Inverse 4*4 Matrix mit Determinanten

So ist es wohl sinnvoller...

Gegeben ist die 4*4 Matrix:
Zeile1(a11,a12,a13,a14),Z2(a21,a22,a23,a24),Z3(a31,a32,a33,a34),
Z4(a41,a42,a43,a44).Es soll nur ein simples einfaches Bsp.sein,wie du das mit den Adjungierten meinst.[/quote]

mr_woo

Ok ich versuche es mal, obwohl das invertieren einer Matrix mit Hilfe von Determinanten sehr aufwendig ist.

Beispiel: 3X3 Matrix:
Zeile 1: 1;2;0
Zeile 2: 1;0;3
Zeile 3: 2;1;1

Die Determinante dieser Matrix lautet7.

Zuerst muß Du die sog. Minoren bestimmen, Minor 1;1 erzeugst Du z.B. in dem Du die erste Zeile und die erste Spalte der Ausgangsmatrix streichst, es verbleibt also:

Zeile 1: 0;3
Zeile 2: 1;1

Dann bestimmst Du die Determinante des Minors (hier=-3), und wiederholst dies für alle Minoren (eine 3X3-Matrix hat demnach 9 Minoren) und bestimmst alle Minoren-Determinanten.

Jetzt kannst Du eine Matrix der Minoren-Determinanten erstellen, die man als adjunkte Matrix bezeichnet. Das erste Element der adjunkten Matrix, also 1X1 ist die Determinante des Minors 1;1. Aber Obacht: Du must die Vorzeichen der adjunkten Matrix manuell bestimmen, und zwar nach dem Schema dass alle Elemente mit einer geraden Summe aus Spalten- und Zeilenindex mit + multipliziert werden et vice versa. Beispiel: Minor 2X3 (2 Zeile, 3 Spalte gestrichen) lautet:

Zeile 1: 1;2
Zeile 2: 2;1

Die Determinante lautet -3, die Summe der Zeilen und Spalten ist ungerade (=5), daher folgt für das Element 2X3 der adjunkten Matrix: 3

Nun mußt Du die adjunkte Matrix transponieren, woraus die adjungierte Matrux folgt. Wenn Du richtig rechnest und die Vorzeichen korrekt sortierst, dann kommt in dem Beispiel folgende adjungierte Matrix raus:

Zeile 1: -3;-2;6
Zeile 2: 5;1;-3
Zeile 3: 1;3;-2

Jetzt kanst Du jedes Element der adjungierten Matrix durch die Determinante der Ausgangsmatrix (=7) dividieren und es folgt als Inverse:

Zeile 1: -3/7; -2/7; 6/7
usw. usw.

Hoffe das hilft & und dass ich mich nicht verrechnet habe,

Gruß mr_woo

Jester

*doh*

dat war nix

Also ich berechne die Inverse einer 3x3 Matrix etwas anders...
Gegeben ist die Matrix A

|120|
|103|DetA=7
|211|

1.Ich berechne wie du zuerst die Determinante das ist in dem Fall=7
2.Meine Adjunkten stellen sich zusammen aus:
|xxx||x20||x20|
|x03|=-3-|xxx|=-2__|x03|=6
|x11||x11|_|xxx|

|xxx||1x0||1x0|
-|1x3|=5___|xxx|=1__-|1x3|=-3
|2x1||2x1|_|xxx|

|xxx||12x||12x|
|10x|=1-|xxx|=3___|10x|=-2
|21x||21x|_|xxx|

also a^-1=
____|-3,-2,6|
_1/7*|5,1,-3,|
____|1,3,-2,|

Schaut man sich jetzt die x in den Determinanten an so erkennt man ein Muster,
das man immer so anwenden kann...
Dieses Muster suche ich bei 4x4 Matrizen.

cico2005 schrieb:

Also ich berechne die Inverse einer 3x3 Matrix etwas anders...
Gegeben ist die Matrix A

|120|
|103|DetA=7
|211|

1.Ich berechne wie du zuerst die Determinante das ist in dem Fall=7
2.Meine Adjunkten stellen sich zusammen aus:
|xxx||x20||x20|
|x03|=-3-|xxx|=-2__|x03|=6
|x11||x11|_|xxx|

|xxx||1x0||1x0|
-|1x3|=5___|xxx|=1__-|1x3|=-3
|2x1||2x1|_|xxx|

|xxx||12x||12x|
|10x|=1-|xxx|=3___|10x|=-2
|21x||21x|_|xxx|

also a^-1=
____|-3,-2,6|
_1/7*|5,1,-3,|
____|1,3,-2,|

Schaut man sich jetzt die x in den Determinanten an so erkennt man ein Muster,
das man immer so anwenden kann...
Dieses Muster suche ich bei 4x4 Matrizen.

Merke ich mir jetzt die x-muster kann ich eine inverse 3x3 matrix schneller berechnen wie durch Gauss-Jordan.
Das funktioniert auch bei Inhomogenen LGS.
Inverse berechnen durch x-Muster-Schema diese dann Multiplizieren mit xyz-Vektor,dann das Ergebniss durch Determinantenwert und fertig.

mr_woo

cico2005 schrieb:

Also ich berechne die Inverse einer 3x3 Matrix etwas anders...
Gegeben ist die Matrix A

|120|
|103|DetA=7
|211|

1.Ich berechne wie du zuerst die Determinante das ist in dem Fall=7
2.Meine Adjunkten stellen sich zusammen aus:
|xxx||x20||x20|
|x03|=-3-|xxx|=-2__|x03|=6
|x11||x11|_|xxx|

|xxx||1x0||1x0|
-|1x3|=5___|xxx|=1__-|1x3|=-3
|2x1||2x1|_|xxx|

|xxx||12x||12x|
|10x|=1-|xxx|=3___|10x|=-2
|21x||21x|_|xxx|

also a^-1=
____|-3,-2,6|
_1/7*|5,1,-3,|
____|1,3,-2,|

Schaut man sich jetzt die x in den Determinanten an so erkennt man ein Muster,
das man immer so anwenden kann...
Dieses Muster suche ich bei 4x4 Matrizen.

Ich kann jetzt nicht erkennen, dass Du etwas anderes machst als das was ich beschrieben habe, oder übersehe ich etwas

Gruß mr_woo

mr_woo schrieb:

Ich kann jetzt nicht erkennen, dass Du etwas anderes machst als das was ich beschrieben habe, oder übersehe ich etwas

Gruß mr_woo

OK!Dann zeig mir das besagte Muster für 4x4 Matrizen.

mr_woo

Sorry aber ich werde jetzt mit Sicherheit nicht 16 Matrizen für Dich abtippen... Das System ist so wie ich es oben beschrieben habe.

Hier das ganze mal in Deiner Schreibweise exemplarisch. Beispiel 4X4-Matrix:

1065
7895
4123
4598

xxxx xxxx xxxx xxxx
x895 7x95 78x5 789x
x123 4x23 41x3 412x
x598 4x98 45x8 459x

usw. Wenn Du zu jeder Minoren-Matrix die Determinante bestimmst und das Vorzeichen so bestimmst wie ich es oben erklärt habe erhälst Du einen 1X4 Zeilenvektor. Diesen dann nur noch transponieren und Du hast die erste Spalte der Adjungierten bestimmt.

Gruß mr_woo

mr_woo schrieb:

Sorry aber ich werde jetzt mit Sicherheit nicht 16 Matrizen für Dich abtippen... Das System ist so wie ich es oben beschrieben habe.

Hier das ganze mal in Deiner Schreibweise exemplarisch. Beispiel 4X4-Matrix:

1065
7895
4123
4598

xxxx xxxx xxxx xxxx
x895 7x95 78x5 789x
x123 4x23 41x3 412x
x598 4x98 45x8 459x

usw. Wenn Du zu jeder Minoren-Matrix die Determinante bestimmst und das Vorzeichen so bestimmst wie ich es oben erklärt habe erhälst Du einen 1X4 Zeilenvektor. Diesen dann nur noch transponieren und Du hast die erste Spalte der Adjungierten bestimmt.

Gruß mr_woo

Das ist mir zu umständlich.Ich bleib bei Gauss.Zumindest ab 4x4 Matrizen.
oder bis jemand eine bessere schnellere Variante erfindet.

@mr_woo!Danke nochmal für deine Erklärung....