Beweis Injektivität
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Mir isses ehrlich gesagt völlig wurscht, ihr dürft das von mir aus für die tollste notation der welt halten. ich halt's für unbrauchbar und benutze sowas nicht. Wer's nutzen mag soll's tun, wer's hier als tolle standardnotation verkauft und dann kein einziges Beispiel aus der Mathematik liefern kann, sondern sich dann in Programmiersprachen flüchtet, muß damit leben dass ich widerspreche.
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freakC++ schrieb:
Zur Notation: Hier wird sie auch verwendet: http://de.wikipedia.org/wiki/Komposition_(Mathematik)
Du verwendest sie aber nicht ganz korrekt.
Angenommen es gäbe eine injektive Funktion f: A -> B.
Richtig: f ist injektiv.
Falsch: A -> B ist injektiv. Was soll das sein? Wie schon diskutiert bezeichnen manche damit die Menge aller Funktionen mit Definitionsbereich A und Zielbereich B, aber auch dann ist die Aussage unsinnig. Vor allem gibt es gar keinen Bezug zu f.Ich weiß nicht, ob die Definition üblich ist, aber bei uns wurde eine Funktion definiert als (A, B, f) mit der Relation f als Teilmenge von A x B. Dafür wurde die Schreibweise f: A -> B eingeführt. Bei der Relation f kann man jetzt Aussagen über Injektivität oder Surjektivität treffen (wobei der Zielbereich implizit bekannt ist), die Schreibweise A -> B gibt es aber in dem Zusammenhang gar nicht.
Sätze wie „…Wissen A -> C ist bijektiv, eine Aussage auf B…“ machen also keinen Sinn. Du fragst dich bestimmt statt dessen, wie du mit dem Wissen, dass gof bijektiv ist, eine Aussage zu f machen kannst.
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Mmh...ok, danke für den Hinweis. Wie kann ich denn am besten lernen, möglichst mathematisch korrekt zu schreiben? wahrscheinlich einfach nur, indem ich möglichst viele Aufgaben rechne, möglichst viele Fehler mache und möglichst oft verbessert werde? Oder, gibts auch einen eleganteren Weg?
Zur Übung habe ich mir folgendes überlegt. g muss ja auch surjektiv sein. Mithilfe von !rr!rr_ Ansatz habe ich mir gedacht:
Wenn g nicht surjektiv wäre, dann gilt: g(B) != C. B ist jedoch gerade die Bildmenge von f(A) und damit wäre auch g(f(A)) nicht surjektiv. Da wir jedoch wissen, dass g \circ f bijektiv ist, wäre das ein Widerspruch, sodass g surjektiv sein muss.
Ist das jetzt ein Beweis?
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Eine kleine Ungenauigkeit: du nimmst an, dass wenn g surjektiv ist, es auch die geliftete Funktion ist, beweist das aber nicht (oder hattet ihr das in der Vorlesung?). Der Beweis dafür ist nicht schwer, günstiger kommst du aber wahrscheinlich, wenn du gar nicht erst über die gelifteten Funktionen gehst. Nimm am besten wieder einen Widerspruchsbeweis.
@Jester: mag ja sein, dass die Notation nicht sehr geläufig ist, aber warum ist sie deiner Meinung nach unbrauchbar?
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freakC++ schrieb:
Wenn g nicht surjektiv wäre, dann gilt: g(B) != C. B ist jedoch gerade die Bildmenge von f(A)
Nein, f(A) liegt in B, muss aber nicht ganz B sein.
und damit wäre auch g(f(A)) nicht surjektiv. Da wir jedoch wissen, dass g \circ f bijektiv ist, wäre das ein Widerspruch, sodass g surjektiv sein muss.
Ist das jetzt ein Beweis?
Du hast bewiesen, dass g surjektiv ist. Aber solltest du nicht zeigen, dass f injektiv ist?
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ipsec schrieb:
Eine kleine Ungenauigkeit: du nimmst an, dass wenn g surjektiv ist, es auch die geliftete Funktion ist, beweist das aber nicht (oder hattet ihr das in der Vorlesung?).
Weil es gar nicht stimmen muss, denn f muss nicht surjektiv sein.
BTW: "Geliftete Funktion" hab ich auch noch nie gehört
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ipsec schrieb:
@Jester: mag ja sein, dass die Notation nicht sehr geläufig ist, aber warum ist sie deiner Meinung nach unbrauchbar?
1. Jester war die Notation nicht geläufig und da er sich für das Maß aller Dinge hält, schloss er daraus, dass sie anderen Informatikern auch nicht geläufig sein kann.
2. Ob die Notation nützlich ist oder nicht, hängt sehr von dem Einsatzgebiet ab. Ich habe ja als Beispiel schon funktionale Programmierung erwähnt. Dort ist die Notation sehr praktisch. Siehe z.B. http://en.wikipedia.org/wiki/Currying.
3. Wie ich Jester schon per Email mitgeteilt habe (um den Thread nicht weiter zuzuspamen), kommt die Notation wohl ursprünglich aus der Mengenlehre. Siehe: http://en.wikipedia.org/wiki/Function_space
4. Wenn Jester als Informatiker behauptet, dass ihm die Notation noch nie begegnet ist, kann man ruhigen Gewissens davon ausgehen, dass er lügt. Ich gehe davon aus, dass er sich bisher einfach noch nie Gedanken darüber gemacht hat, was eigentlich sowas wie "f: A -> B -> C" darstellen soll. Dies sollte er vielleicht mal nachholen.
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Michael E. schrieb:
BTW: "Geliftete Funktion" hab ich auch noch nie gehört
Ich kenne unter der auf die Potenzmenge geliftete Abbildung f die Abbildung, welche man erhält, wenn man f auf die Potenzmengen überträgt (mit der intuitiven Definition f(T) := {f(t) | t in T}). Vermutlich gibt es da unterschiedliche Bezeichnungen.
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Achso, dann ignorier meinen letzten Beitrag. Ich bin davon ausgegangen, dass gof die geliftete Funktion sein soll.
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life schrieb:
4. Wenn Jester als Informatiker behauptet, dass ihm die Notation noch nie begegnet ist, kann man ruhigen Gewissens davon ausgehen, dass er lügt.
Mag ja sein, dass Du das normal findest, aber ich pflege weder zu lügen, noch dies anderen grundlos zu unterstellen. Für mich ist dann alles klar.
Und natürlich weiß ich was f:A->B->C ist, f ist ein Weg von A über B nach C in einem Graphen. Noch Fragen?