Laplace- und z-Transformation
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Hi.
Wenn man sich bei der Laplace- und der z-Transformation die Konvergenzbereiche anguckt, dann ergeben sich da ja jeweils gewisse Symmetrien. Bei der Laplace-Transformation ist der Konvergenzbereich i.d.R. ein Streifen der parallel zur imaginären Achse liegt und bei der z-Transformation ist der Konvergenzbereich i.d.R. ein Kreisring um den Ursprung herum. Warum definiert man diese Transformationen so, dass sich da unterschiedliche Symmetrien ergeben? Letztendlich ist die z-Transformation doch eine Art diskrete Variante der Laplace-Transformation, warum wählt man an dieser Stelle also so eine Abweichung? Welche Vorteile ergeben sich dadurch? Hat das damit zu tun, dass im Zeitbereich abgetastete Signale im Frequenzbereich ein periodisches Spektrum ergeben?
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Wenn du dier hier http://www.et2.tu-harburg.de/lehre/SystemtheorieII/index_Dateien/4_Z.pdf mal die Folie 6 anschaust, siehst du die von dir angesprochende Periodizität. Beim Übergang von der Laplace-Transformation zur Z-Transformation werden die ganzen Streifen jeweils auf die Z-Ebene abgebildet, und zwar so, dass die linke s-Halbene auf den Einhaitskreis und die rechte s-Halbebene auf das "Aussen" abgebildet wird. Die Imaginäre Achse wird auf den Kreisrand abgebildet.
Warum man das so macht? Hat wahrscheinlich verschiedene Gründe. Einmal erspart man sich den Ärger mit den Mehrdeutigkeiten. Ausserdem kann man die Z-Transformation auch ganz klasse aus (linearen) Differenzengleichungen herleiten bzw. sie darauf anwenden, ganu wie die Laplace-Transormation mit linearen DGLs. Da hat man dann genau die Übereinstimmung, die du vielleicht suchst.
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Danke.
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Bitte.