Polynom 3. Grades

Ich beziehe mich hier auf die Aufgabe 1 (Problem 1) der nachfolgenden Prüfung:
http://www.i.u-tokyo.ac.jp/edu/entra/pdf/archive/16math_e.pdf

Ich habe die Teilaufgabe 1 (TA 1) schon gelöst und habe die Matrixspalten:

Spalte 1 von A: (1, 1, 0)^T
Spalte 2 von A: (1, 0, 1)^T
Spalte 3 von A: (1, 0, 0)^T

TA 2 habe ich nur zum Teil:

-λ^3 + λ^2 + λ + 1 = 0 (char. Polynom)

Mit einem Taschenrechner (TR) komme ich auf eine reelle Lösung ca. 1,8, und zwei komplexe Lösungen: -0.4 +/- 0.6i

Frage 1: Wie kommt man darauf ohne TR? Darf keine Approximation sein, sondern muss exakt sein.

Es reicht mir ein Ansatz bzw. eine Lösungsbeschreibung die zum Ziel führt.

Frage 2: Bei TA 3 muss man ja im Prinzip nur den Kern von den jeweiligen Lambdas mit (A-λI)*v=0 und v!= 0 berechnen. Bei TA 4 muss man einen Beweis machen, das zeigt, dass es nur eine reele Lösung gibt. Mir fehlt da leider ein Ansatz wie man so etwas zeigen kann. Wie lautet er hier?

Frage 2: Bei TA 5 und TA 6 würde vollständige Induktion und Grenzwertrechnung mit Epsilon helfen, denke ich.

Vielen Dank im Voraus!

Jodocus

Frage 1: Wie kommt man darauf ohne TR? Darf keine Approximation sein, sondern muss exakt sein.

In einer Klausur gar nicht. Normalerweise sind die Aufgabenstellungen so gnädig, dass das Polynom wenigstens eine rationale Nullstelle hat, also das Polynom über $\mathbb Q$ reduzibel ist. Wenn du hier die exakten Wurzeln in einem Casus irreducibilis willst, musst du die Cardanischen Formeln benutzen, die kann sich aber kein Schwein merken und herleiten kannst du sie in der Zeit auch nicht.
Ein gepflegtes "fickt euch" drunterschreiben würde ich machen.

Fytch

t0ky0lambda schrieb:

Frage 1: Wie kommt man darauf ohne TR? Darf keine Approximation sein, sondern muss exakt sein.

Brauchst du doch gar nicht. TA 2 fragt nur nach der Gleichung, nicht nach deren Lösungen.

t0ky0lambda schrieb:

Frage 2: Bei TA 3 muss man ja im Prinzip nur den Kern von den jeweiligen Lambdas mit (A-λI)*v=0 und v!= 0 berechnen.

Jo. Einfach (A-λI)v=0 algebraisch lösen ohne die konkreten Werte von λ zu kennen. Ich komme auf (λ² λ 1)^T

t0ky0lambda schrieb:

Bei TA 4 muss man einen Beweis machen, das zeigt, dass es nur eine reele Lösung gibt. Mir fehlt da leider ein Ansatz wie man so etwas zeigen kann. Wie lautet er hier?

Sei χ(λ) das charakteristische Polynom. Bestimme die Nullstellen von dχ/dλ: λ₁=-1/3, λ₂=1. Setze sie in χ ein. Da χ(λ_1,2) > 0 und da χ ungeraden Grad hat, besitzt χ nur eine reelle Nullstelle. Setze 2 ein und bemerke χ(2) < 0. Also ist per Zwischenwertsatz eine Nullstelle im Intervall (1, 2).

t0ky0lambda schrieb:

Frage 2: Bei TA 5 und TA 6 würde vollständige Induktion und Grenzwertrechnung mit Epsilon helfen, denke ich.

Eigenzerlegung.

Fytch schrieb:

t0ky0lambda schrieb:

Frage 1: Wie kommt man darauf ohne TR? Darf keine Approximation sein, sondern muss exakt sein.

Brauchst du doch gar nicht. TA 2 fragt nur nach der Gleichung, nicht nach deren Lösungen.

t0ky0lambda schrieb:

Frage 2: Bei TA 3 muss man ja im Prinzip nur den Kern von den jeweiligen Lambdas mit (A-λI)*v=0 und v!= 0 berechnen.

Jo. Einfach (A-λI)v=0 algebraisch lösen ohne die konkreten Werte von λ zu kennen. Ich komme auf (λ² λ 1)^T

t0ky0lambda schrieb:

Bei TA 4 muss man einen Beweis machen, das zeigt, dass es nur eine reele Lösung gibt. Mir fehlt da leider ein Ansatz wie man so etwas zeigen kann. Wie lautet er hier?

Sei χ(λ) das charakteristische Polynom. Bestimme die Nullstellen von dχ/dλ: λ₁=-1/3, λ₂=1. Setze sie in χ ein. Da χ(λ_1,2) > 0 und da χ ungeraden Grad hat, besitzt χ nur eine reelle Nullstelle. Setze 2 ein und bemerke χ(2) < 0. Also ist per Zwischenwertsatz eine Nullstelle im Intervall (1, 2).

t0ky0lambda schrieb:

Frage 2: Bei TA 5 und TA 6 würde vollständige Induktion und Grenzwertrechnung mit Epsilon helfen, denke ich.

Eigenzerlegung.

Wow, danke für Deinen Beitrag!!

Hab' die Aufgabe nicht richtig gelesen

Bzgl. dem Eigenvektor:

Sei x := λ

(1-x)v1 + v2 + v3 = 0

&& v1 - x*v2 = 0
&& v2 - xv3 = 0 | *(-1) auf Zeile 1 addiert

-----

(1-x)v1 + 0 + v3(1+x) = 0 <=> v3 = -(1-x)/(1+x) v1

&& v1 - x*v2 = 0 <=> v1 = xv2 = x(xv3) = x^2v3
&& v2 - xv3 = 0 <=> v2 = xv3

v3 müsste 1 werden, aber irgendwo hakt es bei mir gerade...

Fytch

Beachte: A-λI hat nie vollen Rang. Wenn du also (A-λI)v=0 löst, dann musst du einen zusätzlichen Parameter einführen, da die Lösung nicht eindeutig ist. Diesen Parameter kannst du aber umgehend auf 1 setzen (allgemein: wenn du n Parameter hast, dann setzt du n-mal jeweils n-1 davon auf 0 und einen auf 1, um eine Basis des Eigenraums zu bekommen).

v2 - xv3 = 0
ist offensichtlich nicht eindeutig lösbar. Setze v3=t=1 (freier Parameter, der sogleich auf 1 gesetzt wird, weil der Lösungsraum nur 1D ist)
v2 - x = 0 => v2 = x
v1 - xv2 = 0 => v1 = x²
=> v = [x² x 1]

PS: Die dritte Gleichung musst du nicht benutzen, denn diese ist linear abhängig von den beiden anderen, da A-λI nicht vollen Rang hat.

Fytch schrieb:

Beachte: A-λI hat nie vollen Rang. Wenn du also (A-λI)v=0 löst, dann musst du einen zusätzlichen Parameter einführen, da die Lösung nicht eindeutig ist. Diesen Parameter kannst du aber umgehend auf 1 setzen (allgemein: wenn du n Parameter hast, dann setzt du n-mal jeweils n-1 davon auf 0 und einen auf 1, um eine Basis des Eigenraums zu bekommen).

v2 - xv3 = 0
ist offensichtlich nicht eindeutig lösbar. Setze v3=t=1 (freier Parameter, der sogleich auf 1 gesetzt wird, weil der Lösungsraum nur 1D ist)
v2 - x = 0 => v2 = x
v1 - xv2 = 0 => v1 = x²
=> v = [x² x 1]

PS: Die dritte Gleichung musst du nicht benutzen, denn diese ist linear abhängig von den beiden anderen, da A-λI nicht vollen Rang hat.

Vielen Dank nochmal! Ja, denn die Determinante verschwindet ja und dann muss es linear Abhängig sein. Ich kann doch nicht einfach hergehen und v3 nullsetzen, da ich keine Nullzeile bekommen habe beim Gaußen... ich weiß, aber das es 'ne Nullzeile geben muss. Dummerweiße komme ich immer wieder auf den Nullvektor, was lt. Definition und Determinantenergebnis nicht sein darf... hab es schon mehrmals probiert und hab nie ne Nullzeile bekommen beim Gaußen.

$\begin{pmatrix} 1-\lambda & 1 & 1 & 0\\ 1 & -\lambda & 0 & 0\\ 0 & 1 & -\lambda & 0 \end{pmatrix}$

(-1) mal dritte Zeile plus erste Zeile:

$\begin{pmatrix} 1-\lambda & 0 & 1 + \lambda & 0\\ 1 & -\lambda & 0 & 0\\ 0 & 1 & -\lambda & 0 \end{pmatrix}$

(-(1-λ)) mal zweite Zeile plus erste Zeile:

$\begin{pmatrix} 0 & \lambda \cdot (1-\lambda) & 1 + \lambda & 0\\ 1 & -\lambda & 0 & 0\\ 0 & 1 & -\lambda & 0 \end{pmatrix}$

-(λ(1-λ)) mal dritte Zeile plus erste Zeile:

$\begin{pmatrix} 0 & 0 & (1 + \lambda) + \lambda^{2} \cdot (1-\lambda) & 0\\ 1 & -\lambda & 0 & 0\\ 0 & 1 & -\lambda & 0 \end{pmatrix}$

Schlussendlich komme ich dann auf:

$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Was ja eigentlich wg. der Definition des Eigenvektors nicht sein darf, denn der Kern enthält den Nullvektor und damit wird der Eigenvektor zum Nullvektor (=Alarmstufe Rot).

Fytch

Wie kommst du von der zweitletzten Matrix zur letzten? Du kannst nicht einfach λ=0 setzen; du kennst die Werte von λ ja nicht einmal. λ muss drin bleiben und die Basis des Kerns ist einfach abhängig von λ.

Vor allem: Was hast du an meiner Lösung nicht verstanden? Ich habe den Gauß-Algorithmus nicht einmal benutzt und bin dennoch zur Lösung gekommen.

Fytch schrieb:

v2 - xv3 = 0
ist offensichtlich nicht eindeutig lösbar. Setze v3=t=1 (freier Parameter, der sogleich auf 1 gesetzt wird, weil der Lösungsraum nur 1D ist)
v2 - x = 0 => v2 = x
v1 - xv2 = 0 => v1 = x²
=> v = [x² x 1]

Den Term der 1. Zeile der zweitletzten Matrix auf beiden Seiten teilen.
Dann kommt 1 raus und ich kann die unteren killen usw. Man darf ja eime Zeile mit etwas Ungleich 0 multiplizieren. Es aendert sich der Lösungsraum nicht.

Hmm... stimmt ich kenne λ nicht und es könnte 0 sein also darf ich es nicht auf beiden Seiten durchteilen.

Deine Lösung ist zwar gut, aber ich möchte wissen wie ich mit dem Gaußverfahren dahin komme.

$\begin{pmatrix} 0 & 0 & (1 + \lambda) + \lambda^{2} \cdot (1-\lambda) & 0\\ 1 & -\lambda & 0 & 0\\ 0 & 1 & -\lambda & 0 \end{pmatrix}$

Wie geht es hier also weiter? Nur ein Tipp bitte! Ich würde es so machen, dass ich die 3 Zeile und 3 Spalte so umforme, dass ich den Term in der 1 Zeile und die 3. Spalte bekomme, anschließend mal minus 1. Dann würde ich die 1. Zeile mit der 3. addieren. Aber es kommt was hässliches raus...

Ne, dann kommt was mit Term/λ raus und λ könnte 0 sein, was dann undefiniert ist... verdammt!

Das ist ein Polynom 3. Grades in der ersten Zeile. Man muss also doch mit der Formel für kubische Gleichungen weitrmachen. Gut dann nehme ich halt den Ansatz von Fytch.

Fytch

λ kann nicht 0 sein, weil deine Matrix regulär ist. Wenn 0 ein Eigenwert wäre, hieße das, dass Nicht-0-Vektoren auf 0 abgebildet werden, was wiederum heißt, dass der Kern eine positive Dimension hat, was heißt, dass deine Matrix singulär ist. Aber du hast schon gezeigt, dass sie vollen Rang hat.

Dein Fehler bei der Bestimmung eines Basisvektors des Kerns ist, dass 1+λ+λ²(1-λ) (der Term oben rechts in deiner vorletzen Matrix) genau das charakteristische Polynom und somit 0 ist. Aber das ist nicht weiter schlimm; du musst lediglich einen Basisvektor des Kerns dieser Matrix bestimmen:

$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & -\lambda & 0 \\ 0 & 1 & -\lambda \end{pmatrix}$

Wie das geht habe ich schon vor einigen Tagen und Posts gezeigt, aber du hast es ignoriert.

PS: Wenn dir schon das Lösen von unterbestimmten Systemen und das Einführen von Parametern Probleme bereitet, dann würde ich an deiner Stelle erst ein gutes Lineare-Algebra-Buch konsultieren und die Grundlagen wiederholen.

Fytch schrieb:

λ kann nicht 0 sein, weil deine Matrix regulär ist. Wenn 0 ein Eigenwert wäre, hieße das, dass Nicht-0-Vektoren auf 0 abgebildet werden, was wiederum heißt, dass der Kern eine positive Dimension hat, was heißt, dass deine Matrix singulär ist. Aber du hast schon gezeigt, dass sie vollen Rang hat.

Dein Fehler bei der Bestimmung eines Basisvektors des Kerns ist, dass 1+λ+λ²(1-λ) (der Term oben rechts in deiner vorletzen Matrix) genau das charakteristische Polynom und somit 0 ist. Aber das ist nicht weiter schlimm; du musst lediglich einen Basisvektor des Kerns dieser Matrix bestimmen:

$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & -\lambda & 0 \\ 0 & 1 & -\lambda \end{pmatrix}$

Wie das geht habe ich schon vor einigen Tagen und Posts gezeigt, aber du hast es ignoriert.

PS: Wenn dir schon das Lösen von unterbestimmten Systemen und das Einführen von Parametern Probleme bereitet, dann würde ich an deiner Stelle erst ein gutes Lineare-Algebra-Buch konsultieren und die Grundlagen wiederholen.

Wow!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Ja genau das in der 1. Zeile ist das charakteristische Polynom und das muss Null sein. Der Rest der Rechnung ist ja dann einfach und ich komme auf die selbe Lösung wie Du. Man ich muss mehr aufpassen....

Ich habe schon ein gutes Buch in Lineare Algebra, aber da werden eher mehr Beweise und Konzepte erklärt als Rechnungen wie diese. Ich verstehe mehr oder weniger die grundlegenden Konzepte der LA. Ich habe die Leibniz-Formel, die Laplaceentwicklung und die Matrix-Eintrags-Summenformel (für die Matrixmultiplikation) hergeleitet, weil ich verstehen wollte wie man aus einer Definition/eine Liste an Forderungen (wie bei Determinanten/Kreuzprodukten/Skalarprodukten/normierte Räume/Basiswechsel) auf diese Formeln kommt bzw. warum die Definitionen Sinn machen (Ich bezeichne die Determinantenfunktion als "Detektorfunktion für lineare abhängigkeit", denn ich kann kein "Volumen" bilden, wenn ein Spaltenvektor l.a. ist.
Aber ich muss mein Rechnen verbessern. Vor allem bei so schwierigen Sachen wie dieses hier. Ich habe halt wenig Erfahrung damit und muss mehr üben.

Ja hab halt nicht gesehen, dass die erste Zeile das char. Polynom ist...

Bei LGS mit Parametern muss ich aufpassen, da ich die Paramterwerte nicht kenne.

https://www.youtube.com/watch?v=2O5iGLf8bmg

Also ich benutze dieses Buch hier: https://www.amazon.de/Lineare-Algebra-Einführung-Ingenieure-Naturwissenschaftler/dp/3519003708/ref=sr_1_20

Beutelspacher gefällt mir nicht und Fischer auch nicht und Linear Algebra Done Right auch nicht. Anscheinend soll das auch gut sein, habe es allerdings nicht ganz gelesen:

https://www.math.brown.edu/~treil/papers/LADW/LADW_2017-09-04.pdf

Kannst Du mir ein LA-Buch mit ganz vielen knackigen Rechnungen und deren Lösungswege empfehlen?
Ich glaube nicht, dass so etwas in Schaum's Outline of Linear Algebra drin ist...

Okay, ich bin jetzt bei TA 5. Ich würde gerne den Thread in "Problem 1, Math Entrance Exam 2016, Tokyo University" unbenennen.

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

$V = \begin{pmatrix} {\lambda_{1}}^2 & {\lambda_{2}}^2 & {\lambda_{3}}^2 \\ {\lambda_{1}} & {\lambda_{2}} & {\lambda_{3}} \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

Λ = $V^{-1} \cdot A \cdot V$

Okay, um dieses fette Lambda zu bekommen, brauche ich die Inverse von V. Ich würde das einfach mit dem Gaußverfahren machen:

$\begin{pmatrix} {\lambda_{1}}^2 & {\lambda_{2}}^2 & {\lambda_{3}}^2 & 1 & 0 & 0 \\ {\lambda_{1}} & {\lambda_{2}} & {\lambda_{3}} & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Ich muss gucken, dass links die Einheitsmatrix steht und Rechts die Diagonalmatrix, aber das wird hässlich werden... Gibt es 'ne bessere Lösung?

https://i.imgur.com/zJdrlVY.png

Das sieht nun wirklich nicht schön aus... Gibt es einen Trick? Habe ich hier etwas wieder vernachlässigt? Das kann doch nicht sein, dass ich so etwas in der Prüfung machen muss ohne Taschenrechner.

*rechts ist die invertierte Matrix (nicht die Diagonale)

TA5: Wenn ich die Matrix nach dem diagonalisieren habe, dann kann ich doch diese Matrix zu n potenzieren und dann kann ich es mit einem Vektor mit den komplexen Konstanten multiplizieren, sodass ich dann etwas bekomme, dass 'ne Tribonacci-Zahl ist. Da würde dann vllt. doch vollständige Induktion helfen...