satz
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muss die anzahl der axiome in einem system abzählbar sein?
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Gegenfrage: Schaffst du es, ein System mit unendlich vielen Axiomen aufzustellen?
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CStoll schrieb:
Gegenfrage: Schaffst du es, ein System mit unendlich vielen Axiomen aufzustellen?
wieso nicht? "jede aussage, die mit j beginnt, ist ein axiom" (ok, ich weiß schon, was als antwort kommt, vergiss es.)
was mich zu dieser frage führt: hier http://de.wikipedia.org/wiki/Gödelscher_Unvollständigkeitssatz steht, dass wenn man sätze, die man weder beweisen, noch widerlegen kann als axiome dem system zufügt, es immer noch unvollständig bleibt. im beweis braucht man aber anscheinend die abzählbarkeit aller sätze im system. was ist jetzt, wenn die anzahl der nicht beweisbaren/widerlegbaren aussagen überabzählbar ist ?
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nichtmathematiker schrieb:
wieso nicht? "jede aussage, die mit j beginnt, ist ein axiom" (ok, ich weiß schon, was als antwort kommt, vergiss es.)
vielleicht nicht, es kommt nicht eine diskussion, ob diese axiome sinnvoll sein könnten.
es kommt einfach nur die feststellung, daß dein axiomensystem nur abzählbar viele axiome hat, solange wir nur endlich lange axiome zulassen. lassen wir nur endlich lange axiome zu?
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CStoll wollte erstmal nur ein unendliches axiomensystem, kein überabzählbares.
volkard schrieb:
lassen wir nur endlich lange axiome zu?
das ist eine gute frage. rein intuitiv habe ich das gefühl, dass etwas ganz böse schiefgeht, wenn man das macht.
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So wie die Frage gestellt ist, ist die Antwort ein klares Nein.
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volkard schrieb:
es kommt einfach nur die feststellung, daß dein axiomensystem nur abzählbar viele axiome hat, solange wir nur endlich lange axiome zulassen.
Verstehe ich nicht. Entweder wir nehmen überabzählbar viele Zeichen mit ins Boot, dann ist die Längenbeschränkung egal, oder wir haben nur endliche viele (oder abzählbar viele Zeichen). In letzterem Falle ändert auch das Zulassen beliebig langer Axiome nichts an der Abzählbarkeit der Menge (Hilberts Hotel läßt grüßen).
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nichtmathematiker schrieb:
was ist jetzt, wenn die anzahl der nicht beweisbaren/widerlegbaren aussagen überabzählbar ist ?
Wie soll das gehen?
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Walli: Hast Du spezielle Hinweise darauf, daß sowas nicht gehen sollte?
Hast Du nur Probleme mit der überabzählbaren Anzahl an Aussagen?
x ist eine reelle Zahl. Das ist für jedes x in R eine wahre Aussage. Für jedes x in C\R ist es eine falsche Aussage.Das sind schon 2mal überabzählbar viele Aussagen. Warum sollte es nur abzählbar viele unentscheidbare Aussagen geben?
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Jester schrieb:
Entweder wir nehmen überabzählbar viele Zeichen mit ins Boot, dann ist die Längenbeschränkung egal, oder wir haben nur endliche viele (oder abzählbar viele Zeichen). In letzterem Falle ändert auch das Zulassen beliebig langer Axiome nichts an der Abzählbarkeit der Menge (Hilberts Hotel läßt grüßen).
Man kann doch aber mit den Zeichen 0 und 1 alle reellen Zahlen zwischen 0 und 1 als unendlich lange Folge darstellen. Das wären überabzahlbar viele mit nur zwei zeichen oder hab ich da jetzt nen denkfehler?
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das sollten abzählbar viele sein, da du jede 01-Folge als nat. Zahl interpretieren kannst und somit ne bijektion zu N hinbekommst.die darstellung einer "unendlich lange folge" finde ich problematisch.wie stellst du dir das vor?
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ethereal schrieb:
das sollten abzählbar viele sein, da du jede 01-Folge als nat. Zahl interpretieren kannst und somit ne bijektion zu N hinbekommst.die darstellung einer "unendlich lange folge" finde ich problematisch.wie stellst du dir das vor?
im Binärsystem aufgeschrieben ist eine unendliche, wohldefinierte 01-Folge. Folgen können unendlich lang sein, wenn man es zulässt, sogar überabzählbar lang.
Ich nehme an es gab eine Verwechslung zwischen "beschränkt" und "endlich". Lässt man nur beschränkte Folgen zu, dann gibt es eine Grenze in der Länge, die von keiner Folge überschritten wird.
Hat man jetzt noch ein endliche Alphabet, sind die Folgen garantiert abzählbar, denn es gibt nur endlich viele.Erweitert man das Alphabet auf abzählbar unendlich viele Zeichen, gibt es natürlich auch abzählbar unendlich viele beschränkte Folgen. Lässt man nun das "beschränkt" fallen und setzt stattdessen "endlich" ein, ändert das an der Anzahl der möglichen Folgen überhaupt nichts. Jede Folge für sich betrachtet eine endliche Länge.
Erst wenn man beim Alphabet "überabzählbar viele Zeichen" oder bei der Folgenlänge "unendlich lang" zulässt, erhält man überabzählbar viele Folgen (uninteressante Sonderfälle ignoriert).
Ich kenne mich mit Gödels Beweis nicht allzu gut aus, aber soweit ich weiß, lässt sich immer wieder eine Aussage der Art "Dieser Satz ist in [hier Axiomensystem einfügen] nicht ableitbar.", völlig unabhängig davon, wie groß das Axiomensystem ist. Selbst überabzählbar viele Axiome machen ein widerspruchsfreies System nicht vollständig, da es immer Elemente gibt, die "vergessen" werden. Ähnlich wie es zu einer gegebenen Menge immer eine "größere" gibt, die nicht in die Ursprungsmenge hineinpasst.
Die eckigen Klammern im Gödel-Satz oben sind wichtig, denn sonst könnte man in Versuchung kommen, das ganze Problem ganz einfach aus der Welt zu schaffen: "Der Gödel-Satz 'Dieser Satz ist nicht beweisbar' ist ein Axiom.".
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Eine nichtabbrechende 01-Folge kann man nicht unbedingt als natuerliche Zahl darstellen.
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Christoph schrieb:
Folgen können unendlich lang sein, wenn man es zulässt, sogar überabzählbar lang.
Wie genau funktioniert das? Folgen sind doch im Prinzip Abbildungen von N in irgendeine Menge. Die haben immer nur einen abzählbaren Definitionsbereich und damit auch eine abzählbare Länge.
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Zu spaet.
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Jester schrieb:
Christoph schrieb:
Folgen können unendlich lang sein, wenn man es zulässt, sogar überabzählbar lang.
Wie genau funktioniert das? Folgen sind doch im Prinzip Abbildungen von N in irgendeine Menge. Die haben immer nur einen abzählbaren Definitionsbereich und damit auch eine abzählbare Länge.
Wo steht, dass die Index-Menge N sein muss? In der Topologie gibt es zum Beispiel die konvergenten Netze, und ich meine, dass die bei uns auch "(verallgemeinerte) Folgen" genannt wurden.
Andererseits spricht man auch von "endlichen Folgen", die nicht mal ganz N als Indexmenge haben (edit: ok, man könnte sich jede endliche Folge als unendliche vorstellen, bei der ab einer gewissen Stelle nur noch ein "Ende-Markier-Element" auftritt).
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Folgen sind normalerweise schon mit natürlichen zahlen indiziert. Verallgemeinerte Folgen sind natürlich was anderes. Aber die braucht man für die ganze Diskussion hier eigentlich nicht wirklich.
Und eigentlich braucht man sie fast garnicht. In der Topologie benutze ich dann lieber Ultrafilter, die leisten in etwa das selbe und sind etwas leicht zu handhaben.
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ok, wenn der index keine natürliche zahl ist, dann ist meine argumentation nat. falsch. ich bin bei dem begriff "folge" intuitiv von einer indexmenge N ausgegangen.
@pasti: nein, die konkrete darstellung wird schwierig. aber selbst wenn sie nicht abbricht, existiert (wenn man N voraussetzt) immer noch der bijektive zusammenhang zu N, also weiterhin abzählbar.
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ethereal schrieb:
ok, wenn der index keine natürliche zahl ist, dann ist meine argumentation nat. falsch. ich bin bei dem begriff "folge" intuitiv von einer indexmenge N ausgegangen.
Selbst dann funkioniert Deine Argumentation nicht. Die Folge a_n = 1 für alle n in N entspricht keiner natürlichen Zahl. Sie endet nämlich nicht.
Btw. Wikipedia sagtauch, daß Folgen N als Indexenge haben.
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ok, da hast du recht.