Integral lösen, wie vorgehen?

Hallo,

wie löse ich folgendes Integral?
$\int_{-\pi}^\pi x \cdot \sin x \cdot \cos ax \;dx$

edit: LaTeX-Code korrigiert.

sorry Latex ist wohl nicht meine Stärke. Hier nochmal schöner (hoffe ich zumindest)
\int x\*sinx \* cosax~~dx

Gregor

Sind die Integrationsgrenzen vorgegeben oder suchst Du ne Stammfunktion?

Hallo,
die Integrationsgrenzen sind -Pi, Pi.
Lösungsweg ist mir wichtig, da ich in der Prüfung auch keinen Taschenrechner verwenden darf.

Taurin

Ohne es jetzt versucht zu haben: mehrfache part. Integration sollte klappen.
Ich würd erstmal versuchen, eine Stammfunkzion von $\int sin(x) cos(ax) dx$ zu finden. Danach das Ausgangsintegral so part. Integrieren, dass das der Faktor x unter dem Integral verschwindet. Dafür kannst du die vorher berechnete Stammfunktion benutzen.
Das was über bleibt, musst du bestimmt noch mal part. Integrieren.

Turing

Für die Handrechnung empfehle ich Dir zunächst festzustellen, dass der Integrand eine gerade Funktion ist. Außerdem sind die Grenzen symmetrisch um 0. also

$\int_{-x}^x g(x) dx = 2 \int_0^x g(x) dx$

Sicher ist es auch nicht verkehrt die Additionstheoreme zu bemühen, um Dich des lästigen trigonometrischen Produkts zu entledigen, und dann zwei Integrale zu lösen:

$sin(x+y) = sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)$
$cos(x+y) = cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y)$

Den Rest musst Du schon selber machen.

Noch ein Tipp, falls es mit den Additionstheoremen nicht klappt:

$sin(nx)cos(kx) = \frac{1}{2}(sin((n-k)x)+sin((n+k)x))$

Insgesamt schon recht happig für Handrechnung und Klausur.