4. Grenzwerte finden

Grenzwerte finden

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    Hi!
    Wir machen auf der uni gerade grenzwerte durch. aber ich bin noch nicht dahintergestiegen, wie ich grenzwerte berechnen kann. zum beispiel bei dieser funktion weiß ich absolut nicht weiter:

    21−x2−3(1−x3\frac{2}{1-x^2} - \frac{3}{(1-x^3}

    ich hab versucht die funktionen auf gemeinsamen nennen zu bringen, dann durch die höchste potenz du dividieren, aber ich komme einfach nicht auf 0.5 (was es nach dem graph sein sollte ...)

    habt ihr bitte ein paar tipps? bin glaub ich schon kurz vor dem durchdrehen ...

    danke, stefan

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  • D

    Den Grenzwert gegen was? Die Funktion ist bei 1 und bei -1 nicht definiert, oft untersucht man auch die Grenzwerte gegen +- inf. Der Rest ist hier eher uninteressant.

    Für den Grenzwert gegen 1 hast Du das aber doch schon richtig angefangen: auf Hauptnenner bringen und so lange l'Hospital anwenden, bis der Grenzwert dasteht.

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    l'Hospital dürfen wir leider noch nicht verwenden (Differenzieren haben wir an der Uni noch nicht durchgenommen) wir sollen die aufgabe mit den grenzwertsätzen und durch "tricks" (?!) lösen ...

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  • D

    Okay, dann versuchst Du, aus Zähler und Nenner jeweils die Linearfaktoren (1-x) zu kürzen, weil Du die Funktion ja an der Stelle x=1 untersuchen möchtest und dir dabei die Nullstellen im Nenner Ärger machen.

    Beispiel: 1-x^2=(1-x)(1+x), 1-x^3=(1-x)*bla usw.

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    ja das hab ich auch schon versucht, aber ich komm dabei auf nichts gescheides
    1−x2=(1−x)(1+x)1-x^2=(1-x)(1+x)
    und
    [latex]1-x3=(x2+x+1)(1-x) = (x + \frac(1}{1+x})(1-x)

    aber so komm ich auch nicht weiter, im nenner steht ja immer noch 0 ... so komm ich nie auf die lösung -0.5 die man ja im graph sieht ...

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    ja das hab ich auch schon versucht, aber ich komm dabei auf nichts gescheides
    Latex-Code
    und
    1-x^3=(x^2+x+1)*(1-x) = (x + \frac(1}{1+x})*(1-x)

    aber so komm ich auch nicht weiter, im nenner steht ja immer noch 0 ... so komm ich nie auf die lösung -0.5 die man ja im graph sieht ...

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  • D

    Doch, klar kommst Du so auf die Lösung: auf Hauptnenner bringen, das erste (1-x) kürzen. Der dabei neu 'entstehende' Zähler hat wieder eine Nullstelle bei x=1, also kannst Du den nochmal faktorisieren, nochmal (1-x) kürzen und Du bist fertig. Zeig doch mal, wie weit Du schon gekommen bist.

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  • ?

    Also:

    21−x2−31−x3=2(1−x)(1+x)−3(1−x)(1+x)(x+11+x)=2x+2x+1−3(1−x)(1+x)(x+11+x\frac{2}{1-x^2}-\frac{3}{1-x^3} = \frac{2}{(1-x)(1+x)}-\frac{3}{(1-x)(1+x)(x+\frac{1}{1+x})}= \frac{2x+\frac{2}{x+1}-3}{(1-x)(1+x)(x+\frac{1}{1+x}}

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    (Sorry ich sollte mal auf vorschau gehen ;))

    Also:

    21−x2−31−x3=2(1−x)(1+x)−3(1−x)(1+x)(x+11+x)=2x+2x+1−3(1−x)(1+x)(x+11+x\frac{2}{1-x^2}-\frac{3}{1-x^3} = \frac{2}{(1-x)(1+x)}-\frac{3}{(1-x)(1+x)(x+\frac{1}{1+x})}= \frac{2x+\frac{2}{x+1}-3}{(1-x)(1+x)(x+\frac{1}{1+x}}

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  • ?

    (jetzt aber wirkich ;)) lern latex gerade erst 🙂

    Also:

    \frac{2}{1-x^2}-\frac{3}{1-x^3} = $\frac{2}{(1-x)(1+x)}$-$\frac{3}{(1-x)(1+x)(x+\frac{1}{1+x})}$= $\frac{2x+\frac{2}{x+1}-3}{(1-x)(1+x)(x+\frac{1}{1+x})}$
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  • D

    Ich verstehe nicht, warum Du die 1/(1+x)-Terme eingebaut hast, sieht doch anders viel toller aus. Also erst mal wieder mit (1+x) erweitern:

    2x+2x+1−3(1−x)(1+x)(x+11+x)=2x2−x−1(1−x)(1+x)(x2+x+1)\frac{2 x + \frac{2}{x+1}-3}{(1-x)(1+x)(x+\frac{1}{1+x})} = \frac{2 x^2 - x -1}{(1-x)(1+x)(x^2+x+1)}

    Offensichtlich gilt: 2x2-x-1=(1-x)(-2x2-1) und siehe da ...

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    danke, aber ich muss zugeben 2x2-x-1=(1-x)(-2x2-1) hätte ich nie gesehen ...

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  • ?

    Hallo!

    Ich hätte da noch eine Frage zum Thema Grenzwerte. bei brüchen ist zum finden eines solche ja immer linearfaktorzerlegung, binomische formeln, etc. ein guter ansatz. aber was für "tricks" gibts bei solchen funktionen:

    \lim\limits{x \to \infty}\sqrt[3]{x-1}+\sqrt[3]{x+1}
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  • J

    mit + isses einfach: Die Einzeltherme gehen gegen unendl., die Summe tut's dann auch.

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    und wie wars bei

    \limx->[e]infin[/e]\sqrt[3]{x-1}-\sqrt[3]{x+1}

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  • J

    Bei 3. Wurzel isses kniffliger. Wäre es ne Quadratwurzel würde ich vorschlagen mit 3. Binom zu erweitern. Dann stehen die Wurzeln mit + im Nenner und im Zähler fallen sie weg. Vielleicht kann man mit der Idee irgendwas basteln?

    Jo klappt: Wir nennen die erste Wurzel mal a und die zweite b. Wir hätten oben gerne stehen a3-b3. (a-b) steht schon da. (a3-b3)/(a-b)=a2+ab+b2. Mit dem Term mußte also erweitern. Dann fallen oben die Wurzeln weg und unten stehen nur noch Summen, das weißte was passiert.

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  • ?

    danke, werd mir mal durchdenken ...
    aber nochmal zum vorigen fall, du hast ja gesagt, dass beide wurzelausdruücke gegen unendlich gehen und ich dann einfach daraus folgern kann, dass die summe auch gegen unendlich geht.
    aber der erste wurzelausdruck geht ja gegen -unendlich und der 2. gegen +unendlich ... und die kann ich ja nicht zusammenzäheln ...

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  • D

    Warum sollte (x-1)^1/3 gegen -oo gehen, für x->oo? Meintest Du vielleicht (1-x)^1/3 oder so?

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  • ?

    achso, deswegen *gg* hab die aufgabe falsch abgeschrieben, richtig sollte es heißen

    \sqrt[3]{1-x} + \sqrt[3]{1+x} für lim(x->[e]infin[/e])
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  • J

    Zieh doch ein Minus aus der Wurzel, dann sind sie wieder beide positiv, allerdings steht dann ein Minus dazwischen und Du mußt den Fall benutzen.

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    Hi!
    Ich hab die aufgabe jetzt so gelöst, weiß aber nicht, ob man das wirklich so darf:

    \lim \limits_{x \to \infty} \sqrt[3]{1 - x} + \sqrt[3]{1 + x} \lim \limits_{x \to \infty} \sqrt[3]{\frac{\frac{1}{x} - 1}{x}} + \sqrt[3]{\frac{\frac{1}{x} +1}{x}}

    Die Nenner in den Wurzelausdrucken gehen ja jeweils geben unendlich um im den zählern kommt -1 bzw. +1 raus, dh. das beide wurzelausdrucke gegen 0 gehen, also ist der limes der funktion von x gegen unendlich gleich 0

    darf man das aber wirklich so lösen?

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