Nullstellen

KPC

Hi!

Ich habe Probleme mit meinen Algebra Aufgaben und hoffe jemand hat einen nützlichen Tipp.

Die Aufgabe:
p = exp(2*PI*i/9) € C
f(X) = X^3-3X+1 € Q
a1 = p+p^8 € C
Zeigen Sie dass a1 eine Nullstelle von f(X) ist.

So als erstes Mal wurde in der Vorlesung behauptet, dass p eine primitive 9-te Einheitswurzel sei, da fängt das Problem schon an. Denn wenn ich p^9 rechne, dann kommt doch da laut Potenzgesetzen einfach: exp(2*PI*i) raus oder? und das ist wohl ungleich 1.
Setze ich jetzt a1 in f(X) ein, dann bekomme ich:
p^3+3p10+3p^17+p24-3p-3p^8+1
Das kann ich doch nicht weiter zusammenfassen oder?

Also ich hab das Gefühl ich mache hier etwas grundsätzlich falsch, ich hoffe jemand kann mich mal auf die richtige Spur schubsen. Sorry für die Formeln ohne latex, damit hab ich mich noch nicht beschäftigt.

Danke
KaPtainCugel

Jan

Du kannst das doch einfach mal weiter ausrechnen und die dann zu Nutze machen, dass gilt:

exp(x Pi i) = exp((x-2) Pi i)

Jester

e^2*PI*i ist 1. Weil Du weißt, daß p primtive neunte einheitswurzel ist, weißt Du auch: p^10 = p^9*p = p und solche sachen. Das benutzen, dann sollte es schon einfacher aussehen.

KPC

Danke für die schnellen Antworten, das bringt mich schonmal weiter. Aber mir ist nicht klar wieso e^2PI*i = 1 sein soll. Wenn ich die Gleichung einfach mal auflöse, also jetzt ln drauf anwende, dann steht doch da:
2*PI*i = 0
Warum ist das eine wahre Aussage?

Jester

Ne, das stimmt nicht. Die komplexe e-Funktion ist nicht injektiv und daher kannste keine Umkehrfunktion bilden bzw. aus exp(2*PI*i) = exp(0) kannste nicht 2*PI*i=0 folgern.

Multiplikation e^2*PI*i/n ist eine Drehung um ein n-tel des Einheitskreises. Hier ist n=1.

KPC

Ahh achso da liegt der Fehler, hatte bis jetzt noch nichts mit der komplexen e-Funktion zu tun und kannte nur die aus der Schule. Dann danke nochmal, ich konnte die Aufgaben jetzt lösen!

XFame

Hi, auch wenn du es jetzt schon geloest hast, aus $e^{i \phi} = \cos \phi + i \sin \phi$ folgt sofort, dass $e^{i 2 \pi} = 1$ ist.

MamboKurt

das is die allgemeine definiton von sinus und cosinus:
$\sin(x) = \Re (e^{ix})$
$\cos(x) = \Im (e^{ix})$

Du hast sin und cos vertauscht. cos ist der Realteil und sin der Imaginärteil.

MamboKurt

sry. berichtigung:
$\sin(x) = \Im (e^{ix})$
$\cos(x) = \Re (e^{ix})$