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poli nom schrieb:
Ist x² + y² - z² in |C[x,y,z] irreduzibel? Es reicht ja eigentlich, dass x² + y² - r für alle r != 0 irreduzibel ist, aber warum?
Warum das genau reicht sehe´ich jetzt auch gerade nicht, aber es liegt nahe, daß eine Zerlegung von x2+y2-z^2 auch eine des anderen (einfacheren) Polynoms induziert:
Ist f*g = x2+y2-z^2, dann ist f(x,y,sqrt(r))*g(x,y,sqrt(r)) eine Zerlegung von x2+y2-r. Damit ist aber eine der beiden konstant (x2+y2-r war ja irreduzibel), also oE f(x,y,sqrt(r)) konstant. Wenn das aber für jedes r der Fall ist, dann heißt das ja, egal was wir für z einsetzen. Das Polynom ist dann konstant. Damit kann es garnicht mehr von x,y abhängen, sondern höchstens noch von z. Es ist also von der Form a*z+b. Das läßt sich dann aber auch leicht zum Widerspruch führen.