4. Integral lösen

Integral lösen

  • G

    Ich sitz heir gerad und rechne einige Abiturprüfungen durch. Da kam mir eine Aufgabe vor die Augen, bei der man den Flächeninhalt einer Segmentfläche berechnen muss. Aber irgendwie komme ich bei der partiellen Integratoin nicht weiter und stecke da fest 😞
    Gegeben sind erstmal folgende Dinge:
    s(x)=1es(x)=\frac{1}{e}
    g(x)=1exg(x)=\frac{1}{e^x}
    f0.5(x)=(1+x)∗e−xf_0.5(x)=(1+x)*e^{-x}
    r=xr=x
    sundghabendenPunktR(r(g(r))gemeinsam.s und g haben den Punkt R(r(g(r)) gemeinsam.

    Naja ich hab 'n Integral über f(x)-g(x) von 0 bis r aufgestellt. Ist das richtig? Und dann noch die partielle Integration. Da hänge ich irgendwie. Wäre super wenn mir da jemand helfen könnte. 🙂

    BTW: WebFritzi heute abend ne Runde im Chat quatschen?

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  • W

    Statt zu antworten, muss ich dir aufgrund der Unverständlichkeit der Aufgabe ein paar Fragen stellen:

    1. Ist s(x) wirklich konstant?
    2. r = x??? Wozu?
    3. Was ist R?
    4. Was soll r(g(r)) sein?

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  • G

    s ist eine Gerade mit s(x)=1/e
    x=r sollte das heissen und is ebenfalls ne gerade
    R(r,g(r)) ist der Schnittpunkt von s(x) und g(x)

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  • W

    Also erstmal muss man ja wohl folgern, dass r = 1 ist.

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  • G

    [quote="WebFritzi]Also erstmal muss man ja wohl folgern, dass r = 1 ist.[/quote]
    Das erschien mir so offensichtlich, um es nicht erwähnen zu müssen. 😃

    Naja hab jetzt mal eine Stammfunktion gebildet.
    F(x)=−2e−x−xe−x+1exF(x)=-2e^{-x}-xe^{-x}+\frac{1}{e^x}

    Aber bin mir nicht sicher, ob die korrekt ist. Und ja, sicher kann (und sollte?) man vielleicht noch ausklammern.

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  • W

    Erstmal formulierst du bitte (nochmal) die Aufgabe. Das hast du bisher nämlich noch nicht getan.

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  • G

    Aufg.:Die Gerade s mit s(x)=1/e hat mit dem Graphen der Funktion g mit g(x)=1/e^x den gemeinsamen Punkt R(r;g(r)). G_0.5, der Graph von g und die Gerade x=r begrenzen eine Fläche vollständig. Berechnen Sie den Zahlenwert des Flächeninhalts der Fläche. Fertigen Sie eine Skizze an.

    Skizze fertig!
    G_0.5 ist der Grapf von f_0.5 und das ist f(x)=(1+x)*e^(-x)

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  • W

    Griffin schrieb:

    G_0.5, der Graph von g und die Gerade x=r begrenzen eine Fläche vollständig.

    Super, und was ist G_0.5??? Ist dir klar, dass r == 1 sein muss?

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  • G

    hmm entweder hab ich komplett den durchblick verloren oder ich drücke mich so schlecht aus, dass du den überblick verlierst *g*
    Also G12G_\frac{1}{2} ist der Graph der Funktionsschar faf_a für a=0.5

    Und f_a ist wiefolgt definiert
    fa(x)=(1+2ax)∗e−2axf_a(x)=(1+2ax)*e^{-2ax}

    Irgednwie weiss ich nicht, was du mir r==1 in dem zusammenhang willst. x=r ist doch ne einfache Gerade und hat mit f(x) nichts zu tun

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  • W

    Griffin schrieb:

    oder ich drücke mich so schlecht aus, dass du den überblick verlierst

    Wie kann man etwas verlieren, wenn man es nie hatte? 😉

    Griffin schrieb:

    Naja ich hab 'n Integral über f(x)-g(x) von 0 bis r aufgestellt. Ist das richtig? Und dann noch die partielle Integration. Da hänge ich irgendwie. Wäre super wenn mir da jemand helfen könnte. 🙂

    Also, der Integrand ist schonmal richtig. Aber das Integral von 0 bis r ist sicherlich nicht gefragt. Sonst hätte da gestanden, dass die y-Achse auch noch die Fläche begrenzt. Stand aba nich da! Ich denke, es ist das Integral über f(x)-g(x) von r = 1 bis ∞\infty gemeint. Es ist f(x)-g(x) = xe^(-x). Das zu berechnende Integral ist von uneigentlicher Art. Daher berechnet man erstmal

    ∫1axe−xdx\int_1^a xe^{-x} dx

    und lässt dann a gegen ∞\infty laufen. Ach ja, dein Ansatz mit partieller Integration ist auch richtig. Ist aber schon recht einfach...

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  • G

    Ja sicher ist das noch einfach. Denkblockade *g* Hab ich ja öfter mal, wie du sicher noch weisst 😃

    Und ein uneigentliches Integral ist es nicht. Nach der Skizze die wir zusammen mit dem Lehrer gemacht haben, stimmen meine Integrationsgrenzen. Und Grenzwertübergang beim uneigentlichen Integral ist auch nicht das Thema 😉

    Wenn du mal lange Weile hast WebFritzi, dann kannste du mir gerne mal den Weg zeigen, wie du zu folgender Funktion die Stammfunktion berechnen würdest:

    f:=x->ln(x)²+2*ln(x)+3/4 *g*

    Habs mit der Additivität des Integrals gemacht und dann jedes Integral für sich integriert. Aber ginge auch mit Substitution für ln(x) nehm ich an

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  • Z

    Es gilt:
    ln(x)2=2lnx\ln{(x)}^2 = 2 \ln{x}

    neues Integral:
    ∫4lnx+34dx\int 4 \ln{x} + \frac{3}{4}\, dx

    Integral davon:

    F(x)=4xlnx−4x+34x+C=4xlnx−314x+CF(x) = 4x \ln{x} - 4x + \frac{3}{4}x + C \quad = 4x \ln{x} - 3\frac{1}{4}x + C

    So würde ich das mal sagen.

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  • G

    lana, ln(x)² ist wohl ln(x)*ln(x) und damit kannste dann partiell integrieren. das mit dem 4ln(x) klappt nich so ganz *g*

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  • W

    Na klar lässt sich ln(x)*ln(x) wunderbar mit partieller Integration lösen, wenn du eine Stammfunktion von ln(x) weißt. Zum Beispiel x * (ln(x) - 1) 😉 .

    P.S.: Entweder dein Lehrer hat keine Ahnung, die Aufgabe war nicht korrekt gestellt, du hast die Aufgabe hier nicht vollständig angegeben (worauf ich am meisten tippe ;)) oder du hast im Unterricht nicht ordentlich aufgepasst. Ich sag's nochmal: Wenn noch mit angegeben gewesen wäre, dass die y-Achse (x=0) die Fläche mit eingrenzen soll, dann wäre der Weg, von 0 bis 1 zu integrieren richtig. Aber das war nicht angegeben. Deshalb muss man eben von 1 bis Unendlich integrieren. Heraus kommt übrigens 2/e, wenn ich mich noch recht entsinne.

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  • G

    dann muss mein lehrer keine ahnung haben! wenn du willst scanne ich extra für dich die ganze abi klausur und schicke sie dir mal 😃

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  • Z

    @griffin
    Naja, sah aber gut aus. 😃

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  • W

    Ja, das will ich. Hey, das ist doch dieser blöde Lehrer, von dem du mir im Chat erzählt hast, oder? Wenn er tatsächlich Mist gebaut hat, dann haben wir endlich was gegen ihn! *händereib*

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  • G

    *lol* jo genau das is der :p daran hab ich nun garnicht mehr gedacht :p
    naja ich schick dir im laufe des tages mal ne mail

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  • W

    Hab sie noch nicht!

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  • G

    also ich hab sie vor sagen wir mal 5. min geschickt *g*
    kommt als pdf file

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