Ordnungsrelation, maximales und minimales Element.

3 ≥ 2 ≥ 1

hier entscheiden die symbole > und < über größer/kleiner bezüglich der einzelnen elemente (hier: zahlen) und die richtung entscheidet über maximal/minimal.
richtung links: minimal. richtung rechts: maximal.

ich frage mich gerade, wie die richtung in der mathematik diesbezüglich definiert ist. *grübel*

richtungsweis0r schrieb:

3 ≥ 2 ≥ 1
hier entscheiden die symbole > und < über größer/kleiner bezüglich der einzelnen elemente (hier: zahlen) und die richtung entscheidet über maximal/minimal.
richtung links: minimal. richtung rechts: maximal.

Okay, wenn das so ist, das klingt einleuchtend!
Das rechts in Richtung maximales Element geht, habe ich noch in keinen Grundlagen gelesen, aber was solls.

bei Ordnungsrelationen kann man im allgemeinen vom verwendeten Symbol her gar nichts sagen, auch "Richtungen" sind überhaupt nicht einheitlich festgelegt, da ist also gar nichts einleuchtend.

Beispielweise bei der "umgekehrten lexikographischen Ordnung" von Termordnungen wird <= verwendet, wenn der linke Term lexikographisch größer(!) ist als der rechte.

< und > bei Zahlen sind wohl eher aus bildlichen Gründne gewählt (das größere Element steht dort, wo die Klammer weiter auseinander ist).

u_ser-l schrieb:

bei Ordnungsrelationen kann man im allgemeinen vom verwendeten Symbol her gar nichts sagen, auch "Richtungen" sind überhaupt nicht einheitlich festgelegt, da ist also gar nichts einleuchtend.

Beispielweise bei der "umgekehrten lexikographischen Ordnung" von Termordnungen wird <= verwendet, wenn der linke Term lexikographisch größer(!) ist als der rechte.

< und > bei Zahlen sind wohl eher aus bildlichen Gründne gewählt (das größere Element steht dort, wo die Klammer weiter auseinander ist).

das kann ja nicht sein, denn wieso ist dann bei
3 ≤' 2 ≤' 1
die 1 das maximale Element?
obiges ist doch das gleiche wie 3 ≥ 2 ≥ 1
also spielt hier die Richtung eine Rolle.

Relationen lassen sich frei benennen, wie auch immer man will. Du kannst auch definieren

$ := {(1,1), (1,2), (1,3), ..., (2,2), (2,3), ... }
>> := <=
o-:<Blabla>:-o := >=

dann gilt 2>>3, 2$4 und 9o-:<Blabla>:-o7, da gibt es weder Richtungen noch sonst etwas.

M := {1,2,3}

Ordnung bezüglich ≤: 1 ≤ 2 ≤ 3
Maximales Element: 3

Ordnung bezüglich ≥: 3 ≥ 2 ≥ 1
Maximales Element: 1

Was spielt hier im Hinblick auf das maximale Element eine Rolle, wenn nicht die Richtung (bzw. Ordinalzal, Zählrichtung von links nach rechts) ?

Daß man bei "a<b" das Element b "größer als a" nennt, ist rein willkürlich - diese Vereinbarung wird optisch dadurch gestützt, daß das Zeichen "<" rechts größer als links ist. Es ist halt praktisch, einen Begriff dafür zu haben - sonst müßte man umständlich sagen "(a,b) ist in der Relation < enthalten".

Definiert man die Relation

"<=" := {(1,1), (2,1), (3,1), ..., (2,2), (3,2), (4,2), ...}

dann ist 1 maximales Element bezüglich "<=", weil "<=" eben hier so definiert ist. Reine Vereinbarungssache.

Ich definiere jetzt die Relation

WoW! := {(1,1), (2,1), (3,1), ..., (2,2), (3,2), (4,2), ...}

Welches ist jetzt maximales Element bezüglich WoW! und wieso?

nach gängiger Lesart (und das heißt: WoW! stehe synonym für das rein symbolisch zu verstehende Zeichen "<=" in den Axiomen einer Ordnungsrelation) ist 1 maximales Element, weil (x,1) in WoW! für alle x ist.

@richtungsweisOr:

ach jetzt verstehe ich, was du meinst: Du meinst, daß die Leserichtung von "<" bestimmt, daß das Maximum einer Kette .. < .. < .. < .. rechts zu finden ist, sofern das Transitivitätsaxiom in der üblichen Form, nämlich "a<b ^ b<c => a<c" formuliert ist: Da stimme ich natürlich zu.

u_ser-l schrieb:

nach gängiger Lesart (und das heißt: WoW! stehe synonym für das rein symbolisch zu verstehende Zeichen "<=" in den Axiomen einer Ordnungsrelation) ist 1 maximales Element, weil (x,1) in WoW! für alle x ist.

wäre 1 maximales element, müsste
nach definition des maximalen elementes für alle x $\in$ M gelten:
1 ≤ x => 1 = x

ist ja auch so. Wir reden ja von der Relation:

R := "<=" := {(1,1), (2,1), (3,1), ..., (2,2), (3,2), (4,2), ...}

1Rx => 1=x
denn (1,1) ist das einzige Paar in R von der Form (1,x)

die implikation 1≤ x => 1 = x ist nur wahr, wenn 1R1 ist, für alle
anderen x ist sie falsch.
die definition des maximalen elementes sagt aus, die implikation für alle x gilt. darum ist 1 nicht maximales element.

dann lies dir noch mal in der wiki durch, was ein maximales Element ist.

Mann ist das ein Trauerspiel hier. Es ist doch wohl klar, dass es abstrakte Ordnungsrelationen mit abstrakten Maxima gibt, und gleichzeitig die kanonischen "größergleich" und "kleinergleich" auf teilmengen von N, bei denen natürlich maximum und minimum genau invertiert sind, und auch immer gleich bleiben. Die beiden Sachen auseinanderzuhalten sollte doch wohl wirklich nicht so schwer sein.

u_ser-l schrieb:

dann lies dir noch mal in der wiki durch, was ein maximales Element ist.

Definition
(M,≤) sei eine geordnete Menge und N $\subset$ M eine Teilmenge und x $\in$ M.
x heißt maximales Element von N genau dann, wenn gilt:

x $\in$ N.
Für alle y $\in$ N gilt: x ≤ y => x = y.

Unter 2) steht: Für alle ...
In unserem Fall gilt das nur für ein y, nämlich für y := 1.
Bzw. für xRy = 1R1, mit x = 1.

Heinzelotto

implikat0r schrieb:

die implikation 1≤ x => 1 = x ist nur wahr, wenn 1R1 ist

Eine Ordnungsrelation ist reflexiv, d.h. jedes Element der Menge, über der die Ordnung definiert ist, steht zu sich selbst in Relation.

MamboKurt

@implikat0r: das für alle ist so schon richtig. es gibt eine logische regel, die "ex falso quodlibet" heißt. das bedeutet, wenn bei der Aussage "A=>B" A falsch ist, dann ist "A=>B" wahr (siehe Wahrheitstafel )
in diesem falls heißt dass wenn y nicht 1 ist, dann ist "1Ry" falsch, also ist "1Ry => y=1" wahr. der einzige fall für den "1Ry" wahr ist, ist für y=1, aber dann ist eben "y=1" wahr, also auch "1Ry => y=1". dem zufolge ist die aussage "1Ry => y=1" für alle y wahr.

mfg
MamboKurt

@implikatOr: lies dir die Definition von "maximales Element" noch mal genau durch, und dann nochmal und nochmal und nochmal. Irgendwann muß der Groschen fallen.

Heinzelotto schrieb:

Eine Ordnungsrelation ist reflexiv, d.h. jedes Element der Menge, über der die Ordnung definiert ist, steht zu sich selbst in Relation.

Ja, das trifft hier ja auch auf jedes Element zu.

MamboKurt schrieb:

@implikat0r: das für alle ist so schon richtig. es gibt eine logische regel, die "ex falso quodlibet" heißt. das bedeutet, wenn bei der Aussage "A=>B" A falsch ist, dann ist "A=>B" wahr ...

Ja, aber hier ist ja A für alle y aus M richtig, bezüglich der Realtion R',
denn für alle Elemente aus M gilt 1 ≤ y

Es geht prizipiell um Folgendes, die Menge M := {1,2,3}, um die Relation
R := { (1,1), (1,2), (1,3), (2,2), (2,3), (3,3) } und um die Umkehrrelation
R' = { (1,1), (2,1), (3,1), (2,2), (3,2), (3,3) } = R^-1

Speziell geht es um die Frage: Ist 1 maximales Element bezüglich der Relation R'?
Um die Frage mit einem ja beantworten zu können,
muss für alle y $\in$ M gelten: 1 ≤ y => 1 = y.
Die Implikation ist aber nur für 1 $\in$ M wahr, für 2, 3 $\in$ M ist sie falsch. Darum ist 1 nicht maximales Element von M bezüglich R'.