Integration durch Substitution

Habe eine Verständnisfrage zum Thema Substitution. Z.B. steht in der Wikipedia bei der Berechnung des Integrals durch Substituion folgende Formel:
\int_{\phi(a)}^{\phi(b)} f(x)\,\mathrm{d}x = \int_{a}^{b} f(\phi(t)) \cdot \underbrace {\phi'(t)}\,\mathrm{d}t
Heißt dies nun, dass ich unbedingt einen Faktor brauche, der die Ableitung von $\phi(t)$ ist? Was ist, wenn ich diesen Faktor nicht habe und auch nicht durch Umformung erreichen kann?
Weiterhin beschäftigt mich, warum ich die Integrationsgrenzen austauschen muss. Steht zwar alles in Wikipedia und auch in Mathebüchern, blicke da aber zur Zeit nicht durch.

wenn du den faktor nicht herleiten kannst, dann war deine substitution noch nicht hinreichend genug. vielleicht noch ne substitution einführen?

die idee hinter der substitutionsregel ist, dass du eine funktion, die du nicht integrieren kannst, mit einer funktion verkettest, die integrierbar (und differenzierbar) ist. der faktor und die veränderung des intervals sind nötig, um gleichheit zu gewährleisten.

wenn du nun den ersten integrationsschritt deiner neuen formel durchgeführt hast, lässt sich die substitution rückgängig machen und das integral lässt sich (hoffentlich) berechnen.

Das mit der Substitution hab ich auch noch nicht ganz verstanden. Nehmen wir eine Funktion $2x*(x^4+3x)^2$
Muss ich jetzt den Inhalt der Klammer so substituieren, dass ich als deren Ableitung 2x erhalte? In diesem Falle würde ich die Klammer - also x^4 + 3x - substituieren. Bin mir nicht sicher, ob dieser Ansatz richtig ist. Besonders mathematische Fachschrift drückt sich bei diesen Sachverhalten meist etwas komplizierter aus

Taurin

Eine Möglichkeit, wenn man nicht die passende Ableitung da stehen hat, ist, sich das ganze "zurecht zu schummeln". Kennst du die Notation $f'(x) = \frac{df}{dx}$ ?

(ich nehme mal ein Beispiel mit einem Unbestimmten Integral, dann spare ich mir das umrechnen der Grenzen. Damit wird das Bsp. einfacher):

$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$

Ich möchte jetzt gerne $x = \cos(y)$ substituieren.
Also schreibe ich mir dazu:
$\frac{dx}{dy} = -\sin(y)$
$dx = -\sin(y) \cdot dy$
Ich tue also so, als wären dx und dy ganz normale Zahlen. Also kann ich auch in das
Integral einsetzen (und daran denken, dass $\cos^2 + \sin^2 = 1$ :
$\int \frac{-sin(y)}{\sqrt{1-\cos(y)^2}} dy = \int -1 dy = -y$
Jetzt nur noch zurücksubstituieren: $-y = -\arccos(x)$
Also: $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = -\arccos(x)$

Und da hinter verbirgt sich die Regel, die du da oben stehen hast.

Danke erstmal für die ausführliche Erklärung, hat mir weiter geholfen. Aber was ich noch nicht verstanden habe ist, warum du ausgerechnet x = cos(y) substituierst, bzw. diesen Ansatz wählst? Ich würde das auf den ersten Blick nicht sehen und ausgerechnet diese Substitution wählen. Ist sicherlich auch Erfahrungssache; muss mich wohl noch etwas mehr damit beschäftigen...

Taurin

Zu erkennen, welche Substitution man wählt, ist das schwierigste an der ganzen Kiste. Wenn man es nicht auf anhieb sieht (oder wie hier: das Beispiel so konstruiert, dass es so hübsch hinhaut) hilft nicht viel mehr als rumprobieren.
Häufig gibt es auch auch mehr als nur einen weg. Und manchmal sehen die Lösungen auch ganz unterschieldich aus, wenn man einen anderen Ansatz wählt (z.b. wenn sich die Lösungen um eine Konstante unterscheiden.) In meinem Beispiel kannst du ja mal andere Substitutionen versuchen, und schauen, ob du noch welche findest. Mindestens eine sehe ich noch.
Deswegen heißt es ja auch: Ableiten ist ein Handwerk, Integrieren eine Kunst.

ein Tipp für trigonometrische Integrale: Universalsubstitution tan(x/2)