Exponentialfunktionen mit negativer Basis?

Xul

Naja, aber es ließen sich doch, rein vom Logischen her, bestimmte Werte berechnen. So zum Beispiel $(-2)^2=4$ und natürlich alle Wurzeln ungeraden Grades. Ist das jetzt wirklich nur eine Frage der Definition? Wenn ja, wird dadurch ja eine Vielzahl von Ergebnissen unterschlagen.

mfg
Xul

ethereal

das is halt wie gesagt die frage, was du als zugrundeliegenden körper betrachtest. auf R ist exp für negative zahlen kritisch. spezialfälle wie exponenten aus Z gehen klar, aber nimm z.b. exp=3/2, dann hast du:
$(-2)^\frac{3}{2}=\sqrt{(-2)^3}=\sqrt{-8}$
-> bumm!
wenn du deine exp-fkt einschränkst, geht das nat. klar, aber es ist dann halt nicht mehr die exp-fkt von R

auf $\mathbb{C}$ ists aber wieder wunderbar.

Xul

Es lässt sich auch auf $\Re$ erweitern, wobei $x$ dann bestimmte Bedingungen erfüllen muss. Besitzt zum Beispiel $x$ einen ungeraden Nenner, so lässt sich immer ein Ergebnis finden. Wenn man es wie ethereal macht und erst potenziert und dann radiziert, sind sogar alle Brüche mit einem geraden Zähler zulässig. Ich glaube beide Arten von Brüche stellen eine recht große Teilmenge von $\Re$ dar, weshalb man nicht so pauschal sagen kann, dass solche Funktionen für $\Re$ nicht definiert sind.

Xul schrieb:

Ich glaube beide Arten von Brüche stellen eine recht große Teilmenge von $\Re$ dar, weshalb man nicht so pauschal sagen kann, dass solche Funktionen für $\Re$ nicht definiert sind.

falls du mit $\Re$ das meinst, was ich unter $\mathbb{R}$ kenne, dann stimmt das so nicht. in $\mathbb{R}$ sind nämlich die meisten zahlen gar keine brüche.
natürlich kannst du dir definieren, was du willst, aber es gibt nun mal keine reelle zahl, die quadriert -1 ergibt. deswegen KANN die abbildung auf $\mathbb{R}$ gar nicht definiert sein. sehr wohl aber auf einer teilmenge (was du ja machst...)

Xul

Ach ja:

(-2)^{\frac{3}{2}}=(-2)^{\frac{6}{4}}=\sqrt[4]{(-2)^6}=\sqrt[4]{64}

@lasm p9i aortaßü04i6 a40z:
Hast Recht. Irrationale Exponenten lassen sich auf diese Art und Weise nicht darstellen. Also haut das ganze wohl für rationale Zahlen hin.

Dein verwendetes Potenzgesetz gilt nicht für negative reelle Basen.

WebFritzi

Hier wurde kein Potenzgesetz verwendet.

Xul

XFame_logged_out schrieb:

Dein verwendetes Potenzgesetz gilt nicht für negative reelle Basen.

Aber darum gehts ja in meiner Fragestellung, ob Potenzen mit einer negativen Basis darstellbar sind, und somit Potenzen im eigentlichen Sinne sind. Ich hinterfrage also die ursprüngliche Definition von Potenzen, also kann man doch nicht damit argumentieren, dass das erbrachte Beispiel nicht der Definition entspricht.

Gruß
Xul

Morris Szyslak

Hier wurde kein Potenzgesetz verwendet.

was ist dann das?
a^(b*c)=(ab)^c

Wenn du den Exponenten zu einem Bruch mit ganzzahligem, geradem Zähler erweiterst, wendest du implizit den Betrag auf die Basis an. Und damit veränderst du die Aufgabenstellung bis das eigentliche Problem, nämlich die negative Basis, zerstört ist.