Kern, Rang und Dimesion einer Matrix

Che Eder

Hallo,
ich habe hier folgende Aufgabe:

Schreiben Sie sämtliche Elemente auf, die im Kern der Matrix A liegen.
Geben Sie die Dimension des Kerns und den Rang der Matrix an.

A:=
| 0001111 |
| 0110011 |
| 1010101 |
| 1101000 |

Ich habe keinen Plan was ich jetzt machen muss, schon deshalb, weil ich mir unter dem Kern einer Matrix nichts vorstellen kann
Ich hoffe, ihr könnt mir das ganze Vorgehen mal Schritt für Schritt erläutern.

THX 1138

http://www.wer-weiss-was.de/theme50/article228692.html Da hat wohl einer die gleiche Prüfungsaufgabe

Che Eder

Also in Zeilenstufenform sieht meine Matrix so aus:

1 1 0 0 1 1 1
0 1 1 0 0 1 1
0 0 1 1 1 0 1
0 0 0 1 0 0 0

4 -> Zeilenführer -> Rang = 4

x1 + x2 + x5 + x6 + x7 = 0
x2 + x3 + x6 + x7 = 0
x3 + x4 + x5 + x7 = 0
x4 = 0

x4 fällt also raus ... was mache ich dann?

Jester

Eine Matrix beschreibt doch eine lineare Abbildung. Diese hat einen Kern. Dieser Kern heißt auch Kern der Matrix. Kommst Du damit weiter?

Che Eder schrieb:

Ich habe keinen Plan was ich jetzt machen muss, schon deshalb, weil ich mir unter dem Kern einer Matrix nichts vorstellen kann

hi,
der kern ist das so ziemlich anschaulichste an einer matrix: das ist die menge aller vektoren, die (von rechts) multipliziert mit der matrix 0 ergeben. nichts geheimnisvolles ^TM. ausrechnen kannst du ihn, in dem du einen beliebigen vektor dranmultiplizierst und das ergebnis nullsetzt. das hast du ja schon angefangen. nun hängen die x1 ... x7 voneinander ab.

dass der rang 4 ist, stimmt wohl, denn du hast 4 linear unabhängige zeilen. wenn du noch weißt, dass rang + dim Kern = dim V = (in deinem fall) 7 ist, kannst du dir ausrechnen, dass die dimension vom kern 3 ist. du wirst also darauf kommen, dass jedes element aus dem kern als linearkombination von 3 linear unabhängigen vektoren darstellbar ist. (das passt auch dazu, dass du in 4 gleichungen 4 variablen "raushauen" kannst, wenn die gleichungen nicht widersprüchlich und nicht redundant sind.)

dass x4=0 ist, ist ziemlich gut, denn jetzt weißt du, dass das für alle elemente aus dem kern gilt. da musst du nix spezielles machen, nur weiterrechnen.

Che Eder

Ok, wenn die Dimension 3 ist, dann muss ich drei Parameter einführen.

x5=r, x6=s, x7=t

x1+x2+r+s+t=0
x2+x3+s+t=0
x3+r+t=0

x3=-r-t=r+t
x2=-r-s=r+s
x1=-t=t

{(t,r+s,r+t,0+r+s+t)}

-> { r(0,1,1,0,1,0,0) + s(0,1,0,0,0,1,0) + t(1,0,1,0,0,0,1) }

Korrekt?

EDIT: GF(2) übersehen.

Daniel E.

Che Eder schrieb:

Ok, wenn die Dimension 3 ist, dann muss ich drei Parameter einführen.

x5=r, x6=s, x7=t

x1+x2+r+s+t=0
x2+x3+s+t=0
x3+r+t=0

Genau.

x3=-r-t=r+t
x2=-r-s=r+s
x1=-t=t

Die Logik dieser Schritte bleibt mir verborgen. pardon. Alle Parameter 0 zu setzen (t = -t) liefert zwar ein Element aus dem Kern (das triviale), aber hilft hier nicht so wirklich weiter.

x3 = -r-t,
x2 = -(-r-t)-s-t = r+t-s-t =r-s
x1 = ...

öh, das kannst du ganz leicht ausrechnen, indem du deine basisvektoren wieder an die ursprungsmatrix multiplizierst. aber verrat' doch mal, wie du aus den minussen plusse machst?

Che Eder

Naja, wir rechnen ja im GF(2), da gibt es kein Minus. Und da ist -1 gleich 1.

Jester

1310-Logik schrieb:

http://www.wer-weiss-was.de/theme50/article228692.html Da hat wohl einer die gleiche Prüfungsaufgabe

Wobei man dem Geschwafel dort nicht zu sehr trauen sollte. Mit Diagonalisierbarkeit hat das garnichts zu tun. Das ist etwas völlig anderes als die Matrix mit Gauß auf Diagonalform zu bringen. Die Jordannormalform ist ebenfalls völlig am Thema vorbei.

Es gibt allerdings auch ein paar Aussagen die richtig sind.
Viel Spaß beim Suchen!

Jester schrieb:

Wobei man dem Geschwafel dort nicht zu sehr trauen sollte. Mit Diagonalisierbarkeit hat das garnichts zu tun.

doch, schon. solange man beide basen frei wählen kann, ist das sogar ziemlich nah an diagonalisierbarkeit dran. (es ist dann natürlich trotzdem etwas anderes, als der gauß)

Jester

Das ist doch Quark. Jede Matrix läßt sich mit Gauß auf Diagonalform bringen. Es gibt aber Matritzen, die sich in keiner Basis als Diagonalmatrix schreiben lassen (R^2, Drehkästchen). Das eine hat mit dem anderen einfach wenig bis nix zu tun.

Jester schrieb:

Das ist doch Quark. Jede Matrix läßt sich mit Gauß auf Diagonalform bringen. Es gibt aber Matritzen, die sich in keiner Basis als Diagonalmatrix schreiben lassen (R^2, Drehkästchen). Das eine hat mit dem anderen einfach wenig bis nix zu tun.

deswegen sagte ich "beide" basen. d.h., abbildungen zwischen verschiedenen vektorräumen. da kannst du auch das drehkästchen diagonalisieren. gauß und basiswechsel sollten dann äquivalent sein.

WebFritzi

@Che Eder: Ja, ist korrekt.