Kleines Problem im Komplexen

[Schlangenmensch]

@biter Das gilt, wenn x eine ganze Zahl ist.

[biter]

$\sqrt(25+0i) = \sqrt(12.5+0i) \cdot \sqrt(2+0i)$ hier $x = \frac{1}{2}$
Rationale Zahlen auch ? Beim Komplexen gibt es wie john 0 schon sagte, andere Rechenregeln.

[Schlangenmensch]

@biter Die Frage war, für welche Vorraussetzung das im Komplexen gilt

$a,b\in \mathbb{C} \land n\in \mathbb{Z}: a^n b^n = (ab)^n$

Was soll eine Rationale Zahl sein? Der Exponent? Dann nein, sonst kommen wir zu dem Widerspruch von dir aus dem ersten Post

[biter]

Ja der Exponent. $\sqrt{(12.5+0i) \cdot (2+0i}) = \sqrt{12.5+0i} \cdot \sqrt{2+0i}$ gilt. aber
$\sqrt{-1 \cdot -1} = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1}$ nicht. Also was für Vorraussetzungen ?

[Schlangenmensch]

@biter Da die reellen Zahlen eine Teilmenge der Komplexen Zahlen sind, findest du Elemente aus den komplexem Zahlen für die die Rechenregeln der reellen Zahlen gelten. Aber, mathematische Regeln müssen allgemeingültig sein.

Ansonsten würde ich dir empfehlen "Potenzgesetze" zu Googeln, dann kommt man für reelle Basen ganz schnell hier hin: https://de.wikipedia.org/wiki/Potenz_(Mathematik)#Potenzgesetze

[biter]

Für relle Zahlen a, b > 0 gilt $(a \cdot b)^x = a^x \cdot b^x$. Ich möchte wissen. unter welchen Voraussetzungen es für Zahlen im Komplexen gilt. zB: wenn die komplexen Zahlen rell sind klar, aber wenn sie beliebig komplex sind, was für Voraussetzungen ? zB wie Du gesagt hast, wenn der Exponent eine ganze Zahl ist. Habe im Internet schon gesucht. Jetzt habe ich versäumt, zu sagen, dass ich eine Formel im Sinne von "genau dann wenn" suche. Sorry !!

[Schlangenmensch]

@biter Wenn die Basis aus den Komplexen Zahlen ist, dann ist die Vorraussetzung das der Exponent eine ganze Zahl ist. Das hatten wir doch schon

[biter]

Ja Ok, bin ein wenig durcheinander, frage mich, ob ich überhaupt forum-tauglich bin. Habe mich auch noch gar nicht intensiv mit komplexen Zahlen beschäftigt, nur ein kleiner Abstecher.

[Martin Richter]

$(a \cdot b)^x = a^x \cdot b^x$.
Gilt auch im komplexen Raum.
a und b seien komplex. x sei aus N0.

Vollständige Induktion
n:0
$(a \cdot b)^0 = a^0 \cdot b^0 = 1 \cdot 1 = 1$.

n:1
$(a \cdot b)^1 = a^1 \cdot b^1 = a \cdot b$

Schritt n auf n+1
$(a \cdot b)^{(n+1)} = (a \cdot b)^n \cdot (a \cdot b) = a^n \cdot b^n \cdot a \cdot b = a^{n+1} \cdot b^{n+1}$.

[Finnegan]

@Martin-Richter sagte in Kleines Problem im Komplexen:

Schritt n auf n+1
$(a \cdot b)^{(n+1)} = (a \cdot b)^n \cdot (a \cdot b) = a^n \cdot b^n \cdot a \cdot b = a^{n+1} \cdot b^{n+1}$.

Kleine Ergänzug, die mir gerade aufgefallen ist: Das entscheidende ist hier meines erachtens, dass man mit $a^n \cdot b^n \cdot a \cdot b = a^n \cdot a \cdot b^n \cdot b = a^{n+1} \cdot b^{n+1}$ die Reihenfolge der Multiplikation vertauschen kann. Daher würde ich die Aussage sogar so erweitern, dass die Regel nicht nur für $(\mathbb{C}, \cdot)$, sondern für alle kommutativen Gruppen gilt.

Auch wenn man diese Regel z.B. für die Addition etwas anders schreibt: $\sum_{i=1} ^{n} (a + b) = \sum_{i=1} ^{n} a + \sum_{i=1} ^{n} b$, so lässt sie sich dennoch analog beweisen - oder den Beweis gleich etwas allgemeiner über eine beliebige kommutative Gruppe formulieren.

Das sollte die Frage "unter welchen Voraussetzungen es gilt" eigentlich recht präzise beantworten - zumindest für nicht-negative, ganzzahlige Potenzen, bzw. hintereinander ausgeführte Operationen .