Homomorphismus

Strukturerhaltend ist ein Homomorphismus im allgemeinen nicht. Homomorphismen
erhalten im allgemeinen lediglich Teilstrukturen (so erhält der Nullhomomorphismus
von (G,+) auf die Nullgruppe ( {0} ,+) lediglich die trivialen Rechenregeln 0+0=0,
0+(0+0)=(0+0)=0, -0=0 usw., alles darüber hinausgehende von der Verknüpfung der
Quellstruktur geht verloren.)

Ich stimme zu, wenn man sagt, Homomorphismen sind "Teilstruktur-erhaltend".
Aber einfacher finde ich, wenn man sagt "Homomorphismen sind Abbildungen, die verträglich mit den Verknüpfungen von Quell- und Zielstruktur sind".

PeterTheMaster

was darueber hinaus geht verloren? es bleiben alle gruppenaxioma erhalten, mithin die struktur "gruppe". ob in diesem spezialfall die bildgruppe eine recht einfache ist, aendert nichts daran.
du hast noch nicht definiert, was du mit struktur meinst.

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was darueber hinaus geht verloren? es bleiben alle gruppenaxioma erhalten, mithin die struktur "gruppe"

Richtig, aber auch *nur* die Struktur "Gruppe". Die gesamte Binnenstruktur, darunter sämtliche Unterstrukturen, Zerlegungseigenschaften, Klassifikationseigenschaften usw. gehen verloren, da sie auf Trivialitäten abgebildet werden.

Die Aussage "Alle Gruppen lassen sich homomorph auf {0} abbilden" sagt über die
komplizierte Struktur von Gruppen nichts aus, da alle diese Strukturinformationen verloren gehen, wenn man jedes Element auf 0 abbildet.

Deshalb plädiere ich dafür, zu sagen "Homomorphismen sind mit den Verknüpfungen
von Urbild und Ziel verträglich" statt "Homomorphismen sind strukturerhaltend".
Zur Strukturerhaltung muß man weit mehr verlangen, z.B. Homöomorphismen, Isomorphismen, Diffeomorphismen,...

PeterTheMaster

quatsch. von einem homomorphismus zu reden, macht ja nur sinn, wenn man sich auf eine struktur geeinigt hat, etwa gruppen-homo, vektorraum-homo, und dann bleibt eben diese (und ohne weiteres auch nur diese) struktur erhalten.
also strukturerhaltende abbildung.

Eben. *diese* Struktur bleibt erhalten. Das ist aber im allgemeinen auch alles. Die unendlich komplizierte Struktur etwa der reellen Zahlen geht verloren, wenn man R auf {0} abbildet. Deshalb ist der gebräuchliche Ausdruck "strukturerhaltend" mißverständlich.

Daß etwa R eine Gruppe ist, sagt über die Struktur von R fast nichts aus, außer
daß man reelle Zahlen mit den üblichen Rechenregeln addieren kann. Das kann man aber auch schon mit der Null allein.
Daß R nicht nur Gruppe, sondern auch Ring,VR, Algebra, Mannigfaltigkeit, Topol.Raum ist, daß R die Vervollständigung von Q nach der Betragsnorm ist, und vieles
andere, das zur Struktur von R gehört, ist dabei nicht berücksichtigt und
geht je nach Fall in Trivialitäten über oder verloren, wenn man R homomorph abbildet.

Um solcherlei Strukturierung zu erhalten, benötigt man Homomorphismen mit
zusätzlichen Eigenschaften, etwa Isomorphismen, Diffeomorphismen, Homöomorphismen, je nachdem, welchen Aspekt (topologischen, differentialgeometrischen, algebraischen...) der Struktur von R man unter
der Abbildung erhalten will.

Ich bleibe dabei: "strukturerhaltend" sind Homomorphismen nur in einem
sehr eingeschränkten, wenn nicht trivialen Sinn.
Die wesentliche Eigenschaft von Homomorphismen ist die *Verträglichkeit* mit
den Verknüpfungen von Ziel- und Quellstruktur, nicht mehr und nicht weniger.

PeterTheMaster

ok, das macht so keinen sinn, zum dritten mal: definiere, was du mit struktur meinst. wenn du damit meinst ALLE eigenschaften, dann gibt es ausser trivialen keine strukturerhaltenden abbildungen.

Die Struktur eines mathematischen Objekts läßt sich leider nicht ebenso griffig
definieren wie die Eigenschaft, eine Gruppe zu sein, durch ein paar Axiome
definiert wird.

Interessiert man sich für Gruppenklassifikation, dann gehören zur Struktur einer Gruppe z.B. Zerlegungseigenschaften wie Z^2=ZxZ, Isomorphien zu anderen
Gruppen, Auflösungen usw.
Zur Struktur eines topologischen Raumes gehören Dinge wie Grundmenge,
Homöomorphismen zu anderen topol. Räumen, Homotopie, Geschlecht, Dimension
usw... Die Aufklärung der Struktur und Klassifikation topologischer Räume beschäftigt bekanntlich die
Mathematik seit über hundert Jahren und ist mit zigtausenden von Seiten
an bis heute erbrachten Beweisen noch lange nicht abgeschlossen.

All dem wird man keinesfalls gerecht, indem man sagt "der Nullhomomorphismus
erhält die Eigenschaft, topologischer Raum zu sein und damit die Struktur".
Topologischer Raum zu sein ist eben nur ein winziger Teil der Eigenschaften
solcher mathematischen Objekte.

Außerdem gilt:
Jede Gruppe läßt sich durch den Nullhomomorphismus homomorph auf jede andere
abbilden. Wäre das wirklich strukturerhaltend, dann wären alle Gruppen
strukturgleich.

Die Aussage "Homomorphismen sind strukturerhaltend" ist also in diesem Licht
betrachtet, falsch, oder legt zumindest eine falsche Vorstellung nahe. Der Nullhomomorphismus ist sogar im Gegenteil ausgesprochen struktur-zerstörend.

Dann wäre für dich "strukturverträglich" akzeptabel?

http://de.wikipedia.org/wiki/Hierarchie_mathematischer_Strukturen

Soweit ich das einschaetzen kann, ist man sich ziemlich einig ueber die Bedeutung des Begriffes "Stuktur".

Eine Gruppe ist eine Struktur, ein Gruppenhomomorphismus bildet Gruppen auf Gruppen ab, also ist ein Gruppenhomomorphismus strukturerhaltend, logo oder?

Ja, "strukturverträglich" ! Das trifft es meiner Meinung nach wirklich besser. Ein schöner Begriff, knapp, griffig und triftig.

pasti:
Ich bin mir des üblichen Sprachgebrauchs schon bewußt. Im wikp.-Artikel sind aber
beim Artikel über Homomorphismus sowohl das Wort "bedeutungsgleich" als auch das Wort "Strukturerhaltend" in Anführungszeichen gesetzt, und das ist meines Erachtens kein Zufall.
Hier weicht der Sprachgebrauch nämlich etwas vom wahren Inhalt der
Begriffe ab. Aber lassen wir es der Haarspalterei nun genug sein, das Wochenende ist ja auch schon fast vorbei

Ihr habt Probleme lol

Ein Homomorphismus mus nicht strukturerhaltend sein.
Nur ein Isomorphismus (bijektiver Homomorphismus) ist strukturerhaltend.

Jester

MisterX schrieb:

Ein Homomorphismus mus nicht strukturerhaltend sein.
Nur ein Isomorphismus (bijektiver Homomorphismus) ist strukturerhaltend.

Gut dass Du's nochmal wiederholst.

Auch für Dich nochmal: Mit Struktur ist beispielsweise Gruppe gemeint, oder Körper oder Ring oder denk Dir was. Ein Homomorphismus ist insofern Strukturerhaltend, als daß er eine Gruppe wieder auf eine Gruppe abbildet (und das in verträglicher weise), einen Körper auf einen Körper etc. In diesem Sinne erhält der die Struktur (nicht die Feinheiten davon, aber die grundlegenden Axiome). Also kann man in diesem Sinne (und so wird es eigentlich auch immer verstanden) sagen, daß Homomorphismen strukturerhaltend sind. Pedanten dürfen auch gerne strukturverträglich sagen, sollten aber den Mund nicht so voll nehmen und sagen strukturerhaltend sei völlig falsch.

Btw hat mein Prof heute auch strukturerhaltend gesagt. Ist er nun dumm?