4. Grenzwert

Grenzwert

  • J

    physici_errantes:

    Ne lächerlich ist das was Du hier erzählst. Das ist schlicht falsch. Deine Umformungen sind keine Äquivalenzen. Der Ausdruck ist vorher an einigen Stellen nicht definiert, danach ist er es. Wie soll das denn bitte äquivalent sein. Daß es uns so einfach fällt kleine gemeine Beispiele zu konstruieren sollte Dir schon zu denken geben.

    Beweis durch Maple solltest Du, gerade wenn Du mal 2 Jahre Mathe studiert hast wirklich denken können, was der Wert ist. Maple schubst einfach an dem Term rum. Maple kann prima rechnen, die Mathematik dazu sollte man allerdings schon noch selbst machen. Daß man den Term so umformen kann ist keine Frage. Für die interessanten x<0 ist es aber keine Äquivalenzumformung, da dort Wurzeln mit negativem Argument dabeistehen.
    Vielleicht möchtest Du auch mal erklären warum meine Fortsetzung mit 0 weniger echt ist als Deine (ebenfalls beliebig gewählte).

    Mathe-LK zählt natürlich noch weniger als Begründung als Maple. Wer Mathe studiert hat sollte wissen wie da teilweise mit Mathematik umgegangen wird. 😃

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  • P

    Shinja schrieb:

    Dann gibts da wohl sehr unterschiedliche Ansichten drueber. Jeder meiner Mitschueler der bei so ner Funktion wie oben angegeben, den Definitionsberreich nicht auf auf >=-2 ansetzt haette das naemlich sicher als Fehler angezeichnet bekommen (und die entsprechenden Punkte auch verloren)

    Gibt es ein offizielles Nachschlagwerk irgendeines Komitees, das diese Defintionen festlegt?

    Ich glaube nicht, dass es da eine Definition gibt. Wahrscheinlich ist es wirklich Ansichtssache, wie man diese Aufgabe angeht. Wir haben immer beigebracht bekommen, gegebene Funktionen so weit wie möglich zu vereinfachen.
    Kleines Beispiel:
    x2−4x−2\frac{x^2 - 4}{x-2}
    Polynomdivision, Ausrechnen oder scharfes Hinsehen liefert dir:
    x2−4x−2=x+2\frac{x^2 - 4}{x-2} = x+2
    An dieser Stelle hast du also wieder zwei unterschiedliche Definitionsbereiche, wobei beides die gleiche Funktion liefert. Man muss es also nicht nur auf die Wurzel-Problematik beschränken. Wie würdest du es bei einer solchen Funktion machen?

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  • C

    In dem Fall hat die obere Funktion den Definitionsbereich R\{2} (und kann durch f(2)=4 stetig ergänzt werden) und die untere den Definitionsbereich R. Und im gemeinsamen Definitionsbereich sind die Funktionen auch identisch.

    Aber deswegen ist die erste Funktion trotzdem für x=2 NICHT DEFINIERT (Division durch 0).

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  • S

    physici_errantes schrieb:

    An dieser Stelle hast du also wieder zwei unterschiedliche Definitionsbereiche, wobei beides die gleiche Funktion liefert.

    Eben nicht die gleiche Funktion. Die eine ist bei x=2 definiert, die andere nicht.

    Man muss es also nicht nur auf die Wurzel-Problematik beschränken. Wie würdest du es bei einer solchen Funktion machen?

    Kommt drauf an, was 'es' ist. Wenn es zum Beispiel darum geht, die Nullstellen zu bestimmen, ist x=2 natuerlich keine Nullstelle.

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  • S

    physici_errantes schrieb:

    SG1 schrieb:

    Dann ist also nach der Logik (1/0)/(1/0) = 1, weil man die Division durch null ja rauskuerzen kann?

    Wieso zieht ihr Beispiele heran, die absolut hirnrissig sind?

    physici_errantes schrieb:

    x2−4x−2=x+2\frac{x^2 - 4}{x-2} = x+2

    Aha, wenn ich Divisionen durch null rauskuerze ist das hirnrissig, wenn Du das machst ist das in Ordnung?

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  • S

    Ich wuerde genau das gleiche machn: 1. Funktion nicht definiert in x=2, die 2. hingegen schon. 1. Funtkion verlaengerbar durch Kontinuitaet (ka ob das der deutsche Begriff ist, is direktuebersetzung aus dem franzoesischen). Anfangs aber beide Funktionen NICHT gleich.

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  • S

    Die deutschen Begriffe uebrigens Fortsetzung und Stetigkeit.

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  • S

    Vielen Dank! Irgendwann lerne ich die schon... nach und nach... In Japan deutsche Mathebegriffe lernen, darauf wuerde auch sonst keiner kommen, lol.

    In Physic wird das wohl auch noch witzig, sollte ich in die Richtung studieren.

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  • P

    SG1 schrieb:

    physici_errantes schrieb:

    SG1 schrieb:

    Dann ist also nach der Logik (1/0)/(1/0) = 1, weil man die Division durch null ja rauskuerzen kann?

    Wieso zieht ihr Beispiele heran, die absolut hirnrissig sind?

    physici_errantes schrieb:

    x2−4x−2=x+2\frac{x^2 - 4}{x-2} = x+2

    Aha, wenn ich Divisionen durch null rauskuerze ist das hirnrissig, wenn Du das machst ist das in Ordnung?

    "Meine" Funktion ist schon mal nur dann nicht definiert, wenn du 2 einsetzt. Dein Beispiel mit (1/0)/(1/0) ist von vornherein nicht definiert, es auch keinen Bereich gibt, wo sie überhaupt definiert ist (im Gegensatz zu "meiner"). Deine Funktion gibt es schlichtweg nicht. Außerdem hab ich die Null nicht rausgekürzt, sondern, wie ihr es immer gefordert habt, den Bruch ausgerechnet.

    Habe mich aber gerade belehren lassen, dass das Zusammenfassen von Wurzeln nicht zu den Äquivalenzumformungen gehört (welche den Def-Bereich nicht verändern dürfen). Also Asche auf mein Haupt. Trotzdem würde ich immer zuerst vereinfachen und dann den Definitionsbereich bestimmen.
    Stellen wir also mal folgendes hin:
    die erste Funktion ist nur für Zahlen x >= 2 definiert, die Vereinfachung erweitert den Definitionsbereich auch x >= |2|, also auch für x <= -2. Weiterhin ist es eine Ansichtsache, ob man die Funktion vorher umformt oder nicht, da, wie das letzte Beispiel mit dem Binom zeigt, das Gleichheitszeichen zwischen beide Versionen geschrieben werden kann. Du machst also mathematisch nichts verkehrt, wenn du vorher vereinfachst. Vielleicht noch mit einem Kommentar versehen.
    Schließlich aber noch etwas gegen meine Argumentation:

    Merke Dir eins, und merke es Dir gut: Der Definitionsbereich ist Teil der Funktionsdefinition.

    In der Tat kann man sogar sagen, daß er heiliger ist als die Abbildungsvorschrift selber.

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  • J

    Dieses Gleichheitszeichen beim Binombeispiel ist auch mit Vorsicht zu genießen. Da müßte eigentlich noch ein "für x!=2" dabeistehen.

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  • S

    physici_errantes schrieb:

    Habe mich aber gerade belehren lassen, dass das Zusammenfassen von Wurzeln nicht zu den Äquivalenzumformungen gehört (welche den Def-Bereich nicht verändern dürfen). Also Asche auf mein Haupt. Trotzdem würde ich immer zuerst vereinfachen und dann den Definitionsbereich bestimmen.

    Damit bringst Du Dir Doch -beim Bearbeiten einer Klausuraufgabe bspw.- nur selber Fehlerquellen rein. Wenn Du aber einfach die gegebene Aufgabenstellung benutzt, um den (maximalen) Definitonsbereich zu bestimmen, hast Du diese Gefahr nicht.

    physici_errantes schrieb:

    Stellen wir also mal folgendes hin:
    die erste Funktion ist nur für Zahlen x >= 2 definiert, die Vereinfachung erweitert den Definitionsbereich auch x >= |2|, also auch für x <= -2.

    Es ist eben keine Vereinfachung. Eine Vereinfachung liefert äquvalente Ergebnisse, nur eben "einfacher", also schneller bspw., oder mit einem kürzer zu schreibenden Ausdruck.
    Du hast aber nicht vereinfacht, sondern verändert. Und zwar (deshalb u.a. das Herumreiten auf der Division durch Null), indem Du "verbotene Sachen" gemacht hast: Durch Null teilen, Wurzeln mit negativer Diskriminante versehen.

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  • B

    Mal so dazwischen gefragt: Äquivalenzumformungen sind meines Wissens Umformungen von Gleichungen, so dass die Ausgangs- und die umgeformte Gleichung die gleiche Lösungsmenge haben. Benutzt ihr jetzt schlampigerweise denselben Begriff für Termumformungen oder gibts den tatsächlich? Hier wird ja gar nichts über Äquivalenz ausgesagt, sondern über Gleichheit.

    0
  • C

    auf der Grundlage lassen sich auch die besten Beweise führen 😃

    wir definieren uns
    2x = 3y

    und machen von dort aus weiter:

    4x = 6y
    14x-10x = 21y-15y
    15y - 10x = 21y - 14x
    5 * (3y - 2x) = 7 * (3y - 2x)
    5 = 7

    q.e.d
    😉

    0
  • S

    Bashar schrieb:

    Mal so dazwischen gefragt: Äquivalenzumformungen sind meines Wissens Umformungen von Gleichungen, so dass die Ausgangs- und die umgeformte Gleichung die gleiche Lösungsmenge haben. Benutzt ihr jetzt schlampigerweise denselben Begriff für Termumformungen oder gibts den tatsächlich? Hier wird ja gar nichts über Äquivalenz ausgesagt, sondern über Gleichheit.

    Ja, war mir auch schon aufgefallen. Wollte nur nicht noch einen weiteren Diskussionspunkt hinzufuegen.

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  • X

    Checker&Murckser schrieb:

    auf der Grundlage lassen sich auch die besten Beweise führen 😃

    wir definieren uns
    2x = 3y

    und machen von dort aus weiter:

    4x = 6y
    14x-10x = 21y-15y
    15y - 10x = 21y - 14x
    5 * (3y - 2x) = 7 * (3y - 2x)
    5 = 7

    q.e.d
    😉

    Das hat nochmal was genau mit dem Thema zu tun?

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  • P

    Bashar schrieb:

    Mal so dazwischen gefragt: Äquivalenzumformungen sind meines Wissens Umformungen von Gleichungen, so dass die Ausgangs- und die umgeformte Gleichung die gleiche Lösungsmenge haben. Benutzt ihr jetzt schlampigerweise denselben Begriff für Termumformungen oder gibts den tatsächlich? Hier wird ja gar nichts über Äquivalenz ausgesagt, sondern über Gleichheit.

    Joar, hab wohl im Übereifer die Begriffe ein wenig durcheinander gehauen. Ich glaub, dass nächste mal lass ich frische Luft ins Büro bevor ich poste oder setz die Brille wieder auf 🕶

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