4. Problem mit Aufgabe von Mathe-Vorkurs

Problem mit Aufgabe von Mathe-Vorkurs

  • D

    Hallo,
    ich will gerade die Aufgaben des Mathe-Vorkurses an der Uni Stuttgart lösen, stoße aber auf 2 Probleme. Würde mich sehr freuen wenn mir jemand helfen könnte :).
    1.) Berechnen Sie ∑i=25(xi+i)\sum_{i=2}^{5} (x^i+i) für x Element (-1, 1).
    Mein Lösungsweg: =∑i=25xi +∑i=25i =∑i=05xi −x0−x1+14= \sum_{i=2}^{5} x^i\ + \sum_{i=2}^{5} i\ = \sum_{i=0}^{5} x^i\ - x^0 - x^1 + 14
    Über die geometrische Summe komme ich zu:
    1−x61−x −x+13\frac{1-x^6}{1-x}\ - x + 13
    Ich habe hier mehrere Lösungsvorschläge von denen ich eine auswählen muss, aber die ist leider nicht dabei. Wo ist mein Fehler?
    2.) Für welche x Element R konvergiert die Reihe:
    \sum_{i=9}^{\infty}\ \frac{(4x - 8)^i}{i^2}\\
    Gesucht ist der maximale Bereich in dem die Reihe konvergiert.

    Mein Lösungsweg: Ich stelle den allgemeinen Quotienten zweier aufeinander folgender Glieder her, was < 1 sein muss (Quotientenkriterium), isoliere x und lasse i gegen unendlich streben, womit ich den Konvergenzradius erhalte. Der Betrag von x muss nun kleiner als dieser Wert sein:
    Quotient: $\frac{(4x-8)^{i+1}} {(i+1)^2}$ geteilt durch $\frac{(4x-8)^i} {i^2}$
    dieser vereinfacht: 4i2(x−2)(i+1)2 <1\frac{4i^2(x-2)}{(i+1)^2}\ < 1
    x herausgezogen: $x-2 < \frac{(i+1)^2} {4i^2}$
    also: ∣x∣<(i+1)24i2 +2=14 +2=2.25|x| < \frac{(i+1)^2}{4i^2}\ +2 = \frac{1}{4}\ + 2 = 2.25
    Gilt es also für x innerhalb des Intervalls von -2.25 bis 2.25?
    Woher weiß ich, ob es ein offenes oder geschlossenes Intervall ist?
    2.25 kommt in den Lösungen vor, aber nur (1.75, 2.25). Es wird hier anscheinend das +2 isoliert betrachtet und der Teil der 1/4 ergibt einmal mit + und einmal mit - verrechnet. Das verstehe ich nicht 😞 .

    Vielen Dank für eure Hilfe,
    Dola

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  • W

    1. deine Lösung ist richtig. Du musst mal schauen, ob du sie auf eine schönere Form bringen kannst.
    2. offenes Intervall (wegen dem <). Dein Denkfehler ist, dass du die Betragsstriche nur ums x und nicht ums x-2 packst. Du musst eine Fallunterscheidung machen.

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  • D

    Hallo,
    vielen dank für deine Antwort 🙂
    zu 1) ok dann wird wohl im Lösungspool ein Tippfehler sein 😃
    zu 2) thx, das mit den Betragsstrichen um x+2 ist logisch und das Ergebnis stimmt jetzt auch :).
    Das mit den Intervallen: Die Bedingung ist ja von vornherein, dass es < 1 ist bzw. dass das nächste Reihenglied größer ist als das davor. Aber kann ich deshalb immer von einem offenen Intervall ausgehen? Mein Prof. meinte (wenn ich mich nicht täusche) dass nach dieser Rechnung (immer?) eine Randuntersuchung gemacht werden sollte. Was meint er damit? Also ich setzte bisher einfach die Lösung (die ich für < 1 erhielt) ein, aber kann dann wirklcih etwas anderes als 1 herauskommen? Was mich eben auch stutzig macht, ist dass im Lösungspool die gleichen Werte immer mit offenem, halboffenem und geschlossenem Intervall angegeben werden.
    Verstehe also gerade den Sinn einer Randuntersuchung nicht oder die Randuntersuchung selbst nicht.
    Würde mich freuen wenn ihr mich nochmal aufklären könnt 🙂

    [E D I T]
    habe nun einfach mal das gemacht: wenn ich x1 und x2 als Grenzen des Intervalls rauskriege, habe ich x1 in den Term eingesetzt, i gegen unendlich streben lassen und geschaut, ob eine Zahl rauskommt. Wenn dies der Fall ist, kann ich doch sagen, dass die Reihe konvergiert und ich somit ein geschlossenes Intervall habe (dies ist in diesem Beispiel der Fall) 😕 .
    [/ edit]

    MfG,
    Dola

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  • A

    Die Quotientenformel gibt dir den Konvergenzradius r der Potenzreihe. Man kann zeigen, dass eine Potenzreihe konvergiert (sogar absolut) für |x| < r. Die Fälle |x|=r muss man immer gesondert untersuchen.

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  • D

    Vielen Dank.

    Ich hätte allerdings noch eine kleine Frage:
    Wenn ich mithilfe des Quotientenkriteriums die Folge/Reihe auf ihre Konvergenz untersucht habe, muss ja das Ergebnis von a(n+1) / a(n) immer < 1 sein. Kann das Ergebnis aber auch einen negativen Wert annehmen (z.B. -5) oder liegt der Bereich der Zahlenwerte, die die Konvergenz nachweisen stets im Bereich 0<x<1 ?

    Danke für alles!
    Grüßle Dola

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  • W

    Man nimmt beim Quotientenkriterium doch den Betrag des Quotienten soweit ich das noch im Kopf habe.

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  • ?

    Macht den kurs immer noch der Schmidt ?

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  • M

    Den wen ja mach dir keinen Kopf alles was du da lernst kommt sowieso nochmal in HM1 und HM2 dran 🙂

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  • D

    Ich möchte mich bei euch allen recht herzlich bedanken.
    Ich habe nun auch die Lösungen bekommen.

    Das Problem mit der Summenaufgabe lag darin, dass es einen Druckfehler in den Lösungen gab. Also hatte ich´s doch richtig (wie ihr auch gesagt habt) 🙂

    Bei der anderen stimmen die Grenzen, die wir herausbekommen haben, aber es handelt sich um ein geschlossenes Intervall. Denn bei der Ränderuntersuchung kann man feststellen, dass das Reihenglied für i -> unendlich gegen 0 läuft. daher nimmt jedes hinzuzählende Glied einen kleineren Wert an,weshalb die gesamte Reihe dann auch konvergiert (das hab ich mir zumindest ganz am Schluss gedacht). Aber wenn ihr´s ganz genau wissen wollt, dann geht auf die Vorkursseite: http://www.lern-plus.de/vorlesungen/mathevk/ unter "eClaus Aufgaben" EZ1 Erg04. Dort könnt ihr alles ganz genau nachlesen.

    Der Vorkurs macht echt Spaß. Er ist in zwei "Gruppen" aufgeteilt. Eine leitet Prof. Adamek und die andere Schmid und der ist einfach klasse. 🙂
    Am Ende des Vorkurses wird das Erlernte in Form eines Tests abgefragt.
    Bin schon total gespannt, wie der aussehen mag.

    Liebe Grüße an euch alle
    Dola

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  • M

    daher nimmt jedes hinzuzählende Glied einen kleineren Wert an,weshalb die gesamte Reihe dann auch konvergiert (das hab ich mir zumindest ganz am Schluss gedacht).

    also wenn ich dein kommentar richtig verstehe sagst du: wenn die folge in einer reihe gg 0 konvergiert, dann konvergiert die reihe.
    das stimmt aber nicht: Σ 1/n konvergiert nicht, obwohl die folge gg 0 konvergiert.

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  • D

    Stimmt. Das ist einleuchtend. Danke.

    Könnt ihr mir nochmal weiterhelfen? Hab nämlich noch ein paar Unklarheiten.

    1. Was versteht man genau unter einer Cauchyfolge?
      ich weiß, dass alle konvergenten Folgen Cauchyfolgen sind, aber das diese Aussage nicht umkehrbar ist. Gibt es dann divergente Cauchyfolgen? 😕

    2)Wir haben Aufgaben bekommen, bei denen man die gegebene Funktionen auf Symmetrie untersuchen muss. Ich weiß, dass man mit den Formeln:
    f(a-x) = f(a+x) bzw. f(a-x) + f(a+x) = 2b
    die Symmetrie nachweisen kann. Aber wie mach ich das, wenn die Achse oder Punkt nicht gegeben ist?
    Mein Gedanke war, dass ich für x z.B. 1 einsetze, da die Länge des Abstands ja keine Rolle spielt und kam dann auf folgende Gleichung (für Punktsymmetrie):
    f(a-1) + f(a+1) = 2f(a)
    Ich bekomme aber nichts gescheites heraus. Wo liegt mein Denkfehler?
    Könnt ihr mir helfen?

    Liebe Grüße
    Dola

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  • J

    Dola schrieb:

    1. Was versteht man genau unter einer Cauchyfolge?
      ich weiß, dass alle konvergenten Folgen Cauchyfolgen sind, aber das diese Aussage nicht umkehrbar ist. Gibt es dann divergente Cauchyfolgen? 😕

    Ja, das gibt es. Bei einer Cauchy-Folge kriegt man für jedes epsilon>0 ein n0, so daß |a_n - a_m|<epsilon für n,m >= n0. Wenn man weit genug hinten anfängt sind die Folgenglieder beliebig dicht beieinander.

    Konvergent ist eine Folge (a_n), wenn es ein a gibt mit lim |a-a_n| = 0. Konvergente Folgen sind Cauchy-Folgen. Aber umgekehrt ist nicht jede Folge eine Cauchy-Folge: Stell Dir Beispielsweise eine Folge von Bruchzahlen vor, die in den reellen Zahlen gegen Wurzel 2 konvergiert. Wenn man dieselbe Folge in den Bruchzahlen anschaut, dann ist sie natürlich immer noch ne Cauchy-Folge. Aber der Grenzwert existiert nicht in Q. In Q ist die Folge also nicht konvergent. So eine Folge kann man sich mit Iterationsverfahren zur Wurzelberechnung leicht konstruieren.

    Ein Raum in dem jede Cauchy-Folge konvergiert heißt übrigens vollständig. Man kann Räume auch vervollständigen, indem die Grenzwerte aller Folgen hinzunimmt (macht man Formale aber etwas anders). So entsteht beispielsweie R als Vervollständigung von Q.

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  • A

    Jester schrieb:

    (macht man Formale aber etwas anders).

    etwas? ich find cauchyfolgen modulo nullfolgen doch ziemlich was andres...

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  • J

    asmodis schrieb:

    Jester schrieb:

    (macht man Formale aber etwas anders).

    etwas? ich find cauchyfolgen modulo nullfolgen doch ziemlich was andres...

    Inwiefern? Wenn ich die Elemente des Grundraumes mit den Äquivalenzklassen der konstanten Folgen identifiziere, dann ist doch im Prinzip genau das passiert.

    Oder wolltest Du nur drauf hinweisen, daß Du weißt wie man's macht?

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  • A

    Der große Unterschied ist für mich der, dass wenn du sagst

    Man kann Räume auch vervollständigen, indem die Grenzwerte aller Folgen hinzunimmt

    stelle ich mir vor, dass man Q nimmt und mit einer Menge der Grenzwerte vereinigt. Wohingegen man formal ja eine ganz neue Menge konstruiert.

    Natürlich hast du aber Recht, dass die Grundidee das "hinzunehem" der Grenzwerte ist und man Q dann in die neue Menge einbetten kann.

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