4. Unabhängige Vektoren

Unabhängige Vektoren

  • ?

    Hallo,

    ich habe mal eine frage an euch, und zwar, was mache ich, wenn ich drei unabhängige Vektoren gegeben habe und ich einen vierten ausrechnen soll, der unabhängig von den drei anderen vektoren ist. Wie muss ich da vorgehen?
    Vielen Dank im Voraus

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  • S

    Du schaust Dir den aufgespannten Vektorraum an, und nimmst 'nen Vektor, der da nicht drin ist.

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  • ?

    Ok, wenn das so einfach ist, welcher vektor wäre zu den folgenden linear unabhängig: (1,-1,1,i), (-2,1,1,-1), (-1,0,2,-1-i). Also das die unabhängig sind, hab ich schon berechnet, aber wie kann ich ich einen vierten vektor errechnen, der zu denen unabhängig ist???

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  • X

    Sollten die nich alle dem Gleichen Vektorraum (R^4 oder R^5?) entspringen? Wenn nein, dann nimm einfach einen Vekor aus dem R^6.

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  • D

    Mathematiker schrieb:

    Ok, wenn das so einfach ist, welcher vektor wäre zu den folgenden linear unabhängig: (1,-1,1,i), (-2,1,1,-1), (-1,0,2,-1-i). Also das die unabhängig sind, hab ich schon berechnet, aber wie kann ich ich einen vierten vektor errechnen, der zu denen unabhängig ist???

    So aus dem Bauch, wenn du einen weiteren Vektor v4=(a b c d) hast, der zu den dreien linear unabhängig ist, dann gilt offenbar:

    l1 v1 + l2 v2 + l3 v3 + l4 v4 = 0 => l1=...=l4=0
    Jetzt kann man das ganze Matrix-Notation auch schreiben:

    M l = 0 <=> l=0, mit l=(l1 l2 l3 l4) und der Matrix M=(v1 v2 v3 v4)

    Nach Voraussetzung ist M invertierbar (da die Spaltenvektoren linear unabhängig), sprich der Rang ist voll, sprich, man kann durch Gaußelimination M auf Dreiecksgestalt bringen und dann den vollen Rang ablesen. Und genau das würde ich machen, wenn niemandem was geschickteres einfällt.

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  • L

    Mathematiker schrieb:

    Ok, wenn das so einfach ist, welcher vektor wäre zu den folgenden linear unabhängig: (1,-1,1,i), (-2,1,1,-1), (-1,0,2,-1-i). Also das die unabhängig sind, hab ich schon berechnet, aber wie kann ich ich einen vierten vektor errechnen, der zu denen unabhängig ist???

    Ich geh mal von C^4 über Körper C aus:

    (1−11i−211−1−102−1−i)≅(1−11i0−13−1+2i0−13−1)≅(1−11i0−13−1+2i0002i)\left ( \begin{array}{cccc} 1 & -1 & 1 & i \\ -2 & 1 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 2 & -1-i \end{array} \right ) \cong \left ( \begin{array}{cccc} 1 & -1 & 1 & i \\ 0 & -1 & 3 & -1+2i \\ 0 & -1 & 3 & -1 \end{array} \right ) \cong \left ( \begin{array}{cccc} 1 & -1 & 1 & i \\ 0 & -1 & 3 & -1+2i \\ 0 & 0 & 0 & 2i \end{array} \right )

    Also ist z.b. (0,0,1,0) zu den Vektoren linear unabhängig. Oder auch (0,0,123,23i+17) oder so 😉

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  • B

    Da die 3 Vektoren nur eine Hyperebene im C^4 aufspannen ist die Wahrscheinlichkeit nahezu (?) Null, durch Zufall einen Vektor zu finden, der im von den drei Vektoren aufgespannten Unterraum liegt. Vertrau also einfach auf dein Glück 😉

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  • T

    Bashar schrieb:

    ... Wahrscheinlichkeit nahezu (?) Null ...

    Die Wahrscheinlichkeit ist tatsächlich exakt null. Allerdings kann es trotzdem passieren, dass du einen Vektor erwischt, der in der Ebene liegt.

    Das ist diese Seltsamheit, wenn man mit kontinuierlichen Zufallsgrößen hantiert 🙂

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  • B

    Seit v = (a,b,c,d) dein gesuchter Vektor und u,w und z die 3 gegebenen.

    Gesucht wird ein Vektor mit folgenden Eigenschaften:
    v * u = 0
    v * w = 0
    v * z = 0
    (nicht jedes v erfüllt diese Bedingungen aber jedes das es tut ist unabhängig.)
    Dies gibt dir ein System aus 3 Gleichungen und 4 Unbekannten. Kannst es also auch mit nur einer Variable schreiben:
    v = (x, f(x), g(x), h(x))
    So nun setzt du für irgendeinen x != 0 ein denn sonst kommt da (0,0,0,0) raus und du hast einen Vektor der unabhängig von u,w und z ist.

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