Körperisomorphismus
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hallo.
folgende aufgabe:beweise, dass jeder Körper (K, +,
mit Charakteristik 0 einen zu Q(rationale Zahlen) isomorphen Unterkörper besitzt.nun gut.
ich soll also beweisen, dass ein Unterkörper K' von K existiert für den es einen isomorphismus ζ: K' → Q gibt.meine über legung dazu ist folgende:
wenn ich zeigen kann, dass Q ein Unterkörper von K ist, dann existiert dieser isomorphismus als die identische Abbildung von Q -> Q.
ist dieser gedankengang richtig?
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Ja. Du brauchst nen Homomorphismus von Q nach K. Dieser ist als Homomorphismus injektiv und auf dem Bild auch sujektiv. Also ist das Bild dieses Homomorphismus ein zu Q isomorpher Teilkörper von K.
Tipp: Versuche erstmal Z einzubetten und schau Dir den Kern dieser Einbettung an. Wie kann man das dann auf Q hochziehen?
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du sagst, dass dieser homomorphismus injektiv und surjektiv ist. also bijektiv.
könntest du mir bitte genauer erklären warum das so ist?
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Surjektiv auf dem Bild. Das funktioniert natürlich per Definition. Etwas liegt nur im Bild, wenn es ein Urbild hab.
Injektivität liegt direkt daran, daß Q ein Körper ist und ein Homomorphismus vorliegt. Der Kern eines Homomorphismus von Ringen ist immer ein Ideal. Ein Körper hat aber nur zwei Ideale, (0) und den ganzen Körper. Wenn Du also nicht alles auf 0 schickst ist es automatisch injektiv. Wenn Du das nicht kennst ist es nicht so schlimm, Du kannst die Injektivität auch einfach von hand nachrechnen.