genügend Projektive
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Haben für X geringter Raum die Kategorien Ab(X), Mod(X), Qcoh(X), Qcoh(X) für X affin gnügend Projektive?
Für Ab(X) könnte man da nicht einfach direkte Summen der konstanten Garbe Z nehmen?
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Für die quasikohärenten sollte es imho auf jeden Fall klappen. Schließlich sind die quasikohärenten Modulgarben auf nem affinen Schema einfach nur "garbifizierte Moduln". Mein Vermutung ist, daß aus nem projektiven Modul auch ne projektive Garbe wird. Wie verhält sich denn projektiv beim lokalisieren, bleibt das erhalten?
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Jester schrieb:
Mein Vermutung ist, daß aus nem projektiven Modul auch ne projektive Garbe wird. Wie verhält sich denn projektiv beim lokalisieren, bleibt das erhalten?
1. Ich hab irgendwo gelesen, dass das Analoge für injektive Moduln falsch ist.
2. projektiv = lokal frei, lokalisieren vertauscht mit direkten Summen => bleibt erhalten
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eine Frage schrieb:
2. projektiv = lokal frei, lokalisieren vertauscht mit direkten Summen => bleibt erhalten
ok, dafür sollten es endlich erzeugte Moduln über noetherschen Ringen sein. Aber "direkter Summand von einem freien Modul" bleibt unter Lokalisierung erhalten
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Ab(X) ist ja nur Mod(X) mit konstanter Garbe Z, wäre damit also auch erschlagen.
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Was passiert denn, wenn man versucht, den Beweis für "genügend viele Injektive" zu übertragen?
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Das Ergebnis müßte doch stimmen. Schließlich macht man Garbenkohomologie, also braucht man ja genügend injektive Objekte. Nur der Beweis geht vermutlich anders.
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??? Ich meinte, den richtigen Beweis für injektive versuchen auf projektive zu übertragen.
Problem dabei ist: sei p: {x} -> X Inklusion, F projektiv auf {x}. Warum ist dann p_*F projektiv auf X? (Ist das überhaupt so?)
Für "injektiv" gilt das, weil p_* einen (für diese Inklusion) exakten linksadjungierten (p^* = p^{-1}) hat.
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Ich glaube nicht, daß man den Beweis übertragen kann. Die Begriffe injektiv und projektiv sind zwar dual zueinander, aber die Theorie dazu ist es leider nicht. Da muß man sich schon jeweils getrennt Gedanken machen.