Cauchy-Schwarzsche Ungleichung - Beweis?

khalderon

Hallo da!
Ich muss die sog. Cauchy-Schwarzsche Ungleichung beweisen und nämlich in dieser Zahlenform:

(∑a_i*b_i)² ≤ ∑a_i²*∑b_i²

Danke im Voraus!
Mfg
Zdravko

sum(a_ib_j - a_jb_i)^2 >= 0 ausmultiplizieren und umformen.

khalderon

tipp schrieb:

sum(a_ib_j - a_jb_i)^2 >= 0 ausmultiplizieren und umformen.

Entschuldigung, aber ich habe die Idee nicht kapiert!

Taurin

Was darfst du dafür benutzen? Vielleicht über das Skalarprodukt:

$(\sum a\_i b\_i)^2 = <a,b>^2 = (|a| \cdot |b| \cdot |\cos \phi|)^2 \leq |a|^2 \cdot |b|^2$

zirkelschluss

khalderon

Nein, also es soll simpel aussehen. Ich sollte sowieso später die Dreieckungleichung damit beweisen. Vllt. etwas mit volständiger Induktion?

Taurin

Was meinst du mit simpel? Ich finde die Herleitung sehr simpel. Ist wohl Geschmackssache. Oder kapierst du irgendwas nicht? Induktion hilft dir hier wohl nix, oder worüber willst du die Induktion laufen lassen?

@hinweis: Einfach Worte in den Raum schmeißen ist wenig konstruktiv.

xroads42

Taurin schrieb:

Was darfst du dafür benutzen? Vielleicht über das Skalarprodukt:

$(\sum a\_i b\_i)^2 = <a,b>^2 = (|a| \cdot |b| \cdot |\cos \phi|)^2 \leq |a|^2 \cdot |b|^2$

toll. damit hast du gezeigt, dass die CSU im |R^3 gilt. Was ist mit dem rest?

Taurin schrieb:

@hinweis: Einfach Worte in den Raum schmeißen ist wenig konstruktiv.

er will damit sagen, dass der winkel phi gerade wegen der c-s-ungleichung definiert ist, man sie also erst beweisen muss, um einen winkel zu haben.

Walli

xroads42 schrieb:

Taurin schrieb:

Was darfst du dafür benutzen? Vielleicht über das Skalarprodukt:

$(\sum a\_i b\_i)^2 = <a,b>^2 = (|a| \cdot |b| \cdot |\cos \phi|)^2 \leq |a|^2 \cdot |b|^2$

toll. damit hast du gezeigt, dass die CSU im |R^3 gilt. Was ist mit dem rest?

Wie kommst du überhaupt darauf, dass der euklidsche Raum auf 3 Dimensionen beschränkt ist?

asmodis

Such mal nach konvexe Funktionen, Höldersche Ungleichung, Minkowski Ungleichung.

Cauchy-Schwarz ist ein spezialfall von der hölderschen ungleichung.

Wenn ich mich an den Beweis richtig erinnere kam da auch noch die ungleichung zwischen arithmetischen und geometrischen Mittel vor.