Geometrische Summe und obere Schranke bei Ungleichung

[rüdiger]

Aufgabe:

Zeigen sie für alle $n \in N$

$\sum^{n}_{k=0} \frac{1}{k!} < 3$

Hinweis: Finden Sie eine obere Schranke für diese Summe in Form einer geometrischen Summe

Problem:

Ich verstehe den Hinweis nicht. Was ist mit einer geometrischen Summe und "oberer Schranke" gemeint?

[Jester]

Eine geometrische Summe ist eine Reihe über Elemente der Form q^n. Diese Reihe (n=0 bis unendlich) konvergiert für |q|<1 und hat den Wert 1/(1-q).
Wenn Du jeden Deiner Summanden durch einen größeren ersetzt und die Reihe dann konvergiert, so konvergiert auch die Originalreihe und ihr Wert ist höchstens genauso groß.

[rüdiger]

Jester schrieb:

Eine geometrische Summe ist eine Reihe über Elemente der Form q^n. Diese Reihe (n=0 bis unendlich) konvergiert für |q|<1 und hat den Wert 1/(1-q).
Wenn Du jeden Deiner Summanden durch einen größeren ersetzt und die Reihe dann konvergiert, so konvergiert auch die Originalreihe und ihr Wert ist höchstens genauso groß.

äh?!

Naja, mal schauen ob ich das so verstehe.

Eine geometrische Summe ist also folgendes \sum_{i=0}^{\infinity} q^{i} = \frac{1}{1-q}

Was ich nur nicht verstehe, wie ich dann einen geeigneten Summanden finde, der größer ist.

Was mir bisher nur eingefallen ist um die Aufgabe zu lösen, das ich sage

$\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \le e$

weil die Eulersche Zahl ja als e := \sum_{k=0}^{\infinity} \frac{1}{k!} definiert ist. Da man weiß, das die Eulersche Zahl kleiner als 3 ist, habe ich die Aufgabe dadurch ja gelöst. Ich weiß nur nicht, ob dass das ist, was der Prof sehen will.

[rüdiger]

Jester schrieb:

Eine geometrische Summe ist eine Reihe über Elemente der Form q^n. Diese Reihe (n=0 bis unendlich) konvergiert für |q|<1 und hat den Wert 1/(1-q).
Wenn Du jeden Deiner Summanden durch einen größeren ersetzt und die Reihe dann konvergiert, so konvergiert auch die Originalreihe und ihr Wert ist höchstens genauso groß.

äh?!

Naja, mal schauen ob ich das so verstehe.

Eine geometrische Summe ist also folgendes \sum_{i=0}^{\infinity} q^{i} = \frac{1}{1-q}

Was ich nur nicht verstehe, wie ich dann einen geeigneten Summanden finde, der größer ist.

Was mir bisher nur eingefallen ist um die Aufgabe zu lösen, das ich sage

$\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \le e$

weil die Eulersche Zahl ja als e := \sum_{k=0}^{\infinity} \frac{1}{k!} definiert ist. Da man weiß, das die Eulersche Zahl kleiner als 3 ist, habe ich die Aufgabe dadurch ja gelöst. Ich weiß nur nicht, ob dass das ist, was der Prof sehen will.

[lolololol]

Tipp: ab wann ist k! > 2^k?

[asmodis]

rüdiger schrieb:

Was mir bisher nur eingefallen ist um die Aufgabe zu lösen, das ich sage

$\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \le e$

weil die Eulersche Zahl ja als e := \sum_{k=0}^{\infinity} \frac{1}{k!} definiert ist. Da man weiß, das die Eulersche Zahl kleiner als 3 ist, habe ich die Aufgabe dadurch ja gelöst. Ich weiß nur nicht, ob dass das ist, was der Prof sehen will.

Das ist definitiv nicht das was der Prof sehen will, da die Definition von e erst Sinn macht, wenn man zeigt, dass die Summe beschränkt ist (und in diesem Fall damit konvergent).

[rüdiger]

lolololol schrieb:

Tipp: ab wann ist k! > 2^k?

k=2

Aber ich brauche ja ein q^n >> k!, so wie ich das verstanden habe

[lolololol]

rüdiger schrieb:

lolololol schrieb:

Tipp: ab wann ist k! > 2^k?

k=2

Aber ich brauche ja ein q^n >> k!, so wie ich das verstanden habe

nö, du brauchst für die Abschätzung nach oben ja z.B. 1/k! <= 1/2^k für k >= 2. Und dann noch die 1 dazu.

[rüdiger]

oh, jetzt habe ich es glaube ich verstanden

$\sum^{n}_{k=0}=1+\sum^{n}_{k=1}\frac{1}{k!} < 1+\sum^{n}_{k=1}\frac{1}{2^k} \le 1+\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=3$

Danke für die Hilfe!

[exakto]

exakto