Beweis (1)

[XFame]

Edit: Dies ist der eigentliche Beweis, den ich pruefen lassen wollte, also bitte nicht loeschen.

Hi, ich habe hier einen Beweis gefuehrt, dass die n-te Wurzel aus einer natuerlichen Zahl, die keine Zahl der Form $a^n ; a,n \in \mathbb{N}$ ist, eine irrationale Zahl ist.
Koenntet ihr den vielleicht ueberpruefen?

Einleitung

Wir fuehren diesen Beweis durch Widerspruch.
Wie wir sehen werden, ist der Beweis nur eine Verallgemeinerung des Irrationalitaetsbeweises der Wurzel von 2 von Euklid.

Beweis

Sei a eine beliebige natuerliche Zahl aber keine Zahl der Form $a^n ; a,b \in \mathbb{N}$ und n, u und v natuerliche Zahlen mit $n > 1$.
Wir schreiben dann:

\sqrt[n]{a} = \frac{u}{v}

Durch Potenzieren mit n erhalten wir:

$a = \frac{u^n}{v^n}$

Wir sehen, dass $u^n$ ein Vielfaches von a ist:

$a \cdot v^n = u^n$

Daraus folgt, dass auch u ein Vielfaches von a ist, da in $u^n$ alle Faktoren gleich sind und die Primfaktoren von a nicht weiter zerlegt werden koennen und somit auch Primfaktoren von u sein muessen.
Wir koennen also u auch als $a \cdot m$ mit $m \in \mathbb{N}$ schreiben und erhalten:

\sqrt[n]{a} = \frac{a \cdot m}{v}

Durch erneutes Potenzieren mit n erhalten wir:

$a = \frac{(a \cdot m)^n}{v^n}$

Daraus ergibt sich:

$v^n = \frac{a^n \cdot m^n}{a} = a^{n-1} \cdot m^n$

Also ist $v^n$ ein Vielfaches von a und somit auch v.

Wir koennen also auch v darstellen als $a \cdot k$ mit

$k \in \mathbb{N}$

und schreiben:

\sqrt[n]{a} = \frac{a \cdot m}{a \cdot k}

Der Bruch laesst sich also durch a kuerzen.
Jetzt gibt es 2 Moeglichkeiten, die zu einem Widerspruch fuehren:

- Wir gehen davon aus, dass $\frac{u}{v}$ schon vollstaendig gekuerzt war.

- Wir koennten den zuletzt erhaltenen Bruch $\frac{m}{k}$ unendlich oft durch a kuerzen, was jedoch mit keinem reell existierenden Bruch moeglich ist.

Sollte ich irgendwo Variablen vertauscht haben, bitte sagen und ich editiere es.

[volkard]

XFame schrieb:

Hi, ich habe hier einen Beweis gefuehrt, dass die n-te Wurzel aus einer natuerlichen Zahl, die keine Quadratzahl ist, eine irrationale Zahl ist.
Koenntet ihr den vielleicht ueberpruefen?

27 ist keine quadratzahl, aber die 3. wurzel aus 27 ist rational. oder hab ich was falsch verstanden?

[XFame]

Nein, stimmt, nicht Quadratzahlen sondern generell Zahlen der Form $a^n; a,n \in \mathbb{N}$.
Wird editiert.

[volkard]

XFame schrieb:

Daraus folgt, dass auch u ein Vielfaches von a ist, da in $u^n$ beide Faktoren gleich sind und die Primfaktoren von a nicht weiter zerlegt werden koennen und somit auch Primfaktoren von u sein muessen.

verstehe ich nicht. was sind beide faktoren?

ich würde lieber sowas sagen wie:
a * v^n = u^n
also ist a ein teiler von u^n.

nun zum lustigen schritt.

u= a*m !

warum eigentlich? nee, ich kapier's nicht.

der rest ist aber klar und gut lesbar, finde ich.

[XFame]

"Beide Faktoren" kommt noch von einem frueheren Stadium des Beweises. Da ging es noch um Quadratwurzeln . Muss natuerlich "alle Faktoren" heissen.

Dieser Schritt ist eigentlich der Knackpunkt im ganzen Beweis aber er stimmt.
Ich versuche es mal zu erklaeren:

Wir haben eine Potenz, somit muss auch nur ein Faktor u schon alle Primfaktoren von der gesamten Potenz besitzen, da ja keine neuen Primfaktoren "hinzumultipliziert" werden, d.h. u besitzt schon alle Primfaktoren von $u^n$

Sobald jetzt $u^n$ alle Primfaktoren von a als Teiler hat und somit auch a als Teiler, muss auch jeder einzelne Faktor u die Primfaktoren von a als Teiler haben und somit auch a.

Beachte, dass a keine Zahl der Form $x^n; x,n \in \mathbb{N}$ sein darf.

Edit:

volkard schrieb:

der rest ist aber klar und gut lesbar, finde ich.

Danke schoen volkard .

[pumuckl]

XFame schrieb:

Wir sehen, dass $u^n$ ein Vielfaches von a ist:

$a \cdot v^n = u^n$

Daraus folgt, dass auch u ein Vielfaches von a ist, da in $u^n$ alle Faktoren gleich sind und die Primfaktoren von a nicht weiter zerlegt werden koennen und somit auch Primfaktoren von u sein muessen.

Diese Aussage ist so nicht ganz richtig, da ein Primfaktor, der in u nur einmal vorhanden ist, in a n-mal vorhanden sein könnte. Sei z.B. p eine Primzal, die in der Primfaktorzerlegung von a und u nicht enthalten ist.
Setze jetzt $a\prime = a p^n = \frac{{u\prime}^n}{v^n}, \qquad u\prime = up$ Dann ist offensichtlich, dass a' kein Teiler von u' ist.

[XFame]

pumuckl schrieb:

Diese Aussage ist so nicht ganz richtig, da ein Primfaktor, der in u nur einmal vorhanden ist, in a n-mal vorhanden sein könnte.

Zahlen der Form $u^n$ sind nicht "erlaubt".
Somit hat u auch mindestens alle Primteiler von a.

[Gast]

Naja, die Aussage ist nur richtig, wenn der Bruch vollständig gekürzt war, das bringst du aber erst am Ende als Möglichkeit. Das muss jedoch von Anfang an Voraussetzung sein.

[XFame]

Wieso sollte man das am Anfang sagen?

[scrub]

der widerspruchsbeweis soll doch zeigen, daß das ergebnis keine rationale zahl sein kann. keine rationale zahl = nicht als gekürzter bruch a/b darstellbar. du hast es also indirekt bereits vorausgesetzt (ganz am anfang der aufgabe).

[Gast]

Jup, so wie unser Kobold es schon gesagt hat, die Aussage gilt für den allgemeinen Bruch nicht.

[XFame]

Wie, warum nicht?
Gegenbeispiel?

[Gast]

Also du meinst, dass

a * v^n = u^n
=>
u = a * m gilt, wobei m eine natürliche Zahl ist, oder?

Dann setz doch mal
v := 4
u := 12
a := 9
n := 2
und sieh, dass es nicht stimmt. Und es liegt daran, dass der Bruch 12/4 nicht vollständig gekürzt ist. Auf dieser Annahme basiert nämlich deine ganze Beweisführung. Amsonsten denke ich, dass er korrekt ist.

[XFame]

Ich weise nocheinmal darauf hin dass a keine Zahl sein darf, die die Darstellungsform $x^n$ haben darf.

Edit: Aber danke, dass ihr euch die Zeit dafuer nehmt.

[Jester]

Nene, a muß schon Primzahl sein, oder zumindest ne Primfaktorzerlegung besitzen, in der jede Primzahl höchstens einmal vorkommt.
Beispiel: a=18.

a teilt 6^2, aber a teilt nicht 6. 6 enthält nämlich nur eine 3 als Faktor, 18 aber zweimal, wenn man jetzt aber 6 potenziert, so kann man sozusagen 3er sammeln. Nur bei ner Primzahl, da kann/muß man nicht sammeln. Und wenn ne Zahl ne Zerlegung in paarweise verschiedene Primzahlen hat, dann kann man die natürlich einzeln rüberschaufeln und dann wieder zusammensetzen.

[Gast]

Tatsache, das offensichtlichste übersieht man immer. Damit ist dein Beweis anscheinend korrekt. Ein kleines Testprogramm hat für 1 >= a, u, v < 2500 und n = 2 auch kein Gegenbeispiel finden können.

Edit: Aber danke, dass ihr euch die Zeit dafuer nehmt.

Eigentlich ist es keine Nettigkeit, ich wollte nur gemein sein und deinen Beweis widerlegen.

[Gast]

edit

[XFame]

Da hast du (leider) Recht Jester, aber nichtsdestotrotz ist die Wurzel aus 18 eine irrationale Zahl .

[Jester]

Ja, und das liegt an folgendem:

18 = 9*2, Wurzel aus 9 ist ne natürliche Zahl, wäre Wurzel 18 auch eine, so wäre auch der Quotient zumindest ne Bruchzahl, das ist aber Wurzel 2. Ich denke so ähnlich müßte man es auch für andere Zahlen beweisen können:

a = b^n*k zerlegen, wobei b maximal ist in so einer Zerlegung (k enthält also keine n-Potenzen mehr) unsere Aussage sagt jetzt: besitzt k nur noch einzelne Primfaktoren, so kann auch a keine rationale Wurzel haben.

Für Quadratwurzel haben wir's damit erledigt: Wir ziehen alle Sachen raus, die mehr als einmal vorkommen, dann steht vorne ne Zahl wo die Wurzel geht, hinten eine bei der die Primfaktoren nur noch einfach vorkommen (sonst nochmal rausziehen)... dann halt obiges drauf loslassen.

Damit haben wir: Quadratwurzeln von Nicht-Quadratzahlen sind irrational.
Wie sieht's mit höheren Wurzeln aus?

[trivial!]

Wenn eine ganze Zahl keine n-te Potenz einer ganzen Zahl ist, so ist/sind ihre (sämtlichen) n-te(n) Wurzel(n) nicht rational.

[Jester]

Genau, und wir basteln gerade nen Beweis dafür.