4. Grenzwert

Grenzwert

  • ?

    Und zwar möchte ich Definitionsbereich und die Grenzwerte gegen -2 , 2 und ∞ berechnen.

    Hier die Aufgabe:
    x+2−2∗x−24∗x+2\frac{\sqrt{x+2}-2*\sqrt{x-2}}{4*\sqrt{x+2}}

    Der Definitionsbereich lautet bei mir. Denke ich habe ihn richtig berechnet.

    D={x∈R∣x>=2}\mathbb{D}=\{x\in\mathbb{R}|x>=2\}

    Es handelt sich hier ja um eine gebrochen rationale Funktion. Maple zeichnet mir die Funktion aber auch im negativen. Bei -2 ist eine Polstelle. Wie kann die Funktion denn dort definiert sein, wenn der Definitionsbereich es verbietet?

    Den Grenzwert gegen -2 dürfte ich doch gar nicht bestimmen können, da es nicht für dies Funktion definiert ist. Oder sehe ich da was falsch. Bitte helft mir

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  • S

    Wenn du die Angabe richtig kopiert hast sollte der Definitionsberreich richtig sein, und ein Grenzwert bei -2 tatsächlich nicht exisitieren. Sieh aber mal nach ob du nicht ein Quadrat oder ähnliches übersehen hast.

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  • ?

    Nein ich habe bei der Aufgabe kein Quadrat vergessen. Vielleicht ist die Aufgabe ja extra so gestellt. Danke aber für deine Hilfe

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  • P

    Du kannst die Aufgabe etwas umformen:
    14(1−2−2+x2+x)\frac{1}{4}\left(1 - 2\sqrt{\frac{-2 + x}{2 + x}}\right)
    Dann siehst du, dass die Funktion auch für Werte kleiner als -2 definiert ist.

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  • S

    physici_errantes schrieb:

    Du kannst die Aufgabe etwas umformen:

    Ich vermute mal, das ist das, was auch Maple gemacht hat, und so zu dem falschen Ergebnis gekommen ist. Denn die urspruengliche Funktion ist fuer x<2 eben NICHT definiert.

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  • X

    Doch, sie ist fuer x < -2 (in |R) definiert.

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  • J

    Nein, das ist sie ganz offensichtlich nicht. Sonst stünde unter der Wurzel im Nenner ja eine negative Zahl. Sie läßt sich zwar fortsetzen auf x<-2, aber die ursprüngliche Funktion ist dort nicht definiert.

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  • X

    Ich verstehe das Problem nicht, die Funktionswerte sind fuer x < -2 doch alle reell.

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  • S

    XFame schrieb:

    Ich verstehe das Problem nicht, die Funktionswerte sind fuer x < -2 doch alle reell.

    Nein, sie existieren nicht. Oder was soll sqrt(-3+2) sein? (Und jetzt sag nicht i, das ist NICHT die Wurzel aus -1!).

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  • X

    sqrt((-3-2)/(-3+2)) = sqrt(-5/-1) = sqrt(5).
    Wo liegt das Problem?

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  • S

    XFame schrieb:

    sqrt((-3-2)/(-3+2)) = sqrt(-5/-1) = sqrt(5).
    Wo liegt das Problem?

    Die einzelnen Teile sind gar nicht definiert, also kann die Gleichheit gar nicht gelten.

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  • X

    Du willst mir echt erzaehlen, dass sqrt(-3+2) nicht definiert ist?

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  • S

    Ueblicherweise, ja.

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  • J

    XFame schrieb:

    Ich verstehe das Problem nicht, die Funktionswerte sind fuer x < -2 doch alle reell.

    Ja, die Funktionswerte Deiner fortgesetzen Funktion. Das ist aber eine andere Funktion. In die Originalform kann man keine Werte <=2 einsetzen. Was ist daran so schwierig zu verstehen. Würde man für <=2 alle Werte auf 0 setzen würde das ja auch funktionieren. Inwiefern hat Deine Fortsetzung mehr Recht darauf eine Fortsetzung der Funktion zu sein als meine Fortsetzung mit 0?

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  • X

    Hmm, vllt. fang ich noch mal mit einem anderen Beispiel an:
    Wuerdet ihr auch hier sagen, dass die Funktion fuer negative x nicht definiert ist, obwohl alle Funktionswerte reell sind:
    f(x)=cos(πx)f(x) = \cos(\pi \sqrt{x})?

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  • S

    Rechne es doch einfach mal aus. Nicht umformen in scheinbar aequivalente Terme, ausrechnen.

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  • X

    Kleiner Tipp: cos(z) = 1/2(e^(iz) + e^(-iz)).

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  • J

    Richtig. Diese Funktion ist nicht definiert für x<0. Herrje, nu schlag doch bitte irgendwo nach, was Definitionsbereich ist.

    Ich setze sonst für x<0 mal wieder mit 0 oder 1 oder sonstwas fort. Vielleicht erläuterst Du auch mal, warum Deine Art der Fortsetzung "echter" ist, als meine. Dann stoßen wir möglicherweise mal zum Kernbereich des Problems vor.

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  • X

    Ich verstehe nicht, warum du fuer x<0 deine Funktion anders definierst und dann fragst, warum deine Definition fuer negative x "gleichwertig" mit meiner sein soll. Ich setze einfach in die urspruengliche Funktion ein und bekomme reelle Werte.
    Die Funktion f(x) = sqrt(x)/sqrt(x) ist also fuer negative x auch nicht definiert?

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  • J

    XFame schrieb:

    Die Funktion f(x) = sqrt(x)/sqrt(x) ist also fuer negative x auch nicht definiert?

    Ja, Du hast es verstanden und x/x ist bei 0 nicht definiert.

    Wenn die x-Werte lassen sich nicht in die ursprüngliche Darstellung einsetzen lassen, warum ist dann meine Fortsetzung nicht so richtig wie Deine. Beides sind Funktionen, die auf dem Bereich wo die ursprüngliche Darstellung sinnvolle Werte ergibt gleich. Ich sehe keinen Grund da eine bestimmte Funktion vorzuziehen.

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