Was ist das?

Mis2com

http://de.wikipedia.org/math/da96f577a8c63bfb318770d4d93174a3.png
Was ist das für ein langes Teil mitten in der Gleichung hier?

Griffin

Das ist ein Integral. (stilisiertes Summenzeichen)
dahinter steht die integrandenfunktion und dahinter die integrationsvarialbe. vor dieser steht das 'd'
a stellt die untere integrationsgrenze dar und x die obere.

lustig

Das Integral wird dazuverwendet Flächen unter Kurven zu berechnen. Stilisiertes Summenzeichen kommt daher, dass die Fläche zur Berechnung in unendlich viele Rechtecke unterteilt wird, welche dann alle zusammengezählt werden. Dieser Integralhaken kann durch:
lim_{n[e]rarr[/e][e]infin[/e]}(Σ_i=1ⁿ f(x_i)*Δx)
ersetzt werden. Dabei ist wird die Fläche unter der Kurve in n Rechtecke der Breite Δx unterteilt, welche zusammengezählt werden. Je mehr Rechtecke man macht, desto genauer wird das ganze, deshalb lässt man n gegen unendlich gehen. Δx geht dadurch natürlich zu null.
Um das einfacher zu schreiben wird nun der Grenzwert der Summe durch das Integralzeichen ersetzt, das Δx durch dx, und f(x_i) durch f(x).
Integral ist das Gegenteil/die Umkehrung von Differential.
Das war ein Versuch das ganze etwas zu erklären, aber ohne ein Bild ist das schwierig. Das ist natürlich auch keine Vollständige erklärung, aber ich hoffe, dass ich dir wenigstens ein bisschen weitergeholfen habe.

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Zu dem Thema hätte ich grade mal ein Frage:

Kennt jemand eine Seite wo das Integrieren bzw. Aufleiten mal richtig erklärt wird? Ich meine nicht nur Polynome, sondern so richtig krasse Sachen mit Wurzeln im Zähler und Nenner

Vielleicht wäre auch eine Erklärung zur Substitutionsformel schon ausreichend um weiterzukommen, bei der steig ich nach wie vor nicht durch...

lustig

Also für "richtig krasse Sachen" brauchst du Integrationsmethoden. Beim Ableiten gibt es für alles eine Regel, und man muss einfach die richtige auswählen. Wenn man nun die Kettenregeln aber umkehren will, ist das nicht mehr ganz so einfach. Wie du schon gesagt hast ist eine Möglichkeit die Substitution. Bei ihr wird versucht, die Integrationsvariable durch einen anderen Ausdruck zu ersetzten, der das Integral vereinfacht.
Ein Beispiel:
∫dx/(x+√x) ist wegen dem √x ungünstig. Wenn man nun x=u² ersetzt, wäre das besser:
∫dx/(u²+u), aber man muss nun nach u und nicht nach x integrieren, also muss das dx ersetzt werden durch du. Nun eine Eselsbrücke wie man das ersetzten muss:
x=u²
dx/du=2u
dx=2udu
Ich glaube nicht dass es mathematisch korrekt ist, den Differenzenquotient auseinander zu nehmen, aber es funktioniert. Dann haben wir:
2∫du/(u+1)=2*ln|u+1| nun zurückersetzten:
=ln(√x+1)²
Hoffentlich habe ich jetzt keinen Fehler gemacht, aber es sollte eigendlich stimmen. Einen Link, unter dem das erklärt wird kenne ich nicht. Aber zu sehen wie man eine Funktion integrieren kann, braucht viel Übung. Es geht nicht so einfach und mechanisch wie ableiten. Deshalb heisst es ja auch: "Differenzieren ist Arbeit, Integrieren ist Kunst!"

Bashar

Maple und Konsorten können das aber ziemlich gut. Vielleicht sind Computer ja doch künstlerisch begabt, wer hätte das gedacht

lustig

Tja, ich wüsste wirklich gerne wie die das machen. Aber kürzlich war hier ein Thread wie Computer integrieren können, aber es gab keine brauchbare Antwort.

Walli

Maple kann nicht mehr als ein guter Mathematiker wenn es analytisch rechnet. Es kann aber auch wie andere Programme (MATLAB und co.) numerische Berechnungen durchführen. Dabei ist die Genaugkeit vom Benutzer bestimmbar. Der Vorteil bei numerischen Berechnungen ist, dass man selbst Integrale berechnen kann die analytisch unmöglich/schwer lösbar sind.

Walli

lustig schrieb:

Deshalb heisst es ja auch: "Differenzieren ist Arbeit, Integrieren ist Kunst!"

Es heißt aber afaik "Differenzieren ist Handwerk, Integrieren ist Kunst!"

Christoph

Nur aus Interesse: Welche Integrale sind denn z.B. schwer/unmöglich analytisch lösbar?

Bashar

$\int e^{-x^2}dx$
beispielsweise

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Danke @ lustig, das hat mir jetzt wirklich geholfen. In meinem 30? Mathebuch stehen zwar Formeln und Beispiele, aber kein einziger Satz der das mal erklären würde.

Eine Sache hab ich aber noch nicht ganz durchschaut: Die Rücksubstitution 2 ln( u+1) => ln( √x+1 )²

Da u = x² ist wäre für mich ln( x²+1 ) irgendwie logischer. Wie geht das genau?

lustig

@MaSTaH stimmt, tönt viel besser

Es heisst x=u², d.h. u=√x
2*ln(u+1)=2*ln(√x+1)
Ich habe bloss das 2 noch in den ln reingenommen: 2*ln(√x+1)=ln(√x+1)² man kann es aber genausogut so lassen.

Christoph

Bashar schrieb:

$\int e^{-x^2}dx$
beispielsweise

Maple sagt zur Stammfunktion von $e^{-x^2}$ :
$\frac{1}{2}\sqrt{\pi}\cdot\mathrm{erf}(x)$
Nur was ist erf(x)?
Lt. der Hilfe ist das die "Error Function", die so definiert ist:

2/sqrt(Pi) * int(exp(-t^2), t=0..x)

Irgendwie steckt da wieder unser $e^{-x^2}$ mit drin.

Ist das nur eine unglückliche Umschreibung für "nicht analytisch integrierbar"?

Jester

Jau, ich denke genau sowas soll das sein.

Taurin

MaSTaH schrieb:

lustig schrieb:

Deshalb heisst es ja auch: "Differenzieren ist Arbeit, Integrieren ist Kunst!"

Es heißt aber afaik "Differenzieren ist Handwerk, Integrieren ist Kunst!"

Ein Dozent von mir dazu: Bevor du ein Integral löst, überlege dir dreimal,
ob du das überhaupt tun musst.

Winn

cd9000 schrieb:

Bashar schrieb:

$\int e^{-x^2}dx$
beispielsweise

Maple sagt zur Stammfunktion von $e^{-x^2}$ :
$\frac{1}{2}\sqrt{\pi}\cdot\mathrm{erf}(x)$
Nur was ist erf(x)?
Lt. der Hilfe ist das die "Error Function", die so definiert ist:
2/sqrt(Pi) * int(exp(-t^2), t=0..x)
Irgendwie steckt da wieder unser $e^{-x^2}$ mit drin.

Ist das nur eine unglückliche Umschreibung für "nicht analytisch integrierbar"?

Stimmt so nicht... denn die Ableitung oder Integration einer E-Funktion beeinhaltet immer ein E-Funktion, daß zeichnet quasi diesen Typ von Funktion aus. Die Error Function ist (ums kurz zu umschreiben) ein fester Bestandteil in der Mobiltechnik, mit Ihr läßt sich mathematisch beweisen, wie man einen technischen Schwellwert zu setzen hat, um eine 1 als 1 zu erkennen oder eine 0 als 0 zu erkennen... würde man einen falschen Schwellwert setzen, hätte man eine dermaßen schlechte Fehlerkorrektur, daß man sich z.B. bei schlechtem Wetter nicht mehr unterhalten kann, die Worte würde verstümmelt sein.

Bashar

Winn schrieb:

Stimmt so nicht... denn die Ableitung oder Integration einer E-Funktion beeinhaltet immer ein E-Funktion, daß zeichnet quasi diesen Typ von Funktion aus.

Was stimmt nicht?

WebFritzi

Dass das nur eine unglückliche Umschreibung für "nicht analytisch integrierbar" ist.

Bashar

Vielleicht könnte uns unwissende ja mal jemand aufklären ... Dass die Error Function eine e-Funktion sein soll, akzeptiere ich jedenfalls nicht ohne weiteres.

Winn

WebFritzi schrieb:

Dass das nur eine unglückliche Umschreibung für "nicht analytisch integrierbar" ist.

Jipp, WebFritzi hatte mich richtig verstanden, es ist unglücklich ausgedrückt... @Bashar: Integration von Funktionen können bestimmt oder unbestimmt gemacht werden, die unbestimmte Variante ist in der Regel die "Analytische", während die Bestimmte eine Funktion von z.B. 3 bis 7 integriert. Bei der Error Function handelt es sich um einen analytischen "Ausdruck", einen Weg den die Mathematiker immer gehen wenn sie etwas nicht genau beschreiben können bzw. schreibfaul sind. Wenn Du die Error Function also nutzt, benutzt Du den analytischen Ausdruck. Berechnung des bestimmten Integrals erfolgt mit einem Tabellenwerk. Insofern ist sie analytisch unbestimmt integrierbar, aber nicht analytisch bestimmt integrierbar. Ein weiteres Beispiel wäre die Gaussfunktion (Wahrscheinlichkeitsrechnung), die auch ein Quadrat im Exponentes der E-Funktion hat, dort schlägst Du auch im Tabellenwerk nach, aber den Ausdruck der unbestimmten Integration läßt sich ebenfalls hinschreiben.

Ich hoffe, ich konnte den Unterschied rausschälen. By the way... integriere mal 50mal e^x oder leite es ab, es kommt "immer" e^x raus. Es gibt keine Funktion die diese Eigenschaft noch besitzt.

Winn