4. einfache Geometriefrage Kreis

einfache Geometriefrage Kreis

  • P

    Zuerst einmal ist festzustellen:
    1)Der Mittelpunkt des kleinen Kreises muss innerhalb des großen liegen, damit der kleine Kreis vom großen halbiert werden kann.
    2) Andererseits kann man den kleinen Kreis mit einer Geraden halbieren, so dass der Mittelpunkt des großen Kreises und die beiden Schnitttpunkte der Kreise auf ein und derselben Seite dieser Geraden liegen. Das bedeutet:

    Seien A der Mittelpunkt des größeren Kreises, B der des kleineren, und C,D die Schnittpunkte der Kreise.
    Dann ist ACBD ein Drachen (Viereck mit je zwei gleichlangen Seiten, die aneinanderliegen) mit den Kantenlängen AC = DA = r1 (Radius des großen Kreises), CB = BD = r2 (Radius des kleinen Kreises)
    Seien weiter α der Winkel DAC und β der Winkel CBD. Die Länge der Verbindungsstrecke der Schnittpunkte CD sei d.
    Grafik dazu (der übersichtlichkeit halber nicht mit dem Mittelpunkt de kleinen Kreises innerhalb des größeren)

    Dann gilt folgendes: Die Fläche F, die von beiden Kreisen belegt wird, ist die Summe der Flächen der beiden Kreissektoren CAD und DBC, abzüglich der beiden Dreiecke CDA und DCB.

    Als Fläche für den kleinen Kreis ergibt sich πr22\pi r_2^2
    Damit gilt laut Aufgabenstellung: F=πr222F = \pi \frac{r_2^2}{2}

    Die Fläche der Kreisektoren ist: α2πr12\frac{\alpha}{2\pi}r_1^2 bzw. β2πr22\frac{\beta}{2\pi}r_2^2

    Die Fläche der Dreiecke ist: 1/2r12sinβ1/2 r_1^2 \sin\beta bzw. 1/2r22sinα1/2 r_2^2 \sin\alpha

    Das ergibt zusammen die Formel:
    πr_222=α2πr_12+β2πr_22−12r_12sinβ−12r22sinα\pi \frac{r\_2^2}{2} = \frac{\alpha}{2\pi}r\_1^2 + \frac{\beta}{2\pi}r\_2^2 - \frac{1}{2} r\_1^2 \sin\beta - \frac{1}{2} r_2^2 \sin\alpha

    Bleiben zwei Unbekannte, nämlich α und β.
    Mit dem Cosinussatz für Dreiecke ergeben sich für die Länge d der Strecke CD folgende Formeln für die beiden Dreiecke:
    d2=2r12(1−cosα)d^2 = 2 r_1^2 (1-\cos\alpha) und d2=2r22(1−cosβ)d^2 = 2 r_2^2 (1-\cos\beta)

    Das macht zusammen cosα=1−r_22r_12(1−cosβ)\cos\alpha = 1 - \frac{r\_2^2}{r\_1^2}(1-\cos\beta)

    Somit hat man zwei Gleichungen für zwei Unbekannte (α und β), was bedeutet, dass man durch entsprechendes Umformen und Einsetzen beides rauskriegen kann.

    Sei nun E der Mittelpunkt der Strecke CD, dann sind AED und BEC rechtwinklige Dreiecke mit dem rechten Winkel bei E. Sei k die Länge der Strecke AE und l die Länge der Strecke BE. Es gilt dann: k=r1cosα2k = r_1 \cos \frac{\alpha}{2} sowie l=r2cosβ2l = r_2 \cos \frac{\beta}{2}

    Da wir die beiden Winkel ja schon ausgerechnet haben, ist es ein leichtes, k und l auszurechnen und die Aufgabe zu lösen, denn der Abstand von B zum Kreisrand des größeren Kreises ist ganz einfach r1 - k - l.

    Viel Spaß beim Rechnen!

    PS: die Winkel sind in Bogenmaß zu rechnen, sonst muss bei der Berechnung der Kreissektorflächen durch 360° statt durch 2π geteilt werden.

    /edit: "Kreissegment" durch "Kreissektor" ersetzt.

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  • W

    TGGC schrieb:

    Nein.

    Bye, TGGC

    3:0
    Volkard vs. TGGC

    (Zählung begann irgendwann ende letzten Jahres...)

    0

  • NewProggie schrieb:

    TGGC schrieb:

    Nein.

    Bye, TGGC

    3:0
    Volkard vs. TGGC

    (Zählung begann irgendwann ende letzten Jahres...)

    Die Aufgabe wurde soeben mit meinen Ansatz gelöst.

    Volkard vs. Ich 0:17

    (Zählung begann irgendwann diesen Samstag)

    Bye, TGGC

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  • pumuckl schrieb:

    Dann gilt folgendes: Die Fläche F, die von beiden Kreisen belegt wird, ist die Summe der Flächen der beiden Kreissegmente CAD und DBC, abzüglich der beiden Dreiecke CDA und DCB.

    Verwechselt du hier Kreissegment mit Kreissektor?

    Bye, TGGC

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  • P

    jap, sorry. geändert 🙂

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  • B

    [quote]Somit hat man zwei Gleichungen für zwei Unbekannte (α und β), was bedeutet, dass man durch entsprechendes Umformen und Einsetzen beides rauskriegen kann.

    wie kann man die zwei gleichungen mit β und sinβ oder cosβ lösen?

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  • B

    [quote]Somit hat man zwei Gleichungen für zwei Unbekannte (α und β), was bedeutet, dass man durch entsprechendes Umformen und Einsetzen beides rauskriegen kann.

    wie kann man die zwei gleichungen mit β und sinβ oder cosβ lösen?

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  • I

    Danke für die Antworten, damit werde ich mich jetzt erst einmal in Ruhe auseinander setzen!
    🙂

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  • P

    Baukasten schrieb:

    Somit hat man zwei Gleichungen für zwei Unbekannte (α und β), was bedeutet, dass man durch entsprechendes Umformen und Einsetzen beides rauskriegen kann.

    wie kann man die zwei gleichungen mit β und sinβ oder cosβ lösen?

    mir fällt auch grade auf, dass die Gleichung mit α und sinα Analytisch vermutlich recht schwer zu lösen ist. Ich bin mir aber sicher, dass man da recht schnell konvergierende numerische Näherungsverfahren benutzen kann...

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  • ?

    TGGC schrieb:

    Die Aufgabe wurde soeben mit meinen Ansatz gelöst.

    interessant, was du als lösung ansiehst. sehe ich recht, oder ist die "Lösung" noch nichtmal auf eine gleichung miut einer unbekannten reduziert?

    ich würde sagen, sie wird einem computerprogramm übergeben werden. was ich mir in meinem ersten posting bereits erlaubte, anzudeuten.

    und es war eigentlich kein scherz, daß man google mal nach "mathe faq oder sowas und ziege" fragen darf. http://www.informatik.uni-oldenburg.de/~tjark/dsm/html/node13.html

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  • P

    ich hab mir jetzt die komplexen mathesachen nicht angesehen, aber müsste es nicht so sein:
    der vektor zwischen den beiden schnittpunkten muss den vektor, zwischen dem mittelp. des kleinen kreises und des punktes auf dem kleinen kreis, der dem mittelpunkt des grossen kreises am nächsten ist, genau in der mitte schneiden..

    ??

    edit: achne is falsch

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