4. Produktformel

Produktformel

  • ?

    Hi
    Ich habe eine Frage zu
    ∏k=1nxk\prod_{k=1}^{n}\frac{x}{k}
    Wenn n = 0 ist, ist das erlaubt? Kommt dann x1\frac{x}{1}
    raus? 😕
    Gibts für diesen Fall Regeln, Definitionen? Ich finde bei Wiki nüschts.

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  • J

    Das Produkt ist dann "leer", das heißt es gibt keine Faktoren. Standardmäßig würde man wohl 1 erwarten.

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  • Mod

    edit:

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  • ?

    ich habe im c forum zu diesem thema nen thread gesehen und mich gefragt, ob die schreibweise so in ordnung ist

    ∑k=0nxkk!=∑k=0n∏l=1kxl\sum_{k=0}^{n} \frac{x^k}{k!} = \sum_{k=0}^{n} \prod_{l=1}^k \frac{x}{l}

    ja, gut, dann gehe ich vom standardmäßigen aus -> dann ist das okay.

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  • S

    Produkt (∏\prod) über die leere menge ist 1.

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  • ?

    ScottZhang schrieb:

    Produkt (∏\prod) über die leere menge ist 1.

    das ist natürlich abgefahren 😮
    was die mathematiker sich nicht alles zurechttricksen 😃 :p

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  • J

    Das ist halt die natürlich Wahl, wenn man sowas wie
    ∏x∈Xx=∏x∈Ax⋅∏x∈X∖A∀A⊆X\prod_{x \in X} x = \prod_{x \in A} x \cdot \prod_{x \in X \setminus A} \forall A \subseteq X sagen möchte. Das gilt nämlich sonst nicht für A=∅A=\emptyset. Man müßte dann an vielen Stellen häßliche Sonderfälle mitführen.

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  • Mod

    mathe-ja schrieb:

    ScottZhang schrieb:

    Produkt (∏\prod) über die leere menge ist 1.

    das ist natürlich abgefahren 😮
    was die mathematiker sich nicht alles zurechttricksen 😃 :p

    Dir ist bekannt, dass ein unendliches Produkt nicht den Wert Null hat, wenn nur endlich viele Terme Null sind? Das finde ich viel lustiger (aber auch irgendwie sinnvoll) 🕶 .

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  • Es ist ja erstmal nur ein beudeutungsloses Symbol. Man definiert sich für dieses Symbol eine Bedeutung und kann daher auch für den Fall des leeren Produkts, das Symbol mit 1 definieren. So wird auch die leere Summe normalerweise als 0 definiert. Das macht halt einfach Sinn und ist verträglich mit anderen Rechenoperationen.

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  • S

    Wieso tricksen: X∪∅=XX \cup \emptyset = X

    Edit siehe Jester

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  • O

    SeppJ schrieb:

    Dir ist bekannt, dass ein unendliches Produkt nicht den Wert Null hat, wenn nur endlich viele Terme Null sind? Das finde ich viel lustiger (aber auch irgendwie sinnvoll) 🕶 .

    Okay, jetzt bin ich mal gespannt, warum das sinnvoll sein sollte?

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  • J

    ScottZhang schrieb:

    ∏X∪Y=∏_X⋅∏_Y\prod_{X \cup Y} = \prod\_X \cdot \prod\_Y

    Ja, da wär ich beim schreiben auch fast reingetappt. :p

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  • S

    Jester schrieb:

    ScottZhang schrieb:

    ∏X∪Y=∏_X⋅∏_Y\prod_{X \cup Y} = \prod\_X \cdot \prod\_Y

    Ja, da wär ich beim schreiben auch fast reingetappt. :p

    Ohhh mein Gott, Asche auf mein Haupt ...
    Das passiert, wenn man tippelt, nen Student reinkommt und wegen Hiwi fragt und gleichzeitig das Telefon klingelt ... 😃

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  • ?

    SeppJ schrieb:

    Dir ist bekannt, dass ein unendliches Produkt nicht den Wert Null hat, wenn nur endlich viele Terme Null sind? Das finde ich viel lustiger (aber auch irgendwie sinnvoll) 🕶 .

    nö, ist mir nicht bekannt.
    du meinst also z.b.
    0*x*x*x*x*... ≠ 0
    mit x ≠ 0
    hmmm ... wieson das 😕

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  • Mod

    otze schrieb:

    SeppJ schrieb:

    Dir ist bekannt, dass ein unendliches Produkt nicht den Wert Null hat, wenn nur endlich viele Terme Null sind? Das finde ich viel lustiger (aber auch irgendwie sinnvoll) 🕶 .

    Okay, jetzt bin ich mal gespannt, warum das sinnvoll sein sollte?

    Weil man sonst dauernd Sonderfälle aufschreiben müsste. Mit dieser Regel bekommt man viel schönere Analogien zur Konvergenz von Summen und Kriterien für Konvergenz.

    mathe-nein schrieb:

    SeppJ schrieb:

    Dir ist bekannt, dass ein unendliches Produkt nicht den Wert Null hat, wenn nur endlich viele Terme Null sind? Das finde ich viel lustiger (aber auch irgendwie sinnvoll) 🕶 .

    nö, ist mir nicht bekannt.
    du meinst also z.b.
    0*x*x*x*x*... ≠ 0
    mit x ≠ 0
    hmmm ... wieson das 😕

    Ja, so ist das. Beziehungsweise: So ist das in meinen Mathebüchern. Ich habe mal gerade recherchiert, nicht alle machen das so. Dafür steht bei denen bei jedem (mathematischen) Satz etwas wie "die nicht gegen Null konvergiert" als Einschränkung.

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  • B

    Kannst du mal so ein Buch hernehmen und die Definition 1:1 zitieren? Ich find das auch etwas unplausibel. Gerade weil man so die Analogie zur Konvergenz einer Summe verliert, dein Produkt ist dann ja nicht mehr durch den Grenzwert der Partialproduktfolge bestimmt.

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  • Mod

    Bashar schrieb:

    Kannst du mal so ein Buch hernehmen und die Definition 1:1 zitieren? Ich find das auch etwas unplausibel. Gerade weil man so die Analogie zur Konvergenz einer Summe verliert, dein Produkt ist dann ja nicht mehr durch den Grenzwert der Partialproduktfolge bestimmt.

    Wenn ich dran denke. Habe die Bücher nicht mehr hier, weil, ehrlich gesagt, braucht man diese Art Mathematik als nicht-Mathematiker nie.

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  • S

    Das ist einfach nur weil eben so sachen wie
    0⋅∞0\cdot\infty
    keine sinnvollen ausdrücke sind sind.

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  • B

    Was hat das damit zu tun? Hier gehts ja nicht um Produkte, die gegen 0 konvergieren, sondern welche, die 0 sind.

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  • S

    Dann hab ich nich verstanden was ihr meint:
    Aber wenn ein Produkt 0=p=∏i=0∞pi0 = p = \prod_{i=0}^\infty p_i ist,
    dann ist mit Sicherheit auch 0⋅p=00\cdot p = 0 😉

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