Äquivalenzklassen

Ich bins mal wieder

Also das mit dem Feststellen einer Äquivalenzrelation hab ich nun drauf... r0xoR
Hab da jetzt nochmal eine kleine Frage zu einer Aufgabe:

Also gegeben habe ich folgende Menge X von der ich bestimmen soll, ob die binäre Relation eine Äquivalenzrelation ist und ggf. die Äquivalenzklassen bestimmen... Erstes ist mir schon gelungen, bei den ÄK bin ich mir aber noch unsicher...
Also ich hab wie gesagt schon festgestellt, dass es sich um eine ÄR handelt, bei den ÄK hab ich mich auch schon rangetraut:

Die gegebene Menge ist:

$X = { ( x , y ) \in \mathbb R^2 : x <= 0, y >= 0 } : ( x1 , y1 )R( x2 , y2 ) <-> x1^2 + y1^2 = x2^2 + y2^2$

[latex][x][t]R[/t] = { k \in \mathbb R : (x,k) \in X }[/latex]
[latex]-> x[t]1[/t]^2 + k[t]1[/t]^2 = x[t]1[/t]^2 + k[t]2[/t]^2[/latex]

Oh... Ja also meine Frage ist nun, ob die erste ÄK so in Ordung ist und ob es nur noch eine weitere gibt mit [y]_R = { ... } oder ob ich es doch anders machen muss?!

mfg, bob

CStoll

Du hast eine Relation über R², also ist deine Äquivalenzklasse auch eine Teilmenge von R² (das heißt, deine Lösung passt nicht).

Und hinschreiben kannst du die Äquivalenzklasse so:

[(x,y)][t]R[/t] = { (u,v) in X : (x,y)R(u,v) }

(jetzt kannst du eventuell noch die Definition der Relation einsetzen und nach Belieben umformen)

Dankeschön

Habs glaube ich verstanden... Eine Aufgabe hab ich noch, mal gucken, ob ich die denn nun richtig gelöst habe:

X sei die Menge aller geraden g in der Ebene: g₁ geschnitten mit g₂ = leere Menge oder g₁=g₂

Also das wäre ja nur ne ÄK, wenn der g₁=g₂ ist und nicht beim Schnitt, aber wegen dem "oder" hab ich es mal zu einer erklärt!

Die ÄK wäre dann

[u,v][t]R[/t] = {(u,v) in X : u geschnitten v = leere M. oder u=v}

Oder bin ich da aufm falschen Dampfer?

CStoll

Erstmal mußt du dir klarwerden, über was für Objekte du redest - und in dem Fall sind das Geraden (g, h, ...) und keine Zahlenpaare.

Zweitens hast du in der Definition deiner Äquivalenzklasse immer den Bezug zwischen dem Basiselement und einem beliebigen Element (in der Form [x]_R = { y : x und y stehen in Beziehung R }).

Drittens: Wann gilt denn, daß die Schnittmenge zweier Geraden leer ist? (natürlich wenn sie parallel zueinander sind^*) Damit hast du als Äquivalenzklasse kurz:

[g][t]R[/t] = { h : h || g }

^(*) Wir reden hier über zweidimensionale Geometrie. Aber in 3D ist deine Relation auch keine Äquivalenzrelation (weil nicht transitiv).