h-Methode

Hallo Leute,

am Mittwoch schreibe ich eine Klausur und wieder komm ich erst jetzt auf die Idee zu lernen. Dabei ist mir aufgefallen, dass ich eine Methode garnicht kann und komplett garnicht verstanden habe: die h-Methode

Vorweg. Es ist mir wichtiger die h-Methode bis Mittwoch anwenden zu können als das ich sie verstehe. (wobei letzteres auch schön wäre, nur halt für die Klausur nicht relevant).

so, ich habe beispielsweiße:

f(x) = 1/2x^2 und x₀=2

Um die Differenz auszurechnen, rechne ich:
> f(x0+h)- f(xo)
= f(2+1) - f(2)
= 4,5 - 2
= 2,5

Und am Rand der aufgabe steht noch lim h -> 0.
Was hat es damit aufsich? Es ist eine Näherung an 0 aber welche Zahl ist h konkret? In der obigen Aufgabe habe ich mal h=1 genommen. Wie wende ich die h-Methode nun an?

Daniel E.

Du sollst den Grenzwert (f(x0+h)-f(x0))/h für h->0 ausrechnen ...

Ja, was ist aber h -> 0 ? Was muss ich dafür in TR eingeben?

Freudlich schrieb:

Ja, was ist aber h -> 0 ? Was muss ich dafür in TR eingeben?

das musst du händisch machen. setze die definition von f ein. bilde von dem ergebnis den grenzwert für h -> 0. in der schule ersetzt man jedes h durch 0.
damit der lehrer nicht meckert darf dann kein h im nenner stehen.

(1/2 (x+h)^2 - 1/2 x^2)/h = (1/2 x^2 + xh + 1/2 h^2 - 1/2 x^2)/h =
= x + 1/2 h
(hier der zaubertrick)
= x

bei deiner formel hast du das durch h vergessen.

(f(x0+h)-f(x0))/h

muss ja auchgerechnet werden.

in der schule ersetzt man jedes h durch 0.

hmm? Eher nicht. h soll ein nährungswert an 0 sein, nicht 0 selbst.

also

> f(x0+h)- f(xo) / h
= f(2+1) - f(2) / h
= 4,5 - 2 / h
= 2,5 / h
= ?

was ist h nun?

freudlich schrieb:

> f(x0+h)- f(xo) / h
= f(2+1) - f(2) / h

was hast du hier gemacht? rechne das bitte neu.

Naja, x₀ = 2 und h = weiß ich nicht, daher hab ich einfach mal 1 genommen:

> f(x₀+h)- f(x_o) / h
= f(2+1) - f(2) / h
= 4,5 - 2 / h
= 2,5 / h
= ?

Freudlich schrieb:

Ja, was ist aber h -> 0 ? Was muss ich dafür in TR eingeben?

Das Thema heißt "Grenzwertbildung von Funktionswerten".

h -> 0 bedeutet, daß du dir eine Folge von Werten vorstellen sollst, die sich immer näher an 0 annähert.
Diese Folge von Werten setzt du dann für h ein, und sollst beobachten, was dabei herauskommt.

Beispiel:

lim        2 / (1+h) = 2
h -> 0

warum? stell' dir eine Folge von h-Werten vor, die sich an 0 annähert, etwa:

h = 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...

Setzt du diese Folge von h-Werten in 2/(1+h) ein, erhältst du:

2/2, 2/1.5, 2/1.3333..., 2/1.25, 2/1.2, 2/1.16...,

Wie du siehst, nähert sich die Sache an 2/1, also an 2, an.

Man schreibt daher:

lim        2 / (1+h) = 2
h -> 0

Das lim steht für "Limes", was soviel heißt wie "Grenzwert".

Alles klar?

Nun gut. Das ist mir nun klar. Aber wie wendet man lim _praktisch_ an? Beispielsweiße bei meiner aufgabe?

by the hammer

danke fürs trollen. Haste toll gemacht.

freudlich schrieb:

Nun gut. Das ist mir nun klar. Aber wie wendet man lim _praktisch_ an? Beispielsweiße bei meiner aufgabe?

Null für h einsetzen

> f(x0+h)- f(xo) / h
= f(2+1) - f(2) / 0
= 4,5 - 2 / 0
= 2,5 / 0
= 2,5

also ist die Lösung von

s(t) = 1/2*t² | t₀ = 2
= 2,5 ?

das war die komplette h Methode?

freudlich schrieb:

das war die komplette h Methode?

das war falsch.
du kannst nicht einmal null und einmal eins für h einsetzen.
du kannst nicht null einsetzen, wenn die null dann im nenner stehen würde. du musst warten, bis keine null mehr im nenner stehen würde. dann kannst du die null einsetzen. du kannst die null mehrmals einsetzen. du kannst die null so oft einsetzen, wie das h vorkommt, wenn danach keine null im nenner stehen würde. wenn danach keine null im nenner steht, kannst du die null einsetzen.

ja, nee, h = 0 setzen ist allgemein nicht erlaubt, obwohl es in vielen Fällen klappt.

schau dir mal diese Folge an:

(f(x_0+h_n)-f(x_0))/h_n  mit h_1 = 1, h_2 = 1/2, h_3 = 1/3, ..., h_n = 1/n, ...

h_n ist eine Folge, die sich gegen Null nähert.

wenn du das h_n in (f(x_0+h_n)-f(x_0))/h_n einsetzt, bekommst du eine Folge, die von n abhängt.

Dann läßt du in Gedanken n gegen unendlich gehen (n -> oo), was "dasselbe" (vorerst mal) ist wie h -> 0, und du "siehst" den gesuchten Grenzwert für h -> 0 - vereinfacht gesagt.

Das ist natürlich noch kein Beweis, denn für einen Beweis muß man jede Folge h_n -> 0 betrachten, aber das kann man dann durch theoretische Überlegungen (Stetigkeit usw.) erledigen. Hier kommt es erst mal nur auf die Vorstellung von "Grenzwertbildung an Funktionen" an.

einsetzen klappt genau dann wenn die funktion dort auch stetig ist!

PeterTheMaster

welche funktion? der differenzenquotient als funktion von h? klar, dann stimmt deine aussage, bringt aber nix.

PeterTheMaster schrieb:

welche funktion? der differenzenquotient als funktion von h? klar, dann stimmt deine aussage, bringt aber nix.

Bringt insofern was, da es die frage klärt wann einsetzen erlaubt ist.
Und natürlich als Funktion in h. Wir reden doch hier von einem Grenzprozess in h, also variieren wir h. Und mit Diffrenzenquotienten hat das eigentlich nichts zu tun.

PeterTheMaster

es klaert die frage nicht, es formuliert sie um, und zwar nicht in ein leichter zu sehendes kriterium. die beiden sachen bedeuten einfach zu offensichtlich dasselbe.

und warum ist das ding, in dem wir beim ableiten das h gegen null gehen lassen wollen nicht der differenzenquotient? bei uns in der schule hiess das so und der name macht auch durchaus sinn.

PeterTheMaster schrieb:

es klaert die frage nicht, es formuliert sie um, und zwar nicht in ein leichter zu sehendes kriterium. die beiden sachen bedeuten einfach zu offensichtlich dasselbe.

ok, wenn man nicht sieht das a+b*h stetig ist, dann mags du recht haben.
Übrigens sind Umformulieren und Klären einander nicht so fremd.

PeterTheMaster schrieb:

und warum ist das ding, in dem wir beim ableiten das h gegen null gehen lassen wollen nicht der differenzenquotient? bei uns in der schule hiess das so und der name macht auch durchaus sinn.

keine ahnung warum das keiner sein soll, ich dachte eigentlich es wäre einer.