einfache Geometriefrage Kreis

volkard

Ingo schrieb:

Ich finde keinen Angriffspunkt.

ich auch nicht.

es gibt eine ähnliche aufgabe mit einer ziege, die an einem so langen seil angebunden werden soll, wobei das seil vom rand der ziege bis zur ziege läuft, daß sie nur genau die hälfte der wiese abgrasen kann.
zu finden in de.math.faq oder jeder einschlägigen suchmaschine. das problem war nicht elemetar lösbar.

@TGGC, es wirkt beleidigend, wenn du einem kommentarlos eine völlig offensichtliche sache lieferst und so tust, als sei damit alles gesagt. bring ne lösung an oder laß es.

Ingo

volkard schrieb:

das problem war nicht elemetar lösbar.

Danke, dann weiß ich jetzt, dass ich es wohl nicht lösen können muss.

TGGC

volkard schrieb:

Ingo schrieb:

Ich finde keinen Angriffspunkt.

ich auch nicht.
[...]
@TGGC, es wirkt beleidigend, wenn du einem kommentarlos eine völlig offensichtliche sache lieferst und so tust, als sei damit alles gesagt. bring ne lösung an oder laß es.

Du stellst dich doch sonst nicht so dumm an. Die Summe der Kreissegmente soll laut Aufgabe gleich der halben Kreisfläche sein. Kreisfläche ist ehh klar, nur die Segmente muss man halt mal nachschlagen.

Bye, TGGC

volkard

TGGC schrieb:

Du stellst dich doch sonst nicht so dumm an. Die Summe der Kreissegmente soll laut Aufgabe gleich der halben Kreisfläche sein. Kreisfläche ist ehh klar, nur die Segmente muss man halt mal nachschlagen.

laber nicht, rechne es aus, wenn du kannst.

TGGC

Es war nach Angiffspunkt gefragt.

Bye, TGGC

volkard

TGGC schrieb:

Es war nach Angiffspunkt gefragt.

also kannstes nicht und dein "angriffspunkt" ist gar keiner?

TGGC

Nein.

Bye, TGGC

Hmmmm. Ich würde erstmal ganz naiv versuchen, das mit folgendem Ansatz zu lösen...

1. Aus der Gleichung r^2 = x^2 + y^2 bastel ich mir zwei Funktionen, um von dem großen Kreis r1 die obere Hälfte zu modellieren und von dem kleinen Kreis r2 die untere. Den kleinen Kreis schiebe ich dann noch um h nach oben:

f(x) = sqrt(r1^2-x2), g(x) = -sqrt(r2^2-x2) + h

...dann würde ich g von f abziehen und das Integral zwischen den beiden Nullpunkten berechnen (falls das so einfach geht und natürlich mit entsprechenden Einschränkungen, damit es überhaupt zwei Nullpunkte gibt und so). Was rauskommt müßte der Flächeninhalt des überlappenden Bereichs in Abhängigkeit von h sein. Den müßte man dann einfach mit dem halben Flächeninhalt des kleinen Kreises gleichsetzen und könnte sich so h ausrechnen.

Allerdings kann es natürlich sein, dass dieser Weg nicht so einfach gangbar ist. Und wenn Volkard sagt, dass man das nicht so einfach machen kann, dann kann man das wahrscheinlich auch nicht so einfach machen. War nur so ne Idee, habe keine Lust, auszuprobieren, ob das klappt.

pumuckl

Zuerst einmal ist festzustellen:
1)Der Mittelpunkt des kleinen Kreises muss innerhalb des großen liegen, damit der kleine Kreis vom großen halbiert werden kann.
2) Andererseits kann man den kleinen Kreis mit einer Geraden halbieren, so dass der Mittelpunkt des großen Kreises und die beiden Schnitttpunkte der Kreise auf ein und derselben Seite dieser Geraden liegen. Das bedeutet:

Seien A der Mittelpunkt des größeren Kreises, B der des kleineren, und C,D die Schnittpunkte der Kreise.
Dann ist ACBD ein Drachen (Viereck mit je zwei gleichlangen Seiten, die aneinanderliegen) mit den Kantenlängen AC = DA = r1 (Radius des großen Kreises), CB = BD = r2 (Radius des kleinen Kreises)
Seien weiter α der Winkel DAC und β der Winkel CBD. Die Länge der Verbindungsstrecke der Schnittpunkte CD sei d.
Grafik dazu (der übersichtlichkeit halber nicht mit dem Mittelpunkt de kleinen Kreises innerhalb des größeren)

Dann gilt folgendes: Die Fläche F, die von beiden Kreisen belegt wird, ist die Summe der Flächen der beiden Kreissektoren CAD und DBC, abzüglich der beiden Dreiecke CDA und DCB.

Als Fläche für den kleinen Kreis ergibt sich $\pi r_2^2$
Damit gilt laut Aufgabenstellung: $F = \pi \frac{r_2^2}{2}$

Die Fläche der Kreisektoren ist: $\frac{\alpha}{2\pi}r_1^2$ bzw. $\frac{\beta}{2\pi}r_2^2$

Die Fläche der Dreiecke ist: $1/2 r_1^2 \sin\beta$ bzw. $1/2 r_2^2 \sin\alpha$

Das ergibt zusammen die Formel:
$\pi \frac{r\_2^2}{2} = \frac{\alpha}{2\pi}r\_1^2 + \frac{\beta}{2\pi}r\_2^2 - \frac{1}{2} r\_1^2 \sin\beta - \frac{1}{2} r_2^2 \sin\alpha$

Bleiben zwei Unbekannte, nämlich α und β.
Mit dem Cosinussatz für Dreiecke ergeben sich für die Länge d der Strecke CD folgende Formeln für die beiden Dreiecke:
$d^2 = 2 r_1^2 (1-\cos\alpha)$ und $d^2 = 2 r_2^2 (1-\cos\beta)$

Das macht zusammen $\cos\alpha = 1 - \frac{r\_2^2}{r\_1^2}(1-\cos\beta)$

Somit hat man zwei Gleichungen für zwei Unbekannte (α und β), was bedeutet, dass man durch entsprechendes Umformen und Einsetzen beides rauskriegen kann.

Sei nun E der Mittelpunkt der Strecke CD, dann sind AED und BEC rechtwinklige Dreiecke mit dem rechten Winkel bei E. Sei k die Länge der Strecke AE und l die Länge der Strecke BE. Es gilt dann: $k = r_1 \cos \frac{\alpha}{2}$ sowie $l = r_2 \cos \frac{\beta}{2}$

Da wir die beiden Winkel ja schon ausgerechnet haben, ist es ein leichtes, k und l auszurechnen und die Aufgabe zu lösen, denn der Abstand von B zum Kreisrand des größeren Kreises ist ganz einfach r1 - k - l.

Viel Spaß beim Rechnen!

PS: die Winkel sind in Bogenmaß zu rechnen, sonst muss bei der Berechnung der Kreissektorflächen durch 360° statt durch 2π geteilt werden.

/edit: "Kreissegment" durch "Kreissektor" ersetzt.

W0lf

TGGC schrieb:

Nein.

Bye, TGGC

3:0
Volkard vs. TGGC

(Zählung begann irgendwann ende letzten Jahres...)

TGGC

NewProggie schrieb:

TGGC schrieb:

Nein.

Bye, TGGC

3:0
Volkard vs. TGGC

(Zählung begann irgendwann ende letzten Jahres...)

Die Aufgabe wurde soeben mit meinen Ansatz gelöst.

Volkard vs. Ich 0:17

(Zählung begann irgendwann diesen Samstag)

Bye, TGGC

TGGC

pumuckl schrieb:

Dann gilt folgendes: Die Fläche F, die von beiden Kreisen belegt wird, ist die Summe der Flächen der beiden Kreissegmente CAD und DBC, abzüglich der beiden Dreiecke CDA und DCB.

Verwechselt du hier Kreissegment mit Kreissektor?

Bye, TGGC

pumuckl

jap, sorry. geändert

Baukasten

[quote]Somit hat man zwei Gleichungen für zwei Unbekannte (α und β), was bedeutet, dass man durch entsprechendes Umformen und Einsetzen beides rauskriegen kann.

wie kann man die zwei gleichungen mit β und sinβ oder cosβ lösen?

Baukasten

[quote]Somit hat man zwei Gleichungen für zwei Unbekannte (α und β), was bedeutet, dass man durch entsprechendes Umformen und Einsetzen beides rauskriegen kann.

wie kann man die zwei gleichungen mit β und sinβ oder cosβ lösen?

Ingo

Danke für die Antworten, damit werde ich mich jetzt erst einmal in Ruhe auseinander setzen!

pumuckl

Baukasten schrieb:

Somit hat man zwei Gleichungen für zwei Unbekannte (α und β), was bedeutet, dass man durch entsprechendes Umformen und Einsetzen beides rauskriegen kann.

wie kann man die zwei gleichungen mit β und sinβ oder cosβ lösen?

mir fällt auch grade auf, dass die Gleichung mit α und sinα Analytisch vermutlich recht schwer zu lösen ist. Ich bin mir aber sicher, dass man da recht schnell konvergierende numerische Näherungsverfahren benutzen kann...

TGGC schrieb:

Die Aufgabe wurde soeben mit meinen Ansatz gelöst.

interessant, was du als lösung ansiehst. sehe ich recht, oder ist die "Lösung" noch nichtmal auf eine gleichung miut einer unbekannten reduziert?

ich würde sagen, sie wird einem computerprogramm übergeben werden. was ich mir in meinem ersten posting bereits erlaubte, anzudeuten.

und es war eigentlich kein scherz, daß man google mal nach "mathe faq oder sowas und ziege" fragen darf. http://www.informatik.uni-oldenburg.de/~tjark/dsm/html/node13.html

pixartist

ich hab mir jetzt die komplexen mathesachen nicht angesehen, aber müsste es nicht so sein:
der vektor zwischen den beiden schnittpunkten muss den vektor, zwischen dem mittelp. des kleinen kreises und des punktes auf dem kleinen kreis, der dem mittelpunkt des grossen kreises am nächsten ist, genau in der mitte schneiden..

??

edit: achne is falsch