Vektoren vs. Spaltenvektoren (Matrixschreibweise)

Hallo Leute,

ich versuche das, was ich gerade über Vektoren und deren "Regeln" lerne mit dem in Einklang zu bringen, was ich vorher "natürlich" über Spaltenvektoren usw. kennengelernt habe und schon munter mit Erfolg verwende.

Also mein Verständnis ist im Moment, dass ein Vektor an sich nur eine Richtung ist und zwischen Vektoren gewisse Gesetzmäßigkeiten definiert werden, ohne genau darauf einzugehen, wie man einen Vektor nun darstellt.
Die Spaltenvektoren, die mir aus der Schule eher geläufig sind, betrachte ich jetzt eher als "zahlenbasierte" Modellierung, die das Konzept von Vektoren schlüssig mit den Grundrechenarten umsetzt. Kann man das so sehen?
Diese "praktischen und schulischen" Koordinatenvektoren sind ja auf jeden Fall immer auf eine Basis bezogen - nun habe ich auch schon über Trägheitstensoren gelesen, welche eine gewisse Größe auch basisabhängig darstellen. Sehe ich das falsch, wenn ich nach diesen Überlegungen einen Koordinatenvektor auch eher als eine Art Tensor denn als Vektor bezeichne?
Ist es für das Verständnis nicht eigentlich etwas verwirrend, die Spaltenvektoren als "Vektoren" zu bezeichnen, wenn hinterher die Abstraktion dessen auch Vektor heißt?
Irgendwie sehe ich noch etwas Arbeit auf mich zukommen, die beiden Behandlungsweisen in ein schlüssiges Gesamtkonzept zu integrieren Kann mir jemand seine Gedanken dazu mitteilen? Kann jemand ein fatales Missverständnis in meinen Ausführungen feststellen?

SeppJ

Ein Vektor ist ein Element eines Vektorraums. Punkt. Das ist die Definition. Ein Vektorraum ist eine Ansammlung von Dingen, für die das Konzept einer Addition und einer Multiplikation existiert, mit den dir von den Schulvektoren bekannten Regeln.

Parallelverschiebungen (also die Vektoren aus der Schule) sind ein mögliches Beispiel für Vektoren. Es gibt noch viele andere mehr.

Zu jedem Vektorraum kann man Basen definieren, die eine Menge linear unabhängiger aus dem Vektorraum darstellen und mit deren Hilfe man jeden Vektor aus dem Vektorraum mit Hilfe eben der notwendigen Multiplikation und Addition eindeutig(!) darstellen kann. Da jeder Vektor aus dem Vektorraum somit eindeutige Koordinaten bezüglich der Basis hat, kann man ihn daher auch in der dir bekannten Spaltenschreibweise aufschreiben - egal ob diese Spalten nun Verschiebungen in der Ebene oder Vorfaktoren für irgendwelche Funktionen (auch Funktionen (mit gewissen Beschränkungen) bilden einen Vektorraum!) sind.

insofern kannst du alles, was es über Vektoren zu wissen gibt, am Beispiel der Spaltenvektoren aus der Schule lernen, da es bloß Interpretationssache ist, was die Zeilen des Spaltenvektors eigentlich darstellen.

Ein Tensor hingegen ist ein noch allgemeineres Konzept. Alle Vektoren erfüllen auch automatisch die Eigenschaften von Tensoren, aber nicht umgekehrt.

Das hier gesagte muss an einigen Stellen noch genauer ausgeführt werden, wenn man Vektorräume mit unendlichen Basen betrachtet, aber im großen und ganzen sollte es deine Fragen beantworten.

ScottZhang

Nee, ein Vektor ist ein Element aus nem Vektorraum. Wovon du redest ist ja wie man in hinschreibt. Und das kann jeder machen wie er will. Zeilen, Spalten ist doch schnuppe.
Das wird vllt wichtig wenn man die Sachen mischt, dann soll aus der Darstellung ersichtlich werden, mit was man es zu tun hat und wie man es verwurstet. So kann Zeilen- mal Spaltenvektor heißen das man hier ein Element aus einem Vektorraum mit einem Element aus dem dualen Vektorraum verwurstet. Das nennt man auch Skalarprodukt. Beides sind aber für sich genommen Vektoren, nur eben aus unterschiedlichen Vektorräumen.

Bei Tensoren solltest du mal nen Physiker fragen, das sind nämlich Dingsis mit bestimmten Transformationseigenschaften.

Es ist schon richtig das als Vektor zu bezeichnen. Das ist ein Vektor, das ist ein Auto, das ist ein Mensch. Heisst ja nicht das es noch mehr Vertreter der Art gäbe.

Aber ein Vektorraum hat doch unendlich viele Basen, daher hat ein Vektor des Raumes keine ausgewählte Basis. Der geläufige Spaltenvektor wird doch aber für eine spezielle ausgewählte Basis ausgedrückt. Das ist doch in meinen Augen nicht das gleiche irgendwie?

Gruum

Warum sollte ein geläufiger Spaltenvektor zu einer speziellen ausgewählten Basis ausgedrückt sein?
Du kannst mit geläufigen Spaltenvektoren natürlich Vektoren aus allen möglichen endlich dimensionalen Vektorräumen ausdrücken, wenn du ihn auf eine bestimmte Basis beziehst. Das geht weil eben jeder n-dimensionale K-Vektorraum isomorph zu K^n ist. Aber K^n ist nun mal auch ein Vektorraum und die Vektoren daraus sind die geläufigen Spaltenvektoren.

Ein Vektorraum hat im allgemeinen übrigens nicht unendliche viele Basen.

Naja, was ich meine ist folgendes: Wenn ich zwei Spaltenvektoren addieren will, muss ich mir sicher sein, dass beide überhaupt erstmal gegenüber einer Basis ausgedrückt sind und dann auch noch gegenüber derselben, ansonsten kommt da nichts sinnvolles bei heraus.
Aber ich kann zwei Vektoren auf ein Blatt Papier malen und dort auch addieren, ohne eine Basis festgelegt zu haben, die Vektoren bilden bloß einen ebenen Raum, in dem das Blatt Papier liegt.

Oder nochmal anders: Wenn ich die Basis wechsele, dann verändert sich der Spalten/Reihenvektor, aber der Vektor den dieser Spalten/Reihenvektor repräsentert ändert sich nicht. Das ist doch irgendwie eine andere Qualität?

ScottZhang

Ich glaube er meint nicht die Basisvektoren einer Basis sondern wirklich die Anzahl der Basen.

Angriffsvektor, das hast du vollkommen richtig erkannt. Die Darstellung als Tupel (egal ob Zeile oder Spalte) begründet sich in der Eigenschaft der Basis und der von Gruum genannten Eigenschaft der Isomorphie zum $\mathbb{K}^n$ .

Habe ich eine Basis ${v_i}$ kann ich jedes Element $v$ eindeutig schreiben als
$v = \sum c\_i v\_i$
und es gib genau einen Satz von Skalaren ${c_i}$ , und die schreibt man sich nun auf.
Verwirrend ist das nur weil man eben die Basisvektoren üblicherweise auch so hinschreib, nämlich als v\_i = (0,\dots\underbrace{,1,}\_{i\textrm{-te Stelle}}\dots,0) was aus der Darstellung ersichtlich ist, so dass Darstellung ( $c_i$ ) und Element miteinander austauschbar sind.
Welche $v_i$ das nun aber wirklich sind, das ... das weiss nur ... äh ... niemand, und ist aber auch irrelevant wegen der Isomorphie!

Du solltest nicht in Basen denken.

Bashar

@Angriffsvektor:
Du hast nicht richtig gelesen: Spaltenvektoren sind eben nicht immer bezüglich einer Basis ausgedrückt. Man kann einfach einfach die Menge $K^n$ hernehmen, die Addition und Skalarmultiplikation komponentenweise definieren und stellt dann fest, dass das Ergebnis ein Vektorraum ist. Das ist eigentlich auch die übliche Herangehensweise.

Ich kann mich dunkel erinnern, dass wir das in der Schule damals auch irgendwie immer auf einen anderen Vektorraum mit einer Basis bezogen haben, d.h. wenn man eine Basis $v\_1, \ldots, v\_n$ von V und ein Element $x = \sum_{i=1}^n a\_i v\_i$ hat, dass man dann die Koeffizienten in einen Spaltenvektor $(a\_i)\_{i=1}^n$ packt und damit rechnet. Fand das damals nicht besonders logisch, vielleicht hab ich es auch falsch in Erinnerung. Kann man machen, und das scheint es auch zu sein, wovon du sprichst, aber das ist sicher nicht die einzige und schon gar nicht die üblichste Möglichkeit, mit Spaltenvektoren umzugehen.

Bashar

ScottZhang schrieb:

Ich glaube er meint nicht die Basisvektoren einer Basis sondern wirklich die Anzahl der Basen.

Ja klar, hat er doch geschrieben. Aber ein endlicher Vektorraum (endlicher Körper, endlich-dimensional) hat nunmal logischerweise nur endlich viele Basen.

ScottZhang

Du meinst einen Vektorraum über einen endlichen Körper dann hauts hin :). DerR^n ist auch endlich!

Bashar

DerR^n ist auch endlich!

Seh ich nicht so. Aber vielleicht ist die Terminologie bei euch Physikern anders.

Okay, das sehe ich ein, ja. Auch ohne Basis oder sonstiges kann ich mit Spaltenvektoren rechnen und bleibt bei den definierten Operationen im selben Vektorraum, also hat das schon Hand und Fuß, ja.
Ich glaube meine Verwirrung rührt im Moment von der Anwendung der Vektorrechnung auf den euklidischen Raum, bei dem man (oder ich zumindest im Moment) halt in Basen denken muss, um die repräsentierten Größen (Geschwindigkeiten, Positionen, sowas) vernünftig miteinander in Beziehung setzen zu können. Und hier unterscheiden sich dann gewöhnliche Vektoren und deren Matrixschreibweise dann gewaltig und ich friemele mir gerade eine vernünftige Schreibweise dafür heraus, sodass ich Spaltenvektoren, die als Abkürzung für Komponentschreibweise herhalten sollen (also wo ich mir explizit x1, x2, x3... denke und eine Basis brauche) von Vektoren unterscheiden kann, zu deren Repräsentation ich keine Aussage treffen will.
Ich schreibe gleich mal vernünftig auf, wie ich überhaupt auf die Frage komme, aber dazu muss ich mich erstmal in die Mathe-ML dieses Boards friemeln.

Aber dass ich das jetzt nicht falsch verstehe: Der R^3 hat schon unendlich viele Basen, es gibt bloß Vektorräume die in einer Form diskret sind, sodass sie eben nicht unendlich viele Elemente und damit unendlich viele Basen besitzen?

Ein Vektorraum V über K hat genau dann endlich viele Basen, wenn dim_K(V) = 0 oder (K endlich und dim_K(V) endlich) ist.

blubb schrieb:

Ein Vektorraum V über K hat genau dann endlich viele Basen, wenn dim_K(V) = 0 oder (K endlich und dim_K(V) endlich) ist.

*nur* endlich viele Basen

ScottZhang

Bashar schrieb:

DerR^n ist auch endlich!

Seh ich nicht so. Aber vielleicht ist die Terminologie bei euch Physikern anders.

Mit Physikern hab ich nur wenig zu tun. Es geht hier nicht um die Mächtigkeit der Menge. Schau dir nochmal die Definition an, die Dimension ist die Anzahl der Elmente in einem maximalen System linear unabhängiger Vektoren.

otze

Ich hab das Gefühl, hier werden gerade Munter Begrifflichkeiten vertauscht.

In diesem Thread kam vor mit endlich:

endlich dimensionaler Vektorraum
endliche Basis
(un)endlicher Vektorraum (!= endlich dimensional!)
(un)endlich viele Basen (!= endliche Basis)

Also: in einem endlich dimensionalen Vektorraum hat jede Basis eine endliche Anzahl von vektoren. Und ist der Vektorraum nicht endlich, dann gibt es unendlich viele Basen.

Bashar

ScottZhang schrieb:

Mit Physikern hab ich nur wenig zu tun.

Ich hatte immer vermutet, du seist Physiker.

Es geht hier nicht um die Mächtigkeit der Menge.

Doch, worum sonst? Wenn du die Dimension meinst, sagst du endlich-dimensional.

Schau dir nochmal die Definition an, die Dimension ist die Anzahl der Elmente in einem maximalen System linear unabhängiger Vektoren.

Das überlese ich mal, schlecht für den Blutdruck.

ScottZhang

Stimmt das sollte man erstmal klarstellen, sonst gibs Schwierigkeiten :).
Ein Vektorraum heißt (un-)endlich wenn er eine (un-)endliche Basis besitz. So habe ich das zumindest gesehen.
Ich werde besser das Wort "dimension" anfügen wenn ich diese auch meine.