Ansätze zur Lösung eines mathematischen Problems

Michael E.

Sone schrieb:

Das ist der Punkt, das will ich nicht. Ich will Ansätze. Keine Lösungen. Sind Ansätze etwa schon Schummelei?

Ja. Du hast dadurch einen Vorteil gegenüber den anderen. Man sieht in diesem Thread auch, wie sehr sich die anderen daran halten, dir nur Ansätze liefern zu wollen statt Lösungen. Zum Glück haben einige nicht verstanden, dass man durch Ausprobieren und einem guten Gefühl à la "Was Kleineres find ich nicht" nicht die Optimalität der Lösung beweisen kann.

Edit: Ach ja, du brauchst auch nicht nach irgendwelchen Wikipedia-Links zu fragen, weil man für diese Aufgabe keine supertollen Verfahren braucht. Es ist ein sehr simpler Beweis möglich.

Michael E. schrieb:

Edit: Ach ja, du brauchst auch nicht nach irgendwelchen Wikipedia-Links zu fragen, weil man für diese Aufgabe keine supertollen Verfahren braucht. Es ist ein sehr simpler Beweis möglich.

Ohne wenigstens eine kleine Menge an Möglichen Belegungen zu testen?
Ich komme gerade auf keinen simplen Beweis.

Michael E.

asdfqegdsfgwe schrieb:

Ohne wenigstens eine kleine Menge an Möglichen Belegungen zu testen?

Ja.

Sone

Michael E. schrieb:

asdfqegdsfgwe schrieb:

Ohne wenigstens eine kleine Menge an Möglichen Belegungen zu testen?

Ja.

Ich warte bis zum Einsendeschluss, und dann erklärst du deinen Beweis - wenn ich nicht bis dahin selbst darauf gekommen bin ok?

Michael E.

Wenn du mich dran erinnerst...

dot

Also jetzt mal rein intuitiv, ohne viel Nachdenken, würd ich sagen: Du willst einfach drei möglichst kleine Zahlen basteln. Also nehmen wir für die Hunderterstellen mal 1, 2 und 3 her. Für die Zehner bleiben 4, 5 und 6, die verteilen wir genau umgekehrt, damit die Zahlen möglichst klein bleiben und mit den Einern machen wirs genauso und erhalten: 169, 258 und 347

Edit: Ok, etwas Nachdenken hätt wohl doch nicht geschadet...

Edit: Ok, nach ein bisschen Nachdenken und Rumspielen mit Excel, bin ich auf genau das gekommen, was Tobiking2 offenbar auch schon gesagt hat. Wenn man den Gedanken von wegen Wert des Produktes minimieren formalisiert, erhält man einen unglaublich einfachen Beweis (Zweizeiler; nein, man muss nichts differenzieren). Und 13994694 sollte demnach die richtige Lösung sein...

ein methodischer ansatz der zur eindeutigen lösung führt wurde hier schon genannt: (h1z1e1)(h2z2e2)... usw.
aber etweder wurde er nicht verstanden, übersehen oder manche probieren eben einfach gern rum ...

Sone

So Michael, bitte

Michael E.

Einen Zweizeiler wie dot kann ich zwar nicht liefern, aber trotzdem einen simplen, elementaren Beweis.

Notation: $(x,y,z) := 100x + 10y + z$ . Sei nun $(a\_2, a\_1, a\_0), (b\_2, b\_1, b\_0), (c\_2, c\_1, c_0)$ eine optimale Aufteilung der Ziffern. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit gilt $a\_2 < b\_2 < c_2$ (sonst tausche die Zahlen). Alle folgenden Rechnungen basieren darauf, dass die Lösung optimal ist, d.h. das Produkt wird nicht kleiner, wenn man Ziffern vertauscht. Vertausche zuerst gleichwertige Ziffern:

\begin{align*} & (a\_2, a\_1, a\_0)(b\_2, b\_1, b\_0)(c\_2, c\_1, c\_0) &\leq (a\_2, b\_1, a\_0)(b\_2, a\_1, b\_0)(c\_2, c\_1, c\_0)\\ \Leftrightarrow & (a\_2, a\_1, a\_0)(b\_2, b\_1, b\_0) &\leq (a\_2, b\_1, a\_0)(b\_2, a\_1, b\_0)\\ \Leftrightarrow & (1000 b\_2 + 10 b\_0)a\_1 +(1000 a\_2 + 10 a\_0)b\_1 &\leq (1000 b\_2 + 10 b\_0)b\_1 +(1000 a\_2 + 10 a\_0)a\_1\\ \Leftrightarrow & \underbrace{(\underbrace{1000 b\_2 - 1000 a\_2}_{\geq 1000} + \underbrace{10 b\_0 - 10 a\_0}_{\leq 90})}_{> 0}(a\_1 - b\_1) &\leq 0\\ \Rightarrow & a\_1 < b\_1\end{align*}

Analog \begin{align*}(a\_2, a\_1, a\_0)(b\_2, b\_1, b\_0) \leq (a\_2, a\_1, b\_0)(b\_2, b\_1, a\_0) \Leftrightarrow (100 b\_2 - 100 a\_2+ 10 b\_1 - 10 a\_1)(a\_0 - b\_0) \leq 0 \Rightarrow a\_0 < b\_0\end{align*}
Also $a\_i < b\_i < c_i, \; i=1,2,3$ . Es fehlt aber noch eine Verbindung zwischen verschiedenen Wertigkeiten. Also nun verschiedenwertige Ziffern vertauschen:
\begin{align*}(c\_2, c\_1, c\_0)(a\_2, a\_1, a\_0) \leq (a\_1, c\_1, c\_0)(a\_2, c\_2, a\_0) \Leftrightarrow (10000 a\_2 + 100 a\_0 - 100 c\_1 - 10 c\_0)(c\_2 - a\_1) \leq 0 \Rightarrow c\_2 < a\_1\end{align*}
Und analog \begin{align*}(c\_2, c\_1, c\_0)(a\_2, a\_1, a\_0) \leq (c\_2, a\_0, c\_0)(a\_2, a\_1, c\_1) \Leftrightarrow (1000 a\_2 + 100 a\_1 - 100 c\_2 - c\_0)(c\_1 - a\_0) \leq 0 \Rightarrow c\_1 < a\_0\end{align*}. Nun ist also $a\_2 < b\_2 < c\_2 < a\_1 < b\_1 < c\_1 < a\_0 < b\_0 < c_0$ , d.h. alle Variablen sind eindeutig bestimmt.

Die ganzen Rechnungen lassen sich natürlich verallgemeinern und so zu einer einzigen Rechnung zusammenfassen, aber damit tut man sich denke ich keinen allzu großen Gefallen.

dot

Michael E. schrieb:

Einen Zweizeiler wie dot kann ich zwar nicht liefern, aber trotzdem einen simplen, elementaren Beweis.

Naja, ich war damals wohl etwas voreilig; mein "Zweizeiler" ist, denk ich, mathematisch nicht ganz so einwandfrei wie dein Beweis, aber hier:

Allgemeine Überlegung: Wir haben zwei Zahlen $a$ und $b$ und wollen eine der beiden Zahlen um $c > 0$ erhöhen, sodass das sich ergebende Produkt möglichst klein bleibt:

\begin{align} (a + c) \cdot b &\leq a \cdot (b + c) \\ \Leftrightarrow \; a b + b c &\leq a b + a c \\ \Leftrightarrow \; b &\leq a \end{align}

Es gilt also allgemein: Das Produkt bleibt minimal, wenn man den größeren der beiden Faktoren erhöht.

Nun dachte ich, dass daraus rekursiv die entsprechende Konstruktionsmethode für die Faktoren folgt, da bin ich mir mittlerweile aber nichtmehr so sicher...

Ist schon ca 5 1/2 Monate her, trotzdem poste ich meinen Ansatz in Worten (nicht in der mathematischen Ausdrucksweise).

1-ste kleinste Ziffer der ersten dreistell. Zahl: 1
-||- kleinste Ziffer der zweiten -||- Zahl: 2
-||- kleinste Ziffer der dritten -||- Zahl: 3

2-te kleinste Ziffer der ersten dreistell. Zahl: 4
-||- kleinste -||- der zweiten -||- Zahl: 5
-||- kleinste -||- der dritten -||- Zahl: 6

Und so für die 3-te Stelle auch.
Dann müsste man das richtige Ergebnis erhalten.