sie einsehen.
    [...]

    Nun, der zweite von dir angemerkte "Fehler" scheint keiner zu sein und der erste ist einfach eine unterschiedliche Interpretation der Alltagssprache und in genau dieser liegen die unsere unterschiedlichen Ergebnisse begründet.

    TGGC schrieb:

    [...]

    dooya schrieb:

    Ich habe meine Herleitung eben nochmal durchgelesen und empfinde sie immer noch als angemessen.

    Was nichts daran ändert, dass sie falsch ist.
    [...]

    Deiner Meinung nach.

    TGGC schrieb:

    [...]

    dooya schrieb:

    Ich bin ohnehin der Meinung, dass unsere Differenzen nicht in der Form der Herleitung, sondern nur in der Interpretation der Aussage "Ein Junge steht am Fenster"(=B) liegt. Du bist der Meinung, dass diese Information unabhängig vom Ereignis "das zweite Kind ist ein Mädchen" (=A)ist und benutzt die Information "Ein Junge steht am Fenster" de facto nicht, denn weil bei Unabhängigkeit der Ereignisse P(A|B) = P(A) gilt, ist es tatsächlich egal, welches Ereignis durch das B bezeichnet wird. Bspw. ergibt deine Rechnung -wenn A unabhängig B gilt- das gleiche Ergebnis, wenn B = "Ein Kind steht am Fenster sein/ihr Geschlecht ist nicht bekannt" wäre.

    Natürlich benutze ich die Aussage, ich werde dir die Stellen nochmal fett markieren.
    [...]

    Das du sie mehrfach reingeschrieben hast, heisst nicht, dass du sie für deinen Lösungsweg notwendig ist. Da du A unabhängig B annimmst (s.u.), ist die Lösung unabhängig von B, d.h. du benutzt B nicht.

    TGGC schrieb:

    [...]
    Meiner Rechnung setzt nicht voraus, dass die Ereignisse unabhängig sind.
    [...]

    Innerhalb deiner Lösung schreibst du

    TGGC schrieb:

    Wenn ein Kind am Fenster steht, so ist sein Geschlecht mit einer Chance von 50% männlich, da am Fenster stehen und das Geschlecht unabhängig sind und wir eine Geschlechterverteilung von 1:1 annehmen. Daher gilt P( B )= 0.5. [...]

    Wenn "am Fenster stehen" unabhängig von "Geschlecht" ist, ist auch ¬\neg"am Fenster stehen" (="nicht am Fenster stehen") unabhängig von Geschlecht, weil

    "X unabhängig Y" ⇒\Rightarrow "Xc unabhängig Y".

    Weil aber das Kind das nicht am Fenster steht das "andere Kind" ist:

    TGGC schrieb:

    Wir wollen das Kind, welches nicht am Fenster steht "anderes Kind" nennen.

    , dürfte gelten P(A) = P("anderes Kind ist ein Junge") = 0.5. Weiter unten berechnest du

    TGGC schrieb:

    [...]Kommen wir zu P( A geschnitten B ):
    Die Wahrscheinlichkeit das "Kind, welches am Fenster steht, ist ein Junge" und "anderes Kind ist ein Junge" ist auch recht einfach zu erkennen! Dies kann nur gelten wenn die Familie zwei Jungen hat. Die Wahrscheinlichkeit, das als erstes Kind ein Junge geboren wird, ist 0.5. Für das zweite Kind ebenso. Da die Geburten unabhängig voneinander sind, ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, das beides eintritt, durch Multiplikation. Also P( A geschnitten 😎 = 0.5 * 0.5 = 0.25

    Da P(A)∗P(B)=0.5∗0.5=.25=P(A∩B)P(A) * P(B) = 0.5 * 0.5 = .25 = P(A \cap 😎 was gleichbedeutend sein dürfte mit A unabhängig B. An diesem Punkt ist also schon klar, dass A und B unabhängig sind.

    TGGC schrieb:

    [...]
    Aus dem Ergebnis folgt dies aber und das Ergebnis würde auch aus dieser folgen. Du kannst ja aber dein Bauchgefühl, was dir ja schon bei den Schlüssen so zuverlässig hilft, fragen: Wenn wir das Geschlecht des Kindes, das nicht am Fenster steht, raten wollen, wie soll uns Wissen um das Geschlecht des anderen Kindes helfen?
    [...]

    Bedingte Wahrscheinlichkeiten sind definiert als:

    The conditional probability of an event A assuming that B has occurred, denoted P(A|B), equals
    P(A|B)=P(A∩B)(P(B)\frac{P(A \cap B)}{(P(B)}
    Quelle: http://mathworld.wolfram.com/ConditionalProbability.html

    wobei in meinen Augen die Bedeutung auf "B has occurred" liegt und bedeutet, dass das Ereignis bereits bekannt ist (siehe auch dein Beispiel aus wikipedia mit den Karten). Wenn dass Ereignis "Ein Junge steht am Fenster" bereits eingetreten ist, muss sich unter den Kindern mindestens ein Junge befinden ("Anzahl der Jungen $\geq$1, sonst hätte das Ereignis nicht eintreten können. Damit scheidet die Möglichkeit "beide Kinder sind Mädchen" aus. Genau das sagt mir das Geschlecht des Kindes am Fenster. In Analogie zu deinem Kartenbeispiel aus wikipedia hat man nun nur noch die Auswahl unter den Ereignissen {{M,J},{J,M},{J,J}} um Aussagen über das Geschlecht des zweiten Kindes zu machen.
    Unabhängig davon: Wenn ich wissen möchte, wie wahrscheinlich es ist, dass das zweite Kind ein Mädchen ist, wären ja nur die Ereignisse {{M,M}, {M,J},{J,M}}. Wenn ich aber das Geschlecht des Kindes am Fenster schon kenne (weil der Junge am Fenster steht), kann ich {M,M} ausschließen, das zweite Kind kann also nur ein Mädchen sein, wenn es sich bei dem Geschwisterpaar um {M,J} oder {J,M} handelt.

    Das sind die Informationen über das Geschlecht des anderen Kindes, die ich aus dem Geschlecht des Kindes am Fenster ableite.

    TGGC schrieb:

    [...]
    Aufgabe: Eine Familie hat zwei Kinder. Eines der Kinder steht am Fenster. Dieses Kind ist ein Junge. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das andere Kind ein Mädchen ist?

    Wir wollen den beobachteten Zustand "Kind, welches am Fenster steht, ist ein Junge" B nennen. Alle unsere Betrachtungen müssen also unter der Voraussetzung das B eintritt, gemacht werden, kurz "wenn B". Wir wollen das Kind, welches nicht am Fenster steht "anderes Kind" nennen.

    Wir stellen fest:
    P( "anderes Kind ist ein Mädchen" wenn B ) + P( "anderes Kind ist ein Junge" wenn B ) = 1
    P( "anderes Kind ist ein Mädchen" wenn B ) = 1 - P( "anderes Kind ist ein Junge" wenn B )

    Die gilt, weil sich die Junge/Mädchen ausschliest, aber auch keine dritte Möglichkeit existiert. Daher muss die Summe 1 beider Wahrscheinlichkeiten sein.

    Wie gross ist nun die Wahrscheinlichkeit für "anderes Kind ist ein Junge" unter der Bedingung "Kind, welches am Fenster steht, ist ein Junge"? Also A= "anderes Kind ist ein Junge" und B= "Kind, welches am Fenster steht, ist ein Junge", kurz geschrieben: gesucht wird P(A|B).

    P( "anderes Kind ist ein Junge" wenn B )= P(A|B)= P( A geschnitten B ) / P( B )

    Zunächst zu P(B):
    Wenn ein Kind am Fenster steht, so ist sein Geschlecht mit einer Chance von 50% männlich, da am Fenster stehen und das Geschlecht unabhängig sind und wir eine Geschlechterverteilung von 1:1 annehmen. Daher gilt P( B )= 0.5.

    Kommen wir zu P( A geschnitten B ):
    Die Wahrscheinlichkeit das "Kind, welches am Fenster steht, ist ein Junge" und "anderes Kind ist ein Junge" ist auch recht einfach zu erkennen! Dies kann nur gelten wenn die Familie zwei Jungen hat. Die Wahrscheinlichkeit, das als erstes Kind ein Junge geboren wird, ist 0.5. Für das zweite Kind ebenso. Da die Geburten unabhängig voneinander sind, ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, das beides eintritt, durch Multiplikation. Also P( A geschnitten 😎 = 0.5 * 0.5 = 0.25

    Damit ergibt sich:

    P( anderes Kind ist ein Junge wenn B )= P(A|B) = 0.25 / 0.5
    P( anderes Kind ist ein Junge wenn B )= P(A|B) = 0.5

    und

    P( anderes Kind ist ein Mädchen wenn B ) = 1 - 0.5
    P( anderes Kind ist ein Mädchen wenn B ) = 0.5

    [rev. 5]

    Bye, TGGC

    Nur zum Verständnis, könntest du bitte die Mengen A, B, A∩BA \cap B und die dazugehörige Ereignismenge nochmal in Mengenschreibweise darstellen.

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  • F

    @TGGC kann es sein dass du derjenige bist der keinerlei neue Argumente bringen kann? Das einzige was dir zu liegen scheint ist bewusst verfälschend zu zitieren, dich an sprachlichen Feinheiten aufzuhängen und sonstige Argumente ganz einfach zu ignorieren - und dann im Nachhinein sogar noch zu behaupten du hättest jegliches Gegenargument widerlegt - oder vorsätzlich falsch zu interpretieren, und, natürlich, das zu tun was du anderen vorwirfst, nämlich ständig dasselbe wiederzukäuen.
    Du bist offensichtlich nicht in der Lage eine ergebnisoffene Diskussion zu führen.

    scrub schrieb:

    ist das eigentlich so schwer zu begreifen: TGGC ist einfach der meinung, daß die aussagen "junge steht am fenster" und "eins der kinder ist ein junge" nicht äquivalent sind.

    Niemand hat behauptet dass sie äquivalent seien - selbst bei jenen die am Anfang des Threads Aussagen wie "sind in diesem Fall identisch" eingebracht haben unterstelle ich dass sie meinten dass unter den gegebenen Umständen das einzige was sich aus ersterem schließen lässt das zweite ist.

    scrub schrieb:

    daraus zieht er den schluß, daß man die aussagen also nicht so austauschen könnt, wie ihr es macht. einige sagen hier einfach "ein junge steht am fenster, daß heißt einfach, es gibt einen jungen", aber das geht seiner meinung nach nicht. ich bin da seiner meinung.

    Es wird nichts ausgetauscht. Es wird einfach nur die Tatsache verwandt dass es einen Jungen gibt, die einwandfrei aus dem erscheinen des Jungen hervorgeht.

    scrub schrieb:

    ihr vergeßt einfach, daß der junge auch noch am fenster steht. wenn ihr euch dann mal überlegt, daß es ja auf jeden fall sein könnte, daß ein zweiter junge existiert, der nicht am fenster steht, dann heißt das doch nix anderes als, daß man J und J auch unterscheiden muß, wenn es zwei sind.

    also ergäbe sich dann als ereignismenge JJ, JJ, MJ und JM. auch dieser umweg führt zum ergebnis 1/2.

    Dieser Umweg bedeutet nichts anderes als dem Ereignis "ein Junge steht am Fenster (und wird dabei gesehen)" willkürlich eine Wahrscheinlichkeit zuzuordnen und mit dieser, im Prinzip frei erfundenen, Wahrscheinlichkeit weiter zu rechnen.

    scrub schrieb:

    wenn man aber, wie es hier geschieht, einfach aus der aussage "junge steht am fenster" ein "es gibt einen jungen" macht, dann kann man natürlich daraus auf 2/3 kommen, das ist ja zweifelsohne nachvollziehbar.

    Man ändert nicht die Originalaussage. Sondern man gewinnt eine Information aus der Originalaussage mit der man etwas anfangen kann!
    Dem Ereignis "ein Junge wird am Fenster stehend gesehen" lässt sich keine Wahrscheinlichkeit zuordnen. Allerdings kann man auch nicht aus beiden Aussagen zusammengenommen schließen, wie geschehen, dass sich Jungen immer vordrängeln. Dass der Junge am Fenster steht ist schlicht ein eingetretenes Ereignis, daraus lässt sich in keinster Weise ableiten dass es ein sicheres Ereignis war, höchstens dass es kein unmögliches gewesen sein kann.

    scrub schrieb:

    an dieser stelle entbrannte eine diskussion darüber, welche annahme wohl sinnvoller sei; ergebnis ist, daß es ein fehler in der aufgabenstellung ist, daß man überhaupt den obigen punkt diskutieren kann- weil das in der aufgabenstelleung eben, je nach sichtweise, nicht klar forumliert wurde.

    Welchen Fehler siehst du in der Aufgabenstellung? Sie ist doch durchaus klar beschrieben.

    Man könnte höchstens behaupten dass sie unlösbar ist, da man bei der 2/3-Herleitung einfach annimmt dass das Ereignis "der Junge ist am Fenster zu sehen" eingetreten ist.
    Andererseits könnte man bei der 1/2-Herleitung dann bemängeln dass man die Information die Nachbarn haben 2 Kinder als gegeben nimmt und ihr keine frei erfundene Wahrscheinlichkeit zuordnet...

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  • E

    Irgendwie macht die 2/3-Fraktion immer nen Schritt, den ich nicht nachvollziehen kann.

    Von
    MM, JM, MJ, JJ
    schmeißt ihr MM raus. Das ist soweit ok, aber ihr ordnet außer JJ (was auch ok ist) sowohl JM als auch MJ dem Ereignis "Man sieht einen Jungen am Fenster" zu.

    Genauso könnte man JM und MJ auch beide dem Ereignis "Man sieht ein Mädchen am Fenster" zuordnen, wodurch MM, JM und MJ rausfallen. Dann hätte man die (ebenfalls falsche) Wahrscheinlichkeit 0, dass das andere Kind ein Mädchen ist.

    Ich meine, ihr mischt hier eine geordnete Betrachtungsweise, also wo man festlegt, ob das linke oder das rechte Kind das ist, was am Fenster erscheint (MJ fällt dann raus, wenn das linke das ist, was am fenster erscheint), mit der ungeordneten Betrachtungsweise, wo die Reihenfolge keine Rolle spielt, also wo JM=MJ ist, was ihr immer ignoriert.

    Eine dritte Betrachtungsweise gibt es auch noch, die ich bisher nur bei mir und BlackShadow gesehen habe, nämlich dass zwar geordnete Paare hat, aber sowohl zulässt, dass das erste Kind ans Fenster geht, als auch dass das zweite ans Fenster geht. Dann kann aber bei JJ sowohl das "linke" als auch das "rechte" Kind ans Fenster gehen, wodurch man JJ und MM sozusagen zweimal hat. Dann fallen die beiden MM und die JM und MJ, wo man das Mädchen sieht, raus und man bekommt wieder die 1/2.

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  • ?

    empgodot schrieb:

    Eine dritte Betrachtungsweise gibt es auch noch, die ich bisher nur bei mir und BlackShadow gesehen habe, nämlich dass zwar geordnete Paare hat, aber sowohl zulässt, dass das erste Kind ans Fenster geht, als auch dass das zweite ans Fenster geht. Dann kann aber bei JJ sowohl das "linke" als auch das "rechte" Kind ans Fenster gehen, wodurch man JJ und MM sozusagen zweimal hat. Dann fallen die beiden MM raus und man bekommt wieder die 1/2.

    Du meinst Betrachtun gen wie diese, mit der auch schon mehrfach Fehler in der 2/3 Theorie gezeigt wurden? 😎

    TGGC schrieb:

    dooya schrieb:

    In deinem Beispiel ist P(B) = 0.5

    Das ist kein Beispiel, sondern die korrekte Lösung.

    dooya schrieb:

    Bitte spezifiziere B doch mal als Teilmenge aus der Grundgesamtheit {{M,M},{M,J}, {J,M}, {J,J}}, das gleiche bitte auch für A.

    Man kann weder A noch B aus dieser "Grundgesamtheit spezifizieren". Denn A und B werden durch "(nicht) am Fenster stehen" definiert, was in deiner "Grundgesamtheit" nicht vorkommt. Diese beachtet ja nicht, wer am Fenster steht, z.b. {M,J} kann man dies nicht eindeutig A zuordnen. Es geht aber so:

    {M,M, Kind 1 am Fenster }
    {M,M, Kind 2 am Fenster }
    {J,M, Kind 1 am Fenster }
    {J,M, Kind 2 am Fenster }
    {M,J, Kind 1 am Fenster }
    {M,J, Kind 2 am Fenster }
    {J,J, Kind 1 am Fenster }
    {J,J, Kind 2 am Fenster }

    P(A)= P( {J,M, Kind 2 am Fenster }, {M,J, Kind 1 am Fenster }, {J,J, Kind 1 am Fenster }, {J,J, Kind 2 am Fenster } ) = 0.5

    P(B)= P( {J,M, Kind 1 am Fenster }, {M,J, Kind 2 am Fenster }, {J,J, Kind 1 am Fenster }, {J,J, Kind 2 am Fenster } ) = 0.5

    zur Vollständigkeit
    P(A geschnitten 😎 = P( {J,J, Kind 1 am Fenster }, {J,J, Kind 2 am Fenster } ) = 0.25

    Bye, TGGC

    Bye, TGGC

    0
  • E

    TGGC|_work schrieb:

    ]Du meinst Betrachtungen wie diese, mit der auch schon mehrfach Fehler in der 2/3 Theorie gezeigt wurden? 😎

    [...]

    {M,M, Kind 1 am Fenster }
    {M,M, Kind 2 am Fenster }
    {J,M, Kind 1 am Fenster }
    {J,M, Kind 2 am Fenster }
    {M,J, Kind 1 am Fenster }
    {M,J, Kind 2 am Fenster }
    {J,J, Kind 1 am Fenster }
    {J,J, Kind 2 am Fenster }

    [...]

    Ja, ok, das ist im Prinzip auch diese Betrachtungsweise 🙂

    TGGC ist halt auch schlau. 😃

    0
  • D

    empgodot schrieb:

    Irgendwie macht die 2/3-Fraktion immer nen Schritt, den ich nicht nachvollziehen kann.

    Von
    MM, JM, MJ, JJ
    schmeißt ihr MM raus. Das ist soweit ok, aber ihr ordnet außer JJ (was auch ok ist) sowohl JM als auch MJ dem Ereignis "Man sieht einen Jungen am Fenster" zu.

    Genauso könnte man JM und MJ auch beide dem Ereignis "Man sieht ein Mädchen am Fenster" zuordnen, wodurch MM, JM und MJ rausfallen. Dann hätte man die (ebenfalls falsche) Wahrscheinlichkeit 0, dass das andere Kind ein Mädchen ist.
    [...]

    Betrachtet man Geschwisterpaare sind die Mengen "Man sieht einen Jungen am Fenster" und "Man sieht ein Mädchen am Fenster" sind nicht disjunkt.

    "Man sieht einen Jungen am Fenster" = JJ, JM, MJ

    "Man sieht ein Mädchen am Fenster" = MM, JM, MJ

    Die Ereignismengen enthalten jeweils nur die Ereignisse, nach denen ein Kind des jeweiligen Geschlechts überhaupt am Fenster stehen könnte.

    Würde man nur ein einzelnes Kind betrachten, wären die Ereignisse "Man sieht einen Jungen am Fenster" und "Man sieht ein Mädchen am Fenster" allerdings disjunkt:

    "Man sieht einen Jungen am Fenster" = J

    "Man sieht ein Mädchen am Fenster" = M

    empgodot schrieb:

    [...]

    Ich meine, ihr mischt hier eine geordnete Betrachtungsweise, also wo man festlegt, ob das linke oder das rechte Kind das ist, was am Fenster erscheint (MJ fällt dann raus, wenn das linke das ist, was am fenster erscheint), mit der ungeordneten Betrachtungsweise, wo die Reihenfolge keine Rolle spielt, also wo JM=MJ ist, was ihr immer ignoriert.

    Nein, die Reihenfolge ist nicht auf das Fenster bezogen. Sie ergibt sich aus der Definition geordneter Paare. (Habe ich sie innerhalb meiner Lösung benutzt? Ich schau gleich mal nach.)

    empgodot schrieb:

    [...]
    Eine dritte Betrachtungsweise gibt es auch noch, die ich bisher nur bei mir und BlackShadow gesehen habe, nämlich dass zwar geordnete Paare hat, aber sowohl zulässt, dass das erste Kind ans Fenster geht, als auch dass das zweite ans Fenster geht. Dann kann aber bei JJ sowohl das "linke" als auch das "rechte" Kind ans Fenster gehen, wodurch man JJ und MM sozusagen zweimal hat. Dann fallen die beiden MM und die JM und MJ, wo man das Mädchen sieht, raus und man bekommt wieder die 1/2.

    Meines Wissens kann es bei geordneten Paaren JJ oder MM nicht doppelt geben. JM und MJ hingegen sind unterschiedliche Paare.

    @TGGC:
    Danke, kann ich mir aber aber erst nachher im Zug richtig ansehen, wird also später werden. 🙂

    edit
    @TGGC: Könntest du bitte mal versuchen, die Mengen vollständig in mathematischer Notation anzugeben, also eine Notation ohne Alltagssprache zu verwenden ("1.Kind am Fenster"). Oder gib alternativ die Grundmengen an, aus denen man per kartesischem Produkt die Ergebnismenge bilden kann (bspw. für meine Lösung {J} ×\times {M} = {{MM}, {JM}, {MJ}, {JJ}}). Danke. 🙂

    0
  • E

    dooya schrieb:

    Die Ereignismengen enthalten jeweils nur die Ereignisse, nach denen ein Kind des jeweiligen Geschlechts überhaupt am Fenster stehen könnte.

    Eben. es könnte bei MJ und JM der Junge ans Fenster gehen, aber genauso das Mädchen.
    Diese beiden Möglichkeiten sollte man also mit halber Wahrscheinlichkeit bedenken, und zwar mit der Hälfte der Wahrscheinlichkeit, mit der JJ auftritt, hier geht nämlich immer der Junge ans Fenster.

    0
  • S

    finix schrieb:

    scrub schrieb:

    wenn man aber, wie es hier geschieht, einfach aus der aussage "junge steht am fenster" ein "es gibt einen jungen" macht, dann kann man natürlich daraus auf 2/3 kommen, das ist ja zweifelsohne nachvollziehbar.

    Man ändert nicht die Originalaussage. Sondern man gewinnt eine Information aus der Originalaussage mit der man etwas anfangen kann!
    Dem Ereignis "ein Junge wird am Fenster stehend gesehen" lässt sich keine Wahrscheinlichkeit zuordnen. Allerdings kann man auch nicht aus beiden Aussagen zusammengenommen schließen, wie geschehen, dass sich Jungen immer vordrängeln. Dass der Junge am Fenster steht ist schlicht ein eingetretenes Ereignis, daraus lässt sich in keinster Weise ableiten dass es ein sicheres Ereignis war, höchstens dass es kein unmögliches gewesen sein kann.

    scrub schrieb:

    an dieser stelle entbrannte eine diskussion darüber, welche annahme wohl sinnvoller sei; ergebnis ist, daß es ein fehler in der aufgabenstellung ist, daß man überhaupt den obigen punkt diskutieren kann- weil das in der aufgabenstelleung eben, je nach sichtweise, nicht klar forumliert wurde.

    Welchen Fehler siehst du in der Aufgabenstellung? Sie ist doch durchaus klar beschrieben.

    Man könnte höchstens behaupten dass sie unlösbar ist, da man bei der 2/3-Herleitung einfach annimmt dass das Ereignis "der Junge ist am Fenster zu sehen" eingetreten ist.
    Andererseits könnte man bei der 1/2-Herleitung dann bemängeln dass man die Information die Nachbarn haben 2 Kinder als gegeben nimmt und ihr keine frei erfundene Wahrscheinlichkeit zuordnet...

    ich mache eine vernünftige annahme darüber, mit welcher wahrscheinlichkeit ein kind am fenster steht oder nicht. dasselbe haben wir alle übrigens gemacht, als wir davon ausgingen, die wahrscheinlichkeit für die paare JJ, MM, MJ, JM sei jeweils 0,5 * 0,5.
    natürlich kann ich mich jetzt auch auf den standpunkt stellen, daß man ja gar nicht weiß, mit welcher relativen häufigkeit mädchen und jungen vorhanden sind. sodann ist die aufgabe unlösbar, fertig. das kann doch nicht dein ernst sein?

    ich wollte im prinzip nix anderes sagen als empgodot.

    daher setze ich nochmal an...

    aus "ein junge steht am fenster" lassen sich zwei informationen gewinnen:
    1. es gibt mindestens einen jungen
    2. er steht am fenster

    jetzt kann man entweder ganz einfach nachdenken, die todsichere vorgehensweise ist, alle fälle durchzugehen.

    ja, und jetzt muß man eben eine annahme machen, mit welcher wahrscheinlichkeit welches geschlecht am fenster steht.

    nehmen wir an, mädchen und junge stehen gleichwahrscheinlich am fenster, gelangt man zum ergebmis 1/2.

    zum ergebnis 2/3 kommt man aber nur, wenn bei MJ und JM immer der junge am fenster steht.

    jetzt muß man mit nur noch erklären, warum die letztere annahme plausibler ist.

    0
  • F

    scrub schrieb:

    finix schrieb:

    scrub schrieb:

    wenn man aber, wie es hier geschieht, einfach aus der aussage "junge steht am fenster" ein "es gibt einen jungen" macht, dann kann man natürlich daraus auf 2/3 kommen, das ist ja zweifelsohne nachvollziehbar.

    Man ändert nicht die Originalaussage. Sondern man gewinnt eine Information aus der Originalaussage mit der man etwas anfangen kann!
    Dem Ereignis "ein Junge wird am Fenster stehend gesehen" lässt sich keine Wahrscheinlichkeit zuordnen. Allerdings kann man auch nicht aus beiden Aussagen zusammengenommen schließen, wie geschehen, dass sich Jungen immer vordrängeln. Dass der Junge am Fenster steht ist schlicht ein eingetretenes Ereignis, daraus lässt sich in keinster Weise ableiten dass es ein sicheres Ereignis war, höchstens dass es kein unmögliches gewesen sein kann.

    scrub schrieb:

    an dieser stelle entbrannte eine diskussion darüber, welche annahme wohl sinnvoller sei; ergebnis ist, daß es ein fehler in der aufgabenstellung ist, daß man überhaupt den obigen punkt diskutieren kann- weil das in der aufgabenstelleung eben, je nach sichtweise, nicht klar forumliert wurde.

    Welchen Fehler siehst du in der Aufgabenstellung? Sie ist doch durchaus klar beschrieben.

    Man könnte höchstens behaupten dass sie unlösbar ist, da man bei der 2/3-Herleitung einfach annimmt dass das Ereignis "der Junge ist am Fenster zu sehen" eingetreten ist.
    Andererseits könnte man bei der 1/2-Herleitung dann bemängeln dass man die Information die Nachbarn haben 2 Kinder als gegeben nimmt und ihr keine frei erfundene Wahrscheinlichkeit zuordnet...

    ich mache eine vernünftige annahme darüber, mit welcher wahrscheinlichkeit ein kind am fenster steht oder nicht.

    Du machst eine vernünftige Annahme darüber, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Kind am Fenster steht oder nicht. Sicher? Auf welcher Basis bist du zu dieser Annahme gekommen? Ich kann einsehen dass, ohne weitere Informationen zu kennen, der Junge nicht wahrscheinlicher als seine potentielle Schwester am Fenster. Warum jedoch sollte ich annehmen, wiederum ohne weitere Informationen zu kennen, dass der Junge genau so wahrscheinlich wie jemand anderes am Fenster stehen würde?

    scrub schrieb:

    dasselbe haben wir alle übrigens gemacht, als wir davon ausgingen, die wahrscheinlichkeit für die paare JJ, MM, MJ, JM sei jeweils 0,5 * 0,5. natürlich kann ich mich jetzt auch auf den standpunkt stellen, daß man ja gar nicht weiß, mit welcher relativen häufigkeit mädchen und jungen vorhanden sind. sodann ist die aufgabe unlösbar, fertig. das kann doch nicht dein ernst sein?

    Das scheint mir eine vernünftige Abschätzung der Wahrscheinlichkeit. Sie wird evtl. nicht ganz stimmen aber sie kommt wohl ungefähr hin. Gäbe es erfahrungsgemäß doppelt so viele Jungen wie Mädchen (oder auch umgekehrt) wäre die Wahrscheinlichkeit von 0,5 wiederum nicht vertretbar.

    Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dass bei einem Münzwurf Kopf kommt? 50%? Und die restlichen 50% dass Zahl kommt? Falsch! Daraus müsste man zum Schluss kommen dass die Landung auf der Kante ein unmögliches Ereignis wäre. Denken wir uns also die Kante weg. Aber sind beide Seiten der Münze genau gleich? Natürlich nicht! Spielt es keine Rolle wie die Münze geworfen wird? Natürlich!
    Ist es sinnvoll anzunehmen die Chance sei 50/50?
    Klar.

    scrub schrieb:

    aus "ein junge steht am fenster" lassen sich zwei informationen gewinnen:
    1. es gibt mindestens einen jungen
    2. er steht am fenster

    jetzt kann man entweder ganz einfach nachdenken, die todsichere vorgehensweise ist, alle fälle durchzugehen.

    ja, und jetzt muß man eben eine annahme machen, mit welcher wahrscheinlichkeit welches geschlecht am fenster steht.

    nehmen wir an, mädchen und junge stehen gleichwahrscheinlich am fenster, gelangt man zum ergebmis 1/2.

    zum ergebnis 2/3 kommt man aber nur, wenn bei MJ und JM immer der junge am fenster steht.

    jetzt muß man mit nur noch erklären, warum die letztere annahme plausibler ist.

    Die "letztere Annahme" ist eine Erfindung der 1/2-Fraktion.
    Schließt ihr aus der Eingangsformulierung "eine Familie mit zwei Kindern" dass die 2 Kinder ein sicheres Ereignis waren?
    Ich für meinen Teil nehme an dass der Junge am Fenster stehend gesehen wurde.
    Daraus schließe ich allein dass die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses größer 0% war; alles darüber hinaus ist pure Spekulation, jegliche Annahme reine Willkür.

    0
  • D

    Hallo TGGC,
    es hat zwar etwas länger gedauert, aber ich habe deine Lösung als auch die Darstellung der entsprechenden Mengen nochmal gelesen und nun doch noch einige Fragen.

    Alle Fragen beziehen sich entweder auf diese Version deiner Lösung:

    TGGC schrieb:

    Aufgabe: Eine Familie hat zwei Kinder. Eines der Kinder steht am Fenster. Dieses Kind ist ein Junge. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das andere Kind ein Mädchen ist?

    Wir wollen den beobachteten Zustand "Kind, welches am Fenster steht, ist ein Junge" B nennen. Alle unsere Betrachtungen müssen also unter der Voraussetzung das B eintritt, gemacht werden, kurz "wenn B". Wir wollen das Kind, welches nicht am Fenster steht "anderes Kind" nennen.

    Wir stellen fest:
    P( "anderes Kind ist ein Mädchen" wenn B ) + P( "anderes Kind ist ein Junge" wenn B ) = 1
    P( "anderes Kind ist ein Mädchen" wenn B ) = 1 - P( "anderes Kind ist ein Junge" wenn B )

    Die gilt, weil sich die Junge/Mädchen ausschliest, aber auch keine dritte Möglichkeit existiert. Daher muss die Summe 1 beider Wahrscheinlichkeiten sein.

    Wie gross ist nun die Wahrscheinlichkeit für "anderes Kind ist ein Junge" unter der Bedingung "Kind, welches am Fenster steht, ist ein Junge"? Also A= "anderes Kind ist ein Junge" und B= "Kind, welches am Fenster steht, ist ein Junge", kurz geschrieben: gesucht wird P(A|B).

    P( "anderes Kind ist ein Junge" wenn B )= P(A|B)= P( A geschnitten B ) / P( B )

    Zunächst zu P(B):
    Wenn ein Kind am Fenster steht, so ist sein Geschlecht mit einer Chance von 50% männlich, da am Fenster stehen und das Geschlecht unabhängig sind und wir eine Geschlechterverteilung von 1:1 annehmen. Daher gilt P( B )= 0.5.

    Kommen wir zu P( A geschnitten B ):
    Die Wahrscheinlichkeit das "Kind, welches am Fenster steht, ist ein Junge" und "anderes Kind ist ein Junge" ist auch recht einfach zu erkennen! Dies kann nur gelten wenn die Familie zwei Jungen hat. Die Wahrscheinlichkeit, das als erstes Kind ein Junge geboren wird, ist 0.5. Für das zweite Kind ebenso. Da die Geburten unabhängig voneinander sind, ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, das beides eintritt, durch Multiplikation. Also P( A geschnitten 😎 = 0.5 * 0.5 = 0.25

    Damit ergibt sich:

    P( anderes Kind ist ein Junge wenn B )= P(A|B) = 0.25 / 0.5
    P( anderes Kind ist ein Junge wenn B )= P(A|B) = 0.5

    und

    P( anderes Kind ist ein Mädchen wenn B ) = 1 - 0.5
    P( anderes Kind ist ein Mädchen wenn B ) = 0.5

    [rev. 5]

    oder diese Version der Mengendarstellung:

    TGGC schrieb:

    Man kann weder A noch B aus dieser "Grundgesamtheit spezifizieren". Denn A und B werden durch "(nicht) am Fenster stehen" definiert, was in deiner "Grundgesamtheit" nicht vorkommt. Diese beachtet ja nicht, wer am Fenster steht, z.b. {M,J} kann man dies nicht eindeutig A zuordnen. Es geht aber so:

    {M,M, Kind 1 am Fenster }
    {M,M, Kind 2 am Fenster }
    {J,M, Kind 1 am Fenster }
    {J,M, Kind 2 am Fenster }
    {M,J, Kind 1 am Fenster }
    {M,J, Kind 2 am Fenster }
    {J,J, Kind 1 am Fenster }
    {J,J, Kind 2 am Fenster }

    P(A)= P( {J,M, Kind 2 am Fenster }, {M,J, Kind 1 am Fenster }, {J,J, Kind 1 am Fenster }, {J,J, Kind 2 am Fenster } ) = 0.5

    P(B)= P( {J,M, Kind 1 am Fenster }, {M,J, Kind 2 am Fenster }, {J,J, Kind 1 am Fenster }, {J,J, Kind 2 am Fenster } ) = 0.5

    zur Vollständigkeit
    P(A geschnitten 😎 = P( {J,J, Kind 1 am Fenster }, {J,J, Kind 2 am Fenster } ) = 0.25

    Bevor ich mit den Fragen beginne, nur noch ein kleiner Hinweis: Die Mengendarstellung stimmt nicht mit der Herleitung von A∩BA \cap B in deiner Lösung überein. Aber die von dir errechneten Wahrscheinlichkeiten sind in beiden Fällen gleich, man muss also nur beides aufeinander abstimmen.

    Der Übersichtlichkeit halber habe ich die Fragen durchnummeriert und trenne sie durch Doppelstriche voneinander. Am Ende jedes Abschnitts versuche ich jedesmal meine Frage noch einmal in einem Satz zusammenzufassen (jeweils im Fettdruck gesetzt).

    Nun die Fragen:
    ===============================================================

    (1) Innerhalb deiner Lösung (Textversion) schreibst du:

    TGGC schrieb:

    Wir wollen das Kind, welches nicht am Fenster steht "anderes Kind" nennen.

    Wo steht innerhalb der Aufgabenstellung, dass das andere Kind nicht am Fenster steht?

    In der Aufgabenstellung steht lediglich:

    Stammtischler schrieb:

    Nun sieht man am Fenster einen Jungen stehen

    Es steht nicht dort, dass genau ein Junge am Fenster steht. Insbesondere steht dort nicht, dass genau ein Kind am Fenster steht.

    Aus welcher Aussage kannst du also ableiten, dass ein "Kind, welches nicht am Fenster steht" existiert?

    Zur Bedeutung dieser Frage siehe auch (3).

    ===============================================================

    (2) Innerhalb deiner Lösung (Textversion) schreibst du:

    TGGC schrieb:

    [...] da am Fenster stehen und das Geschlecht unabhängig sind[...]

    Aus welcher Aussage kannst du ableiten, dass "am Fenster stehen und das Geschlecht unabhängig sind"? In der Aufgabe wird diese Information m.E. nicht erwähnt.

    Nun könnte man auch ohne Informationen eine Vermutung über den Zusammenhang zwischen "am Fenster stehen" und "Geschlecht" anstellen. Sollte man dann aber nicht von stochastischer Abhängigkeit ausgehen, weil das die schwächere Annahme ist?

    Alternativ könnte man natürlich auch aufgrund von Erfahrung oder systematischer empirischer Forschung auf den Zusammenhang zwischen diesen Variablen schließen und ich vermute mal, dass du dies hier getan hast. Allerdings sollte man auch versuchen seine Entscheidung zu begründen oder belegen. Vielleicht kannst du dies ja nachholen.

    Wie kannst du also begründen, dass deiner Meinung nach "am Fenster stehen und das Geschlecht unabhängig sind"?

    (Ich persönlich würde eher vermuten, dass "Geschlecht" und am "Fenster stehen" nicht unabhängig sind, aber das tut zunächst nichts zur Sache. Bei Bedarf kann ich meine Gedanken hierzu aber gern nachliefern.)

    ===============================================================

    (3) Innerhalb der Mengendarstellung schreibst du:

    TGGC schrieb:

    {M,M, Kind 1 am Fenster }
    {M,M, Kind 2 am Fenster }
    {J,M, Kind 1 am Fenster }
    {J,M, Kind 2 am Fenster }
    {M,J, Kind 1 am Fenster }
    {M,J, Kind 2 am Fenster }
    {J,J, Kind 1 am Fenster }
    {J,J, Kind 2 am Fenster }

    Die die Aufstellung der Ergebnismenge sieht für mich so aus, als könne immer nur ein Kind am Fenster stehen. Wie schon unter (1) nachgefragt, ist für mich nicht klar, aus welcher Aussage du dies folgerst. Würde die Variable "welches Kind am Fenster" aber um das 3. Ereignis "beide Kinder am Fenster" erweitert, würde sich die Ergebnismenge ändern.

    Woraus kannst du ableiten, dass die Variable "Kind am Fenster" nur die beiden Ausprägungen "Kind 1" und "Kind 2" haben kann?

    **
    ===============================================================**

    (4) Innerhalb der Mengendarstellung schreibst du:

    TGGC schrieb:

    P(A)= P( {J,M, Kind 2 am Fenster }, {M,J, Kind 1 am Fenster }, {J,J, Kind 1 am Fenster }, {J,J, Kind 2 am Fenster } ) = 0.5

    P(B)= P( {J,M, Kind 1 am Fenster }, {M,J, Kind 2 am Fenster }, {J,J, Kind 1 am Fenster }, {J,J, Kind 2 am Fenster } ) = 0.5

    zur Vollständigkeit
    P(A geschnitten 😎 = P( {J,J, Kind 1 am Fenster }, {J,J, Kind 2 am Fenster } ) = 0.25

    Da du nicht erwähnst, wie du die Wahrscheinlichkeiten von A, B und A∩BA \cap B errechnet hast, vermute ich mal, dass du sie durch Abzählen festgestellt hast. Allerdings ist diese Vorgehensweise nur in Laplace-Räumen möglich. Es fehlt aber eine Begründung oder Herleitung, für die Annahme, dass die Ergebnismenge ein Laplace-Raum ist.

    Natürlich bieten Erfahrungswissen, empirische Forschung und eine gewisse gebräuchliche Handhabung z.T. recht starke Anhaltspunkte. Beispielsweise ist es allgemein üblich für die Variable P("M")=P("J") = 0.5 als gute Näherung zu benutzen. Insbesondere gibt es für diese Annahme eine vergleichsweise starke empirische Evidenz. Ebenso stark verbreitet ist die Annahme, dass das kartesische Produkt Geschlecht ×\timesGeschlecht = {J,M}×{J,M}={{J,J}{J,M}{M,J}{M,M}}\{J,M\} \times \{J,M\} = \{\{J,J\}\{J,M\}\{M,J\}\{M,M\}\} ein Laplace-Raum ist und auch hier ist die empirische Evidenz vergleichsweise gut. Auch folgt aus diesen Beobachtungen, dass das Geschlecht von Geschwistern unabhängig ist.

    Nun führst du aber die Variable "Kind am Fenster" mit den Ausprägungen "Kind 1" und "Kind 2" ein und scheinst vorauszusetzen, dass P("Kind 1") = P("Kind 2") = 0.5 ist, denn sonst könntest du die Ergebnismenge nicht als Laplace betrachten und daher P(A) nicht durch Auszählen feststellen.

    Es fehlt jegliche Begründung für diese Setzung. Im Laufe der Diskussion fragte dich finix jedoch in einem anderen Fall, warum du von gleichwahrscheinlichen Ereignissen ausgehst und ich vermute deine damalige Antwort würdest du auch in diesem Fall wiederholen:

    TGGC schrieb:

    Das ist so gängige Praxis. Nennt sich "Laplace Regel" oder "Regel des unzureichenden Grundes".
    Quelle: http://www.c-plusplus.net/forum/viewtopic-var-p-is-838220.html#838220

    Mir ist die "Regel des unzureichenden Grundes" bislang nur innerhalb der (wirtschaftwissenschaftlichen) Entscheidungstheorie begegnet, nicht jedoch innerhalb einer Stochastik-Aufgabe. Kannst du ggf. mit Quellen eine solche Verwendung dieser Regel in diesem Kontext angeben, damit man deine Vorgehensweise nachvollziehen kann.

    Im Übrigen scheint es neben der Laplace-Regel noch eine ganze Reihe anderer Entscheidungsheuristiken geben, die zu anderen Entscheidungen führen, aber gleichberechtigt neben der Laplace-Regel zu stehen scheinen (z.B. MaxiMin, MaxiMax, Regel des kleinsten Bedauerns). Insbesondere ist für mich nicht ersichtlich, ob "Regel des unzureichenden Grundes" gebräuchlicher ist als eine der anderen Regeln.

    Mein wesentlicher Einwand daher jedoch, dass es für die Anwendung der Laplace-Regel keinerlei Grund gibt, man kann es tun oder lassen oder auch eine beliebige andere Regel anwenden. Die solange es keine empirischen Daten zur Verteilung der Variable "Kind am Fenster" gibt, ist die Festsetzung P("Kind 1") = P("Kind 2") = 0.5 genauso gut oder schlecht wie jede andere (z.B. P("Kind 1") = 0.3, P("Kind 2") = 0.7). In diesem Fall wäre deine Ergebnismenge jedoch kein Laplace-Raum mehr und ich vermute, dass dies auch negative Auswirkungen auf deinen Lösungsweg (Textversion) hat.

    Warum gilt für die Variable "Kind am Fenster" mit den Ausprägungen "Kind 1" und "Kind 2", dass P("Kind 1") = P("Kind 2") = 0.5?

    ===============================================================

    edit
    Quote repariert und ein Fragezeichen ergänzt.

    0

  • zu 1./3.
    Dann ersetzen wir halt "Kind, dass nicht am Fenster" steht durch "Kind, welches nicht gesehen wurde", wenn man solche Spitzfindigkeiten auch noch beachten will.

    zu 2./4. Die Regel des unzureichenden Grundes ist Basis der Wachrscheinlichkeitsrechung, die ihr ja übrigens auch benutzt. Aber bitte rechne doch nach mit 1 - P("Kind 1") = P("Kind 2") und x= P("Kind 1"). Das Ergebnis ändert sich nicht.

    Bye, TGGC

    0
  • D

    TGGC schrieb:

    zu 1./3.
    Dann ersetzen wir halt "Kind, dass nicht am Fenster" steht durch "Kind, welches nicht gesehen wurde", wenn man solche Spitzfindigkeiten auch noch beachten will.

    Das verändert das Problem nicht, da in der Aufgabe nicht steht, dass das zweite Kind nicht gesehen wurde. Dort steht nur "Ein Junge steht am Fenster". Es können also auch beide Kinder am Fenster gestanden haben. Hierdurch verändert sich die Ergebnismenge.

    TGGC schrieb:

    zu 2./4. Die Regel des unzureichenden Grundes ist Basis der Wachrscheinlichkeitsrechung, [...]

    edit siehe nächsten Beitrag

    TGGC schrieb:

    zu 2./4. [...] die ihr ja übrigens auch benutzt. [...]

    Ich habe die "Regel des unzureichenden Grundes" m.W. nicht benutzt. Die (übliche) Annahme der Gleichverteilung von Jungen und Mädchen basiert auf empirischen Daten.

    TGGC schrieb:

    [...] Aber bitte rechne doch nach mit 1 - P("Kind 1") = P("Kind 2") und x= P("Kind 1"). Das Ergebnis ändert sich nicht.

    Bye, TGGC

    Sobald P("Kind 1") ≠\neq P("Kind 2") gilt ist der von dir angegebene Ergebnisraum kein Laplace-Raum mehr, du darfst also die Wahrscheinlichkeiten nicht mehr durch auszählen bestimmen. Auch u.U. könnte auch deine Unabhängikeitsvermutung durch eine solche Konstellation verletzt sein.

    TGGC schrieb:

    zu 2./4.

    Eine Antwort zu Frage (2) kann ich hier nicht entdecken. Kannst du aus der "Regel des des unzureichenden Grundes" auch Aussagen über die Unabhängigkeit von Variablen ableiten?

    Kannst du bitte noch die mathematische Notation für deinen Ergebnisraum nachliefern?

    0
  • D

    TGGC schrieb:

    [...]
    zu 2./4. Die Regel des unzureichenden Grundes ist Basis der Wachrscheinlichkeitsrechung, [...]

    Bist du sicher, dass man dieses Prinzip tatsächlich als Basis der Wahrscheinlichkeitsrechnung bezeichnen kann?

    Im Übrigen ist es nicht unumstritten:

    Principle of Insufficient Reason

    A principle that was first enunciated by Jakob Bernoulli which states that if we are ignorant of the ways an event can occur (and therefore have no reason to believe that one way will occur preferentially compared to another), the event will occur equally likely in any way.

    Keynes (1921, pp. 52-53) referred to the principle as the principle of indifference, formulating it as "if there is no known reason for predicating of our subject one rather than another of several alternatives, then relatively to such knowledge the assertions of each of these alternatives have an equal probability." Keynes strenuously opposed the principle and devoted an entire chapter of his book in an attempt to refute it.

    The principle was also considered by Poincaré (1912). Quelle: http://mathworld.wolfram.com/PrincipleofInsufficientReason.html

    Für weitere Betrachtungen zur Gültigkeit dieser Regel siehe auch http://en.wikipedia.org/wiki/Principle_of_indifference#History.

    Insbesondere ist mir unklar, wie man einen Beweis bzw. eine Aufgabenlösung aus diesem Prinzip ableiten kann, da aus ihr nicht hervorgeht, dass die Annahme einer Gleichverteilung "richtiger" als die Annahme einer beliebigen anderen.

    Ein anderer Fall liegt vor, wenn du bspw. im Rahmen einer Bayesianischen Parameterschätzung eine geeignete a priori Verteilung auswählen möchtest, denn hier kann das "Principle of Insufficient Reason" Anwendung finden. Allerdings wird mit zunehmender Datenmenge die Wahl der a priori Verteilung irrelevant für das Ergebnis.
    Hervorzuheben ist hierbei, dass es sich bei diesem Verfahren nicht um einen Beweis oder eine Aufgabenlösung handelt, sondern um ein Datenanalyseverfahren.

    0
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