KO-Gleichung <-> Parameterform
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Hi,
wir hatten jetzt vor kurzem in der Schule das Thema der Transformation von Parametergleichungen einer Ebene in eine Koordinatenform einer Ebene mithilfe des Normalenvektors(allgemeine Normalenform). Das Thema an sich ist kein Problem, nur hab ich da noch eine Verständnisfrage:
Ich habe ausserschulisch das gleiche Verfahren auf drei-dimensionale Geraden angewendet, um so die Parameterform der Geraden in eine Koordinatengleichung "umzuwandeln".
Jedenfalls erhalte ich bei meinem Beispiel eine Koordinatengleichung, die genauso gut eine Ebene darstellen könnte. Auch mein Plotter zeigt mir eine Ebene an. Gibt es (k)eine Möglichkeit, eine Gerade in einem dreidimensionalen Raum mithilfe einer Koordinatengleichung umzuwandeln? Oder ist mein Ansatz bereits falsch bzw. geht garnicht?
(Beispiel ist momentan recht schlecht, weil ich nicht mit Latex umgehen kann
)
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ne, geraden kann man im dreidimensionalen raum nur mittels parameter darstellen. alles was in linearer koordinatenform (heißt das so?) is, is dann ne ebene.
soweit weiß ich das jedenfalls, und unser mathelehrer hat auch gesagt, dass das nich geht
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Man kann auch andere Darstellungsformen als die Parameterform nehmen (ich sage nur "Plückerform").
Alternativ kannst du dir auch eine Darstellungsform überlegen, die mit nur 4 festen Parametern auskommt (könnte ich dir auch etwas detaillierter erklären, bringt nur soweit ich weiß keinen praktischen Nutzen). Weniger als 4 Parameter gehen jedoch nicht (kann man zeigen).
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Alternativ kannst du dir auch eine Darstellungsform überlegen, die mit nur 4 freien Parametern auskommt
Hö, gleich 4 Parameter? Brauch ich doch garnicht, wenn ich eine Darstellungsweise mit einem Paramter habe :p
Ne, ich verstehe gerade nicht, was du mit 4 Parametern meinst. Bezieht sich das auf die Darstellung einer Gerade im Raum(1 Paramter) oder einer Ebene(2 Paramter)?
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Matzer schrieb:
Alternativ kannst du dir auch eine Darstellungsform überlegen, die mit nur 4 freien Parametern auskommt
Hö, gleich 4 Parameter? Brauch ich doch garnicht, wenn ich eine Darstellungsweise mit einem Paramter habe :p
Ne, ich verstehe gerade nicht, was du mit 4 Parametern meinst. Bezieht sich das auf die Darstellung einer Gerade im Raum(1 Paramter) oder einer Ebene(2 Paramter)?Na, dann zähl ich mal:
Gerade g: (x,y,z) + r*(a,b,c): x,y,z,a,b,c macht 6. Zeig mal die Version mit einem Parameter.
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Na, dann zähl ich mal:
Gerade g: (x,y,z) + r*(a,b,c): x,y,z,a,b,c macht 6. Zeig mal die Version mit einem Parameter.
Ähem, sorry... Aber unter den Aufgezählten verstehe ich die Komponenten eines Vektors. Und der Parameter wäre für mich in diesem Fall r. Jedenfalls war ich mir sicher, dass so gelernt zu haben
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Ich habe mich unklar ausgedrückt (Jester hat es richtig verstanden
).Ich meinte natürlich "feste Parameter". Asche über mein Haupt 
Habe mich einfach verschrieben. Im Post oben korrigiert.OK, die Parameterform benötigt 6 feste Parameter, durch die die Gerade im R^3 eindeutig klassifiziert wird. Die Plückerform auch - hat aber ein paar zusätzliche interessante Eigenschaften. Theoretisch kommt man mit 4 festen Parametern aus (aber nicht mit weniger).
Bei der Plückerform nutzt füllt man häufig die Redudanz dadurch aus, dass man die 2 redudanten Parameter derart geschickt ausfüllt, dass jede Verschiebung und Drehung durch eine Plückergerade eindeutig beschrieben wird (dass man hierz 6 feste Parameter braucht, ist ebenfalls beweisbar).
EDIT: Ergänzung, um auf deine Anmerkung zu kommen: r ist ein "freier Parameter". Die Menge aller Punkte, für die r im Definitionsbereich (in unserem Fall (-Inf, +Inf) ) liegt, bildet die Gerade. Ein fester Parameter wird dagegen vor der Auswertung der Gleichung festgelegt und die festen Parameter der Darstellung bestimmen *eindeutig* die Gerade.
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Ich werd mir die Plückerform demnächst mal angucken, aber vorher noch eine Frage
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Ich hab jetzt noch ein paar Beispiele mit Ebenen durchgerechnet und habe eine Frage zu den Zusammenhängen:
Und zwar liegen die Ebenen der Form ax+by +c = 0 ja alle orthogonal auf der x1/x2-Ebene. Nun kann man ja die Schnittgerade der Ebene mit der x1/x2-Ebene als Gerade in der Ebene auffassen. Also in der Form y = mx+b. Sind also solche Geraden alle ein Spezialfall einer Ebene, die orthogonal auf der x1/x2-Ebene liegen bzw. könnte ich alle diese Geraden auch als Ebene mit oben genannten Eigenschaften auffasen?