vektorrechung: Dreieck/Seitenlängen in Abhängigkeit von Parameter

Hallo,

ich bearbeite im Moment eine Aufgabe als Vorbereitung auf eine Klausur (Vektorrechung).

Es sind 3 Punkte gegeben: A (-3 /-2 / 5), B (2 /-2 / 3) und C (k /-3 /5 )
k € R

Es handelt sich um die letzte Teilaufgabe - in der klassischen Aufteilung wohl die "schwerste". "Wie viele Seitenlängen des Dreiecks können maximal ganzzahlig werden".

Bekannt ist mir, dass es niemals 3 sein können, da der Betrag des Vektors AB Wurzel 29 "ist", und somit nicht ganzzahlig. Weiterhin ist mir bekannt (durch Teilaufgabe a), dass es mind. 1 Seite sein kann, da für k=4 der Vektor BC den Betrag Wurzel 9 -> 3 hat.

Fraglich bleibt, wie man mathematisch löst, ob es eine auch 2 ganzzahlige Seiten sein könnten.
Mein Ansatz:

Betrag Vektor AC und BC sind zu betrachten.
|AC| = sqrt (k² + 6k + 10)
|BC| = sqrt (k² - 4k + 9)

Wenn nun die Seitenlängen ganzzahlig werden sollen, muss der Term in der Wurzel eine Quadratzahl sein - und das logischerweise in beide in Abhängigkeit des selben k's. Nun alle quadratzahlen durchzuprobieren (z.B. 9 = k² + 6k + 10 etc) kann ja nicht ein ordentlicher Lösungsweg sein. Von daher bitte ich um Hilfe.