wer hat ideen?

Korbinian

Die "Tangentengleichung" ist die Ableitung?

Edit: Du könntest argumentieren, dass die Tangente aufgrund der Umkehrbarkeit der Funktionen niemals eine Parallele zur Y-Achse sein kann, daher muss die X Komponente des Schnittpunkts schon mal zwingend kleiner oder größer als u sein. Wenn dir jetz noch ein Beweis einfällt, warum die Steigung der unteren Funktion immer größer der Steigung der oberen Funktion ist, dann hast dus

scrub

ich denke eher, daß die tangentengleichung das ist, was man "normalerweise" unter diesem begriff versteht: eine funktion m(x) = ax + b mit a = ableitung an der bewußten stelle und zu ermittelndem b. und der "verbotene" lösungsweg ist wohl das aufstellen der beiden tangentengleichungen und klassisches ermitteln des schnittpunkts und benutzung dieser ergebnisse zum beweis.
einfachste argumentation wäre mit ner skizze: in dieser zeigen, unter welchen bedingungen der schnittpunkt links oder rechts von u liegt, dann weitermachen, wie Korbinian es beschrieben hat. (irgendwie habe ich schwierigkeiten mit dem wort "beweis"- man zeigts halt einfach, denn es ist ja ein konkretes beispiel gegeben, oder nennt man das trotzdem "beweis"?)

Jester

Da steht doch nicht Beweis, da steht: Zeigen, das ist in der Schule zumeist ein Synonym für rechne nach, daß ...

wenn schon nicht konkret ausrechnen, dann würde ich auch Korbinians weg wählen. Vielleicht mit dem kleinen Zusatz, daß die eine Funktion stets oberhalb der anderen liegt, sonst kann der Schnittpunkt nämlich trotzdem noch rechts liegen.

Dommel

Jester schrieb:

sonst kann der Schnittpunkt nämlich trotzdem noch rechts liegen.

Der Schnittpunkt soll doch rechts von u liegen, oder nicht?

gargyle

Wenn S ein Punkt ist dann kann nicht u<S sein.
Weil

auf der x-achse (x=u)

// edit :
Was darf denn verwendet werden ?

Korbinian

Es soll sicher "X komponente von S" heissen...

Jester

Dommel schrieb:

Jester schrieb:

sonst kann der Schnittpunkt nämlich trotzdem noch rechts liegen.

Der Schnittpunkt soll doch rechts von u liegen, oder nicht?

ist doch völlig wurscht. Ich wollte nur darauf hinweisen, daß das Argument mit den Steigungen nicht reicht, sondern man auch dazusagen muß, daß eine der Kurven oberhalb der anderen verläuft.

golden_jubilee

jetzt soll ich das mit tangengleichungen lösen - komm aber nicht drauf

die eine tangente hätte diese form

t u (x) = e^-u(-u) * x + n

die zweite

t2 u (x) = e^-u(-u-1) * x + n

der anstieg der tangen ergibt sich aus der ableitung an der stelle u
und wie soll ich jetzt zeigen das der x wert des schnittpunktes größer ist als u?

Jester

Rechne doch den Schnittpunkt mal aus.

golden_jubilee

Jester schrieb:

Rechne doch den Schnittpunkt mal aus.

-u*x+n = (-u-1)*x +n

-u*x = (-u-1)*x

hab hier frage ich mich dann was aus dem x werden soll

Ja ich denke auch es soll x Komponente von S heissen.

Dann gilt
"Schnittpunkt liegt rechts von u"
<->
Steigung der in u oben liegenden Funktion muss kleiner der Steigung der unteren Funktion sein"

mathematisch also:

h(u) := ( g(u) - f(u) )(+) * ( f'(u) - g'(u) ) + ( f(u) - g(u)(+) * ( g'(u) - f'(u) )

Da du es für beliebige u gelten soll müsstest du zeigen das die Funktion auf ganz R positiv ist.

PS: (+) soll ein hochgestelltes + sein, d.h. wird ( g(u) - f(u) ) negativ ist ( g(u) - f(u) )(+) gleich Null.

mfg c°h°

Jester

steff3 schrieb:

Jester schrieb:

Rechne doch den Schnittpunkt mal aus.

-u*x+n = (-u-1)*x +n

-u*x = (-u-1)*x

hab hier frage ich mich dann was aus dem x werden soll

Naja, da kommt halt x=0 raus. Bist Du sicher, daß Du alles richtig aufgestellt hast? Insbesondere dieses n wundert mich. Warum ist das bei beiden gleich???

golden_jubilee

Jester schrieb:

steff3 schrieb:

Jester schrieb:

Rechne doch den Schnittpunkt mal aus.

-u*x+n = (-u-1)*x +n

-u*x = (-u-1)*x

hab hier frage ich mich dann was aus dem x werden soll

Naja, da kommt halt x=0 raus. Bist Du sicher, daß Du alles richtig aufgestellt hast? Insbesondere dieses n wundert mich. Warum ist das bei beiden gleich???

f(x) = m*x + n

das ist eine tangente und das einzige was ich kenne ist der anstieg m

Jester

Aber Du kannst dann doch nicht einfach davon ausgehen, daß die beiden schon den gleichen Y-Achsenabschnitt haben werden. Du muß den halt schon auch noch ausrechnen. Dazu mußt Du die Bedingung benutzen, daß die Tangente nicht nur die richtige Steigung hat, sondern am Berührpunkt auch wirklich nen gemeinesamen Punkt mit der Kurve hat.

Wenn Dir das zu viel Denkarbeit ist kannste auch die Tangentengleichung verwenden:

t(x) = f(x_0) + f'(x_0)*(x-x_0)

Dabei ist x der Parameter der Tangente, x_0 ist der Punkt, an dem Du die Tangente anlegst (bei Dir also x_0 = u. Setz doch das mal für beide Kurven an und berechne dann den Schnittpunkt.

golden_jubilee

Jester schrieb:

Aber Du kannst dann doch nicht einfach davon ausgehen, daß die beiden schon den gleichen Y-Achsenabschnitt haben werden. Du muß den halt schon auch noch ausrechnen. Dazu mußt Du die Bedingung benutzen, daß die Tangente nicht nur die richtige Steigung hat, sondern am Berührpunkt auch wirklich nen gemeinesamen Punkt mit der Kurve hat.

Wenn Dir das zu viel Denkarbeit ist kannste auch die Tangentengleichung verwenden:

t(x) = f(x_0) + f'(x_0)*(x-x_0)

Dabei ist x der Parameter der Tangente, x_0 ist der Punkt, an dem Du die Tangente anlegst (bei Dir also x_0 = u. Setz doch das mal für beide Kurven an und berechne dann den Schnittpunkt.

-u -u
(u + 1)·e + (e ·(-u))·(x - u) =
-u -u
(u + 2)·e + (e ·(-u - 1))·(x - u)

-u 2
- e ·(u·x - u - u - 1) =
-u 2
- e ·(x·(u + 1) - u - 2·u - 2)

u+1 = x

reicht das schon? für jedes u das ich einsetze ist der schnittpunkt um 1 größer

Jester

Ich hab's jetzt nicht nachgerechnet, aber sowas in der Art hätte ich auch erwartet.

golden_jubilee

kannst du mal bitte kurz und knapp sagen wie du auf die tangentengleichung gekommen bist f'(x_0) ist ja klar aber der rest

du berechnest erstmal den berührpunkt der Tangente (u,f(u)) um auf den y-achsenabschnitt der tangente zu kommem nusst du nun nurnoch f(u) + u * f'(u) berechnen also insgesammt ist dann die Tangente:

T(x) = f'(u)*x + f(u) + u * f'(u)

mfg

aber ich denke trotzdem die Tangente zu berechnen ist zu aufwändig wenn uns doch langt, dass die Steigung der in u oben liegenden Funktion kleiner der unten liegenden sein muss.

Plotte mal meine Funktion (siehe oben) mit Maple etc und du hast es gezeigt wie schon erwähnt wurde gilt zeigen != beweisen

golden_jubilee

c°h° schrieb:

du berechnest erstmal den berührpunkt der Tangente (u,f(u)) um auf den y-achsenabschnitt der tangente zu kommem nusst du nun nurnoch f(u) + u * f'(u) berechnen also insgesammt ist dann die Tangente:

T(x) = f'(u)*x + f(u) + u * f'(u)

mfg

f(u) + u * f'(u) genau diesen teil versteh ich nicht, wie kommt man darauf und kann es sein das es

T(x) = f'(u)*x + f(u) + x * f'(u) und nicht
T(x) = f'(u)*x + f(u) + u * f'(u) heißen muss?