Problem mit Aufgabe

XFame schrieb:

Man findet doch zu jeder solcher Funktion sofort ein x aus |Z^n, meinetwegen (-2,...,-2), mit f(x)<0.

Nein, wieso?

XFame schrieb:

Ich verstehe nicht, wieso es solch eine Funktion ueberhaupt geben sollte. Man findet doch zu jeder solcher Funktion sofort ein x aus |Z^n, meinetwegen (-2,...,-2), mit f(x)<0. Wieso sollte da die Zielmenge die Menge der nicht negativen reellen Zahlen sein?

das sehe ich aber auch so.

beispielsweise n = 1, x = -2:
f(-2) = 1/2*[(-1) + (-3)] = -2 < 0, wenn sie mittelwert der beiden nachbarn sein soll.

oder was sehen wir daran falsch?

Es kann nach Voraussetzung keine negativen Werte geben.

schwierig schrieb:

Es kann nach Voraussetzung keine negativen Werte geben.

richtig, aber um die eigenschaft auf ganz Z zu erfüllen, muss die funktion negative werte annehmen -> widerspruch, eine solche funktion existiert nicht, oder?

Nein, eine konstante Funktion erfüllt die Bedingung auch.

Jester

zweifler&zustimmer schrieb:

schwierig schrieb:

Es kann nach Voraussetzung keine negativen Werte geben.

richtig, aber um die eigenschaft auf ganz Z zu erfüllen, muss die funktion negative werte annehmen -> widerspruch, eine solche funktion existiert nicht, oder?

Im Prinzip ist das genau die Argumentation: Angenommen die Funktion hat die Eigenschaften und ist nicht konstant. Dann hat sie irgendwo negative Funktionswerte. Widerspruch, also muß sie konstant sein.

Was jetzt fehlt ist ein genauer Beweis der Aussage "Dann hat sie irgendwo negative Funktionswerte". Dass es dem ein oder anderen leicht fällt für eine einzelne gegebene Funktion eine solche Stelle zu finden, zählt leider nicht als Beweis.

Für n = 1 ist das Problem übrigens trivial...

XFame

Das ist genauso Quatsch wie $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+, x \mapsto x^3$ .

schwierig schrieb:

Nein, eine konstante Funktion erfüllt die Bedingung auch.

Warum sollte der Mittelwert immer konstant sein, wie soll das gehen?

XFame schrieb:

Das ist genauso Quatsch wie $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+, x \mapsto x^3$ .

Was ist Quatsch?

XFame schrieb:

schwierig schrieb:

Nein, eine konstante Funktion erfüllt die Bedingung auch.

Warum sollte der Mittelwert immer konstant sein, wie soll das gehen?

f(x) = c. c = 1/(2n) * 2n*c

Jester

@XFame: Die Aufgabe ist kein Quatsch. Wenn Du Verständnisprobleme dabei hast, frag doch bitte konkret nach.

XFame

Was ist denn daran nicht zu verstehen? Ich nehme mir ein x aus |Z^n, meinetwegen x = (-2,...,-2), dann ist
f(x) = ((-1+(-3)) + (-1+(-3)) + ... + (-1+(-3)))/(2n) = n*(-1+(-3))/(2n) = -2. Wie kann da der Zielbereich der angegebene sein?

Bashar

Der Mittelwert der umgebenden Funktionswerte!

XFame

Dann nehme ich alles zurueck ;).

asmodis

Was ich bisher rausgekriegt habe:
Angenommen f ist nicht konstant, dann
1. f kann keine Nullstelle haben, da sonst die Nachbarwerte alle 0 sein müssen (da keine negativen werte) und induktiv müsste f dann konstant 0 sein.

2. es gibt ein x und zwei nachbarpunkte y, z, sodass f(y) < f(x) < f(z).
Damit muss es eine Folge von Punkten (x_n) geben, sodass f(x_n -> 0 und eine Folge (y_n), sodass f(y_n) -> ∞.

Bekomme es grad noch nicht hin das ganze zu einem widerspruch zu führen.

asmodis schrieb:

2. es gibt ein x und zwei nachbarpunkte y, z, sodass f(y) < f(x) < f(z).
Damit muss es eine Folge von Punkten (x_n) geben, sodass f(x_n -> 0 und eine Folge (y_n), sodass f(y_n) -> ∞.

Warum gegen 0 bzw. unendlich?

asmodis

y muss wieder einen nachbarpunkt y' ungleich x haben mit f(y') < f(y)
analog muss z einen nachbarpunkt z' ungleich x haben mit f(z) < f(z')
induktiv muss es diese folgen geben

Und warum sieht deine Folge nicht so aus: 1 + 1/n. Das wird auch immer kleiner, geht aber nicht gegen 0.

asmodis

gutes argument...
muss man wohl noch weiter überlegen...

analoges gilt natürlich auch für die Folge gegen "unendlich", die kann auch erstmal beschränkt sein.

asmodis

schwierig schrieb:

Für n = 1 ist das Problem übrigens trivial...

Wie hast du es da gelöst?

Jester

Ich bin grad am überlegen, ob man die Dimension evtl. reduzieren kann.

Man könnte g(x_1,x_2,...,x_n):=f(x_1,...,x_n) + f(x_1-1,x_2,...,x_n) + f(x_1+1,x_2,...,x_n) setzen. Für festes x_1 hat g jetzt, wenn ich nicht daneben liege bezüglich den x_2,...,x_n die gewünschte Eigenschaft. Das heißt induktiv wäre der Funktionswert nur noch abhängig von x_1.

Hilft das was? Funktioniert das überhaupt?

edit: funktioniert nicht wirklich. würde aber funktionieren, wenn der funktionswert selbst an der mittelwertbildung beteiligt wäre. Was andererseits wieder zeigt, dass es doch funktioniert. Schließlich ist der Funktionswert gerade der Durchschnitt der umliegenden Werte und es ändert daher nichts, ob man den noch in die Mittelwertbildung mit einbezieht oder nicht. Hmmmm.