0,9 Periode kleiner gleich 1?

[Mr.Fister]

Der Raum der ganzen Zahlen liegt ja im Gegensatz zu Q und R nicht dicht in sich selbst, was letztendlich in diesem Fall nichts anderes heißt, als dass es zwischen zwei verschiedenen Zahlen immer eine weitere geben muss. Man kann das relativ leicht beweisen, wobei es möglicherweise über deinen Horizont hinausgeht, dh. man macht es für gewöhnlich im ersten Semester an der Uni in Analysis 1.

[Jester]

Mr.Fister schrieb:

Der Raum der ganzen Zahlen liegt ja im Gegensatz zu Q und R nicht dicht in sich selbst.

Hu? Der Abschluß von Z ist doch Z? Also liegt Z dicht in Z. Oder worauf willst Du hinaus?

[nurf]

Jester schrieb:

nurf schrieb:

Die Schwierigkeit ist nicht zu beweisen :

0,999 == 1,0

Denn es handelt sich um den gleichen Wert.

Man muß beweisen :

Die Zahlendarstellung hat den gleichen Wert. Es gibt also verschiedene Darstellungen für den Wert 1,0 !

Aha, man muß also nicht beweisen, dass 0,999... = 1 sondern dass 0,999... = 1. Danke für diese Klarstellung.

Du hast also den Unterschied zwischen Wert und Darstellung nicht verstanden.

[Theston]

nurf schrieb:

Du hast also den Unterschied zwischen Wert und Darstellung nicht verstanden.

Ich glaube eher, du hast nicht verstanden, was du geschrieben hast

[Jester]

nurf schrieb:

Du hast also den Unterschied zwischen Wert und Darstellung nicht verstanden.

Doch, ich habe recht genau verstanden, dass 0,999... die gleiche Zahl wie 1 ist. Das sind zwei Darstellungen und zu zeigen ist, dass sie das gleiche Objekt bezeichnen, also den gleichen Wert. So einfach ist das.

Deine künstliche Unterscheidung zwischen Wert und Wert einer Darstellung ist unfug.

[Mr.Fister]

Jester schrieb:

Mr.Fister schrieb:

Der Raum der ganzen Zahlen liegt ja im Gegensatz zu Q und R nicht dicht in sich selbst.

Hu? Der Abschluß von Z ist doch Z? Also liegt Z dicht in Z. Oder worauf willst Du hinaus?

Ich hatte offenbar eine fehlerhafte Definition im Kopf und ziehe die Behauptung zurück

[Michael E.]

matheb00n schrieb:

was ich als ultra mathe-b00n dabei nicht kapiere ist folgendes: wenn ich mich im system der ganzen zahlen bewege geht zwischen 4 und 5 auch keine zahl mehr, trotzdem würde niemand behaupten das 4=5 ist.

Die ganzen Zahlen sind diskret.

[Jester]

Ich denke, das Argument läuft eher in die Richtung, dass zwischen zwei verschiedenen Zahlen in Q bzw. R stets noch eine dritte liegt, die von den ersten beiden verschieden ist:

a < b => a+a<a+b => a<(a+b)/2
analog gilt auch (a+b)/2 < b.

Das gilt bei den ganzen Zahlen natürlich nicht.

[Mathematikker]

$\mathbb{R}$ ist vollständig, $\mathbb{Q}$ nicht (und damit natürlich auch $\mathbb{Z}$ und $\mathbb{N}$ nicht).

[Mathematikker]

matheb00n schrieb:

Mathematikker schrieb:

Das Problem ist es das jemandem klar zu machen, dass es dazwischen keine Zahl gibt, ganz besonders jemandem in der 6. Klasse.

was ich als ultra mathe-b00n dabei nicht kapiere ist folgendes: wenn ich mich im system der ganzen zahlen bewege geht zwischen 4 und 5 auch keine zahl mehr, trotzdem würde niemand behaupten das 4=5 ist.

Der Unterschied ist:
5-4=1
1-0.999....=0

Zwei Zahlen sind gleich, wenn ihre Differenz 0 ist.

[Jester]

Mathematikker schrieb:

$\mathbb{R}$ ist vollständig, $\mathbb{Q}$ nicht (und damit natürlich auch $\mathbb{Z}$ und $\mathbb{N}$ nicht).

nein, N und Z sind vollständig. Jede Cauchy-Folge in N bzw. Z muß irgendwann konstant werden, also konvergieren.

[Gast]

Ich weiß nicht wie es euch geht, aber der einsichtigste Beweis ist für mich immer noch
$3 \cdot {1 \over 3} = 3 \cdot 0.3333... = 0.9999... = 1$

[Jester]

Ich finde aufsummieren über die geometrische Reihe am einsichtigsten. Da befindet man sich auf einem soliden mathematischen Fundament und nutzt nur elementare Resultate und keine "offensichtlich intuitiv wahren" dinge wie 3*0.333... =.999..., die man dann nicht mehr beweist. Außerdem bewegt man sich damit auch sehr nah an der Definition der g-adischen Darstellung.

[Jan]

Mathematikker schrieb:

Der Unterschied ist:
5-4=1
1-0.999....=0

Zwei Zahlen sind gleich, wenn ihre Differenz 0 ist.

Würden sich aber noch Zahlen zwischen 0,999... und 1 befinden, so wäre die Differenz ja nicht mehr 0. Die Behauptung (!) bringt also gar nichts.

[Mathematikker]

Jan schrieb:

Mathematikker schrieb:

Der Unterschied ist:
5-4=1
1-0.999....=0

Zwei Zahlen sind gleich, wenn ihre Differenz 0 ist.

Würden sich aber noch Zahlen zwischen 0,999... und 1 befinden, so wäre die Differenz ja nicht mehr 0. Die Behauptung (!) bringt also gar nichts.

Worauf willst du hinaus? Deine Aussage ist natürlich richtig, wenn dazwischen noch Zahlen wären, dann wäre die Differenz nicht 0, aber ich denke wir sind in diesem Thread bereits über das Stadium hinaus wo spekuliert wird ob dazwischen nun eine oder mehrere Zahlen liegen oder nicht.

Es erfolgte hier bisher noch kein Beweis, da dieser etwas länglich ist aber diesen kann man z.B. in Amann,Escher Analysis 1 Seite 200 nachlesen.

@Jester, oh sorry, ich hätt darüber etwas nachdenken sollen, ist ja eigentlich auch klar...

[XFame]

Er meint, dass der von ihm Zitierte schon benutzt, dass 0,999...=1 gilt.

[Mathematikker]

XFame schrieb:

Er meint, dass der von ihm Zitierte schon benutzt, dass 0,999...=1 gilt.

Benutzt, wozu?

Das habe ich geschrieben und ich sehe da keine absonderliche Behauptung, ich habe lediglich auf die Aussage auf Seite 3 reagiert, wo jemand kritisiert hat, dass man auch nicht sagt 5=4.
Daraufhin habe ich mein Posting verfasst in dem ich festhalte, dass zwei Zahlen gleich sind, wenn ihre Differenz 0 ist.
Dass die Differenz von 5 und 4 ungleich 0 ist, darüber müssen wir offensichtlich nicht streiten, da jedem klar ist, dass 5 und 4 zwei verschiedene Zahlen symbolisieren.

Dass die Differenz von 0.999 und 1 gleich 0 ist, darüber muss niemand streiten der das Dezimalsystem mal wirklich sauber eingeführt (bekommen) hat und es nicht nur intuitives Benutzen aus der Schule kennt.
Es gibt nichts an der Tatsache zu rütteln, dass 0.999...=1 ist, somit kann ich auch ohne weiteres die Aussage treffen, dass die Differenz 0 ist.
Ich wollte hier nie zeigen, dass die beiden Zahlen gleich sind, denn das kann jeder für sich in einem Analysis1 Buch nachlesen.

[matheb00n]

Michael E. schrieb:

Die ganzen Zahlen sind diskret.

Die Tatsache das ganze Zahlen diskret sind erklärt das aber nur wenn man das Problem von außerhalb der Zahlen betrachtet und fassen möchte. Die Mengenleere der Zahlen ist doch aber nichts Zahl-immanentes oder etwa doch? Für mich wirkt das wie eine außen herum aufgebautes Konstrukt.

Mathematikker schrieb:

Ich wollte hier nie zeigen, dass die beiden Zahlen gleich sind, denn das kann jeder für sich in einem Analysis1 Buch nachlesen.

darum gings hier doch aber eigentlich oder nicht? soll jetzt nicht provokant gemeint sein vllt hab ich einfach irgendwo den faden verloren, aber genau nach dieser erklärung ist hier gefragt und ich habe kein analysis1-buch zu hause.

Optimizer schrieb:

Ich weiß nicht wie es euch geht, aber der einsichtigste Beweis ist für mich immer noch
$3 \cdot {1 \over 3} = 3 \cdot 0.3333... = 0.9999... = 1$

das stellt die behauptung das 0,999... = 1 ist zumindest am anschaulichsten dar. viel mehr aber ist es ein beweis für die merkwürdigkeit der mathematik

[D-U-D-E]

matheb00n schrieb:

...ein beweis für die merkwürdigkeit der mathematik

Vielleicht eher für die "Unvollkommenheit" der Dezimalbrüche

[MasterCounter]

Hat wer nen Link zu nem verständlichen Beweis?