Ungleichmäßige Beschleunigung

Hallo

a(r) = mG/r²
Die Beschleunigung ist von r abhängig. Dabei ist r der variable Abstand der Masse m zu einer anderen, gleich großen Masse. Die Masse m hat einen Abstand von r₁ zu der anderen Masse und ist in Ruhe, sie wird festgehalten. Zum Zeitpunkt t=0 wird die Masse losgelassen. Zu welchem Zeitpunkt hat sie den Abstand r₂ und wie schnell ist sie an diesem Ort?
Wie gehe ich da vor? Mein Problem ist: a ist abhängig von r, wie erreiche ich eine Abhängigkeit von t?

Mr.Fister

Das ist eine Differentialgleichung die du lösen musst. Zur Erinnerung (in diesem Fall): a = d^2r/dt2

Ich glaube das entspricht einem Spezialfall des Keplerproblems. Die Lösung ist nicht ganz trivial, aber totaler Standard und sollte in jedem Buch über klassische Mechanik zu finden sein.

Aber wenn du nur die Geschwindigkeit zu einem zweiten Zeitpunkt brauchst, würde ich einfach nur Energieerhaltung ansetzen.

Eine simple doppelte Integration würde nicht zum Ziel führen? Wie kann ich denn a(r) zu a(t) umformen, über welche Beziehung?

Mr.Fister

Über die Beziehung die du da stehen hast. Die Beschleunigung des Objektes ist offensichtlich eine Funktion der Zeit, genauso wie sein Abstand vom Mittelpunkt. Der Zusammenhang ist der Fakt dass a die zweite zeitliche Ableitung von r ist. Wenn du nicht weißt, was eine Differentialgleichung ist, bringt dir das natürlich nicht viel.

Warum ist das eine Funktion der Zeit? a(r) ist eine Funktion von r und r ist der Abstand in Meter. Was übersehe ich?

dot

zubloed schrieb:

Was übersehe ich?

Dass das Objekt sich zwangsweise bewegt, wodurch r sich mit der Zeit ändert...

Gut, das ist sogar mir klar!
Wie schreibe ich das aber als Gleichung?
Ich habe: a(r) = mG/r² wie fummele ich da ein t rein?

a(r) = mG/r² -> a(t) = mG/r²(t)
?

liest du eigentlich, was dir gesagt wird?

du sollst eine differentialgleichung aufstellen.
du hast a(r) = mG/r2 und a = d^2r/dt2. beides zusammen führt zur gleichung:
r'' = mG/r²

lolalter schrieb:

liest du eigentlich, was dir gesagt wird?

Nein. I.d.R. höre ich, wenn jemand zu mir spricht. Bist du eher der Lippenleser-Typ?
Fein, ich gehe von der Gleichung r'' = mG/r² aus:

r' = v(t) = ∫ mG/r² dt = -mG/r² $\cdot$ t + C₁
r = s(t) = ∫ -mG/r² $\cdot$ t + C₁ = -mG/r² $\cdot$ t²/2 + C₁ $\cdot$ t + C₂ =
r = s(t) = -mG/r² $\cdot$ t²/2 + v₀ $\cdot$ t + r₀

Ist das so richtig?

dot

zubloed schrieb:

Ist das so richtig?

Nope, r ist abhängig von t...

Jepp. Das ist ja mein Ursprungsproblem.
a(r) = mG/r²
a(t) = mG/r²(t)

Wie bekomme ich die Funktion für r(t) ? Durch die DGL?
a(t) = mG/r²(t) = d²r/dt²
?

dot

zubloed schrieb:

Wie bekomme ich die Funktion für r(t) ?

Indem du die Differentialgleichung löst...

a(t) = mG/r²(t) = d²r/dt²
mG/r²(t) = d²r/dt²

Kann ich das so umschreiben wie unten?

r²(t) = y(t) = y
d²r/dt² = y''(t) = y''

mG = r²(t) $\cdot$ d²r/dt²
mG = y $\cdot$ y''

Dann bräuchte ich "nur" noch zu wissen, wie man so eine spezielle DGL lösen tut ...
Gibts da irgendwo Schema-F Anleitungen? Zu genau diesem Typ von DGL?

nein. kettenregel und so:

y(t) = r²(t)
y'(t) = 2*r(t)*r'(t)

ich wollte damit nicht ausdrücken, dass dir das weiterhilft. es ist nur eine begründung warum deine substitution falsch ist.

asdyxcqwe schrieb:

ich wollte damit nicht ausdrücken, dass dir das weiterhilft. es ist nur eine begründung warum deine substitution falsch ist.

achso. schade.
mG/r²(t) = d²r/dt²

hmm...dann könnte ich vermutlich schreiben:

y = y(t) = r(t)
y² = y²(t) = r²(t)
y'' = d²r/dt²

y² $\cdot$ y'' = mG

besser? gut?

zubloed schrieb:

Gibts da irgendwo Schema-F Anleitungen? Zu genau diesem Typ von DGL?

Nö. Ist das eine Übungsaufgabe?
Eine exakte Lösung dürfte sehr schwer herzuleiten sein. Selbst Wolfram-Alpha schafft es nicht wegen Timeout in der freien Version.

Ansonsten numerisch lösen.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=y''(x)+%3D+m*G*1%2F+y²(x)

dot

Du kannst eine gewöhnliche DGL höherer Ordnung in ein System aus mehreren gewöhnlichen DGL erster Ordnung umschreiben:

\begin{equation*} a = \frac{d^2r}{dt^2} = \frac{mG}{r^2} \end{equation*}

lässt sich auch schreiben als ein System zweier gewöhnlicher DGL erster Ordnung:

\begin{align*} r' &= v \\ v' &= \frac{mG}{r^2} = a \end{align*}

qwedgert schrieb:

zubloed schrieb:

Gibts da irgendwo Schema-F Anleitungen? Zu genau diesem Typ von DGL?

Nö. Ist das eine Übungsaufgabe?
Eine exakte Lösung dürfte sehr schwer herzuleiten sein. Selbst Wolfram-Alpha schafft es nicht wegen Timeout in der freien Version.

Ansonsten numerisch lösen.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=y''(x)+%3D+m*G*1%2F+y²(x)

ups, falsch eingegeben.
hier ist die lösung
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y''(x)+%3D+m*G*1%2F(y(x))^2